Кирпич Эйлера - Euler brick - Wikipedia

В математика, Кирпич Эйлера, названный в честь Леонард Эйлер, это прямоугольный кубоид чей края и диагонали лица все имеют целую длину. А примитивный кирпич Эйлера кирпич Эйлера, длина ребер которого равна относительно простой. А идеально Кирпич Эйлера - это тот, у которого самая длинная диагональ тоже целое число, но такого кирпича еще не нашли.

Кирпич Эйлера с краями а, б, c и диагонали лица d, е, ж

Определение

Геометрическое определение кирпича Эйлера эквивалентно решению следующей системы Диофантовы уравнения:

куда а, б, c края и d, е, ж - диагонали.

Характеристики

  • Если (а, б, c) это решение, то (ка, kb, kc) также решение для любого k. Следовательно, решения в рациональное число все являются пересчетами целочисленных решений. Дан кирпич Эйлера с длиной ребра (а, б, c), тройка (до н.э, ac, ab) также представляет собой кирпич Эйлера.[1]:п. 106
  • По крайней мере, два ребра кирпича Эйлера делятся на 3.[1]:п. 106
  • По крайней мере, два ребра кирпича Эйлера делятся на 4.[1]:п. 106
  • По крайней мере, одно ребро кирпича Эйлера делится на 11.[1]:п. 106

Примеры

Самый маленький кирпич Эйлера, открытый Пол Хальке в 1719 г. имеет края (а, б, c) = (44, 117, 240) и диагонали лица (d, е, ж ) = (125, 244, 267).[2] Некоторые другие небольшие примитивные решения в виде ребер (а, б, c) - диагонали лица (d, е, ж), находятся ниже:

Все пять примитивных кирпичей Эйлера размерами менее 1000
(85,132,720) — (157,725,732)
(140,480,693) — (500,707,843)
(160,231,792) — (281,808,825)
(187,1020,1584) — (1037,1595,1884)
(195,748,6336) — (773,6339,6380)
(240,252,275) — (348,365,373)
(429,880,2340) — (979,2379,2500)
(495,4888,8160) — (4913,8175,9512)
(528,5796,6325) — (5820,6347,8579)

Формула создания

Эйлер нашел не менее двух параметрические решения к проблеме, но ни один из них не дает всех решений.[3]

Бесконечное количество кирпичей Эйлера может быть создано с помощью метода Саундерсона.[4] параметрическая формула. Позволять (ты, v, ш) быть Пифагорейская тройка (то есть, ты2 + v2 = ш2.) Потом[1]:105 края

дать диагонали лица

Есть много кирпичей Эйлера, которые не параметризованы, как указано выше, например кирпич Эйлера с краями. (а, б, c) = (240, 252, 275) и диагонали лица (d, е, ж ) = (348, 365, 373).

Идеальный кубоид

Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в математике:
Существует ли идеальный кубоид?
(больше нерешенных задач по математике)

А идеальный кубоид (также называемый идеальный кирпич Эйлера, а идеальная коробка) - кирпич Эйлера, диагональ пространства также имеет целую длину. Другими словами, следующее уравнение добавляется к системе Диофантовы уравнения определяя кирпич Эйлера:

куда грамм - диагональ пространства. По состоянию на сентябрь 2020 г., не было найдено ни одного примера идеального кубоида, и никто не доказал, что его не существует.[5]

Кирпич Эйлера с краями а, б, c и диагонали лица d, е, ж

Исчерпывающий компьютерный поиск показывает, что если существует идеальный кубоид,

  • нечетный край должен быть больше 2,5 × 1013,[5]
  • наименьший край должен быть больше чем 5×1011.[5]

Известны некоторые факты о свойствах, которым должен удовлетворять примитивный идеальный кубоид, если он существует, на основе модульная арифметика:[6]

  • Одно ребро, две диагонали грани и диагональ тела должны быть нечетными, одно ребро и оставшаяся диагональ грани должны делиться на 4, а оставшееся ребро должно делиться на 16.
  • Два ребра должны иметь длину, кратную 3, и хотя бы одно из этих ребер должно иметь длину, кратную 9.
  • Одно ребро должно иметь длину кратную 5.
  • Одно ребро должно иметь длину, кратную 7.
  • Одно ребро должно иметь длину кратную 11.
  • Одно ребро должно иметь длину кратную 19.
  • Одно ребро или диагональ пространства должны делиться на 13.
  • Одно ребро, диагональ грани или диагональ пространства должны быть кратны 17.
  • Одно ребро, диагональ грани или диагональ пространства должны быть кратны 29.
  • Одно ребро, диагональ грани или диагональ пространства должны быть кратны 37.

Кроме того:

Почти идеальные кубоиды

Почти идеальный кубоид имеет 6 из 7 рациональных длин. Такие кубоиды можно разделить на три типа, которые называются Тело, Край, и Лицо кубоиды.[9]

В случае кубоида тела диагональ тела (пространства) грамм иррационально. Для кубоида Ребра одно из ребер а, б, c иррационально. Кубоид лица имеет только одну из диагоналей лица. d, е, ж иррационально.

Кубоид тела обычно называют Кубоид Эйлера в честь Леонарда Эйлера, который обсуждал этот тип кубоида.[10] Он также знал о кубоидах граней и привел пример (104, 153, 672).[11] Три целых длины ребра кубоида и три целых длины диагонали кубоида грани также можно интерпретировать как длины ребер Героновский тетраэдр это тоже Ортосхема Schläfli. Существует бесконечно много граней кубоидов и бесконечно много орто-схем Герона.[12]

Лишь недавно стали известны кубоиды в комплексных числах.

По состоянию на сентябрь 2017 г. Рэндалл Л. Ратбан опубликовал[13] 155 151 найденных кубоидов с наименьшим целым числом ребер меньше 157 000 000 000: 56 575 были кубоидами Эйлера (тела), 15 449 были кубоидами ребер с длиной ребра комплексного числа, 30 081 были кубоидами ребер и 53 046 были кубоидами граней.

Наименьшие решения для каждого типа почти идеальных кубоидов в виде ребер, диагоналей граней и диагонали пространства (а, б, c, d, е, ж, грамм):

  • Кубовид тела: (44, 117, 240, 125, 244, 267, 73225)
  • Кромка кубоида: (520, 576, 618849, 776, 943, 975, 1105)
  • Кубоид лица: (104, 153, 672, 185, 680, 474993, 697)
  • Кубоид сложного тела: (63i, 60i, 65, 87i, 16, 25, -3344)
  • Кубоид со сложным ребром: (-3344, 60, 63, 16, 25, 87, 65)
  • Кубоид сложной формы: (672i, 153i, 697, -474993, 185, 680, 104)

Идеальный параллелепипед

Идеально параллелепипед представляет собой параллелепипед с ребрами целой длины, диагоналями граней и диагоналями тела, но не обязательно со всеми прямыми углами; Совершенный кубоид - это частный случай идеального параллелепипеда. В 2009 году было показано, что существуют десятки идеальных параллелепипедов,[14] отвечая на открытый вопрос Ричард Гай. Некоторые из этих идеальных параллелепипедов имеют две прямоугольные грани. Наименьший идеальный параллелепипед имеет ребра 271, 106 и 103; короткие диагонали лица 101, 266 и 255; диагонали длинной стороны 183, 312 и 323; и диагонали корпуса 374, 300, 278 и 272.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б c d е Вацлав Серпинский, Пифагоровы треугольники, Dover Publications, 2003 (изд. 1962 г.).
  2. ^ Видение бесконечности: великие математические проблемы Автор Ян Стюарт, Глава 17
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Кирпич Эйлера». MathWorld.
  4. ^ Книл, Оливер (24 февраля 2009 г.). "Поиски сокровищ Совершенные кирпичи Эйлера" (PDF). Математическая таблица. Гарвардский университет.
  5. ^ а б c Матсон, Роберт Д. «Результаты компьютерного поиска идеального кубоида» (PDF). unsolvedproblems.org. Получено 24 февраля, 2020.
  6. ^ М. Крайчик, О некоторых рациональных кубоидах, Scripta Mathematica, том 11 (1945).
  7. ^ а б I. Korec, Оценки снизу для совершенных рациональных кубоидов, Math. Slovaca, 42 (1992), № 5, с. 565-582.
  8. ^ Рональд ван Луик, «Об идеальных кубоидах», июнь 2000 г.
  9. ^ Рэтбун Р. Л., Гранлунд Т. Таблица целочисленного кубоида с типами решений тела, ребра и грани // Мат. Comp., 1994, т. 62, С. 441-442.
  10. ^ Эйлер, Леонард, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, Санкт-Петербург, 1771 г.
  11. ^ Эйлер, Леонард, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Часть II, 236, английский перевод: Эйлер, Элементы алгебры, Springer-Verlag 1984
  12. ^ «Проблема 930» (PDF), Решения, Crux Mathematicorum, 11 (5): 162–166, май 1985 г.
  13. ^ Рэтбун, Рэндалл Л. (16 ноября 2018 г.). «Таблица целочисленного кубоида». arXiv:1705.05929v3 [math.NT ].
  14. ^ Сойер, Хорхе Ф .; Рейтер, Клиффорд А. (2011). «Идеальные параллелепипеды существуют». Математика вычислений. 80 (274): 1037–1040. arXiv:0907.0220. Дои:10.1090 / s0025-5718-2010-02400-7..

Рекомендации

  • Пиявка, Джон (1977). «Возвращение к рациональному кубоиду». Американский математический ежемесячный журнал. 84 (7): 518–533. Дои:10.2307/2320014. JSTOR  2320014.
  • Шаффер, Шерилл (1987). «Необходимые делители совершенных целочисленных кубоидов». Тезисы Американского математического общества. 8 (6): 440.
  • Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел. Springer-Verlag. С. 275–283. ISBN  0-387-20860-7.
  • Крайчик, М. (1945). «О некоторых рациональных кубоидах». Scripta Mathematica. 11: 317–326.
  • Робертс, Тим (2010). «Некоторые ограничения на существование идеального кубоида». Вестник Австралийского математического общества. 37: 29–31. ISSN  1326-2297.