Кирпич Эйлера - Euler brick - Wikipedia

В математика, Кирпич Эйлера, названный в честь Леонард Эйлер, это прямоугольный кубоид чей края и диагонали лица все имеют целую длину. А примитивный кирпич Эйлера кирпич Эйлера, длина ребер которого равна относительно простой. А идеально Кирпич Эйлера - это тот, у которого самая длинная диагональ тоже целое число, но такого кирпича еще не нашли.

Кирпич Эйлера с краями

а, б, c

и диагонали лица

d, е, ж

Определение

Геометрическое определение кирпича Эйлера эквивалентно решению следующей системы Диофантовы уравнения:

{ displaystyle { begin {cases} a ^ {2} + b ^ {2} = d ^ {2} a ^ {2} + c ^ {2} = e ^ {2} b ^ { 2} + c ^ {2} = f ^ {2} end {case}}}

куда $а, б, c$ края и $d, е, ж$ - диагонали.

Характеристики

Если $(а, б, c)$ это решение, то $(ка, kb, kc)$ также решение для любого $k$ . Следовательно, решения в рациональное число все являются пересчетами целочисленных решений. Дан кирпич Эйлера с длиной ребра $(а, б, c)$ , тройка $(до н.э, ac, ab)$ также представляет собой кирпич Эйлера.^[1]^{:п. 106}

По крайней мере, два ребра кирпича Эйлера делятся на 3.^[1]^{:п. 106}

По крайней мере, два ребра кирпича Эйлера делятся на 4.^[1]^{:п. 106}

По крайней мере, одно ребро кирпича Эйлера делится на 11.^[1]^{:п. 106}

Примеры

Самый маленький кирпич Эйлера, открытый Пол Хальке в 1719 г. имеет края $(а, б, c) = (44, 117, 240)$ и диагонали лица $(d, е, ж) = (125, 244, 267)$ .^[2] Некоторые другие небольшие примитивные решения в виде ребер $(а, б, c)$ - диагонали лица $(d, е, ж)$ , находятся ниже:

Все пять примитивных кирпичей Эйлера размерами менее 1000

(	85,	132,	720	) — (	157,	725,	732	)
(	140,	480,	693	) — (	500,	707,	843	)
(	160,	231,	792	) — (	281,	808,	825	)
(	187,	1020,	1584	) — (	1037,	1595,	1884	)
(	195,	748,	6336	) — (	773,	6339,	6380	)
(	240,	252,	275	) — (	348,	365,	373	)
(	429,	880,	2340	) — (	979,	2379,	2500	)
(	495,	4888,	8160	) — (	4913,	8175,	9512	)
(	528,	5796,	6325	) — (	5820,	6347,	8579	)

Формула создания

Эйлер нашел не менее двух параметрические решения к проблеме, но ни один из них не дает всех решений.^[3]

Бесконечное количество кирпичей Эйлера может быть создано с помощью метода Саундерсона.^[4] параметрическая формула. Позволять $(ты, v, ш)$ быть Пифагорейская тройка (то есть, $ты 2 + v 2 = ш 2$ .) Потом^[1]^:105 края

{ displaystyle a = u | 4v ^ {2} -w ^ {2} |, quad b = v | 4u ^ {2} -w ^ {2} |, quad c = 4uvw}

дать диагонали лица

{ displaystyle d = w ^ {3}, quad e = u (4v ^ {2} + w ^ {2}), quad f = v (4u ^ {2} + w ^ {2}).}

Есть много кирпичей Эйлера, которые не параметризованы, как указано выше, например кирпич Эйлера с краями. $(а, б, c) = (240, 252, 275)$ и диагонали лица $(d, е, ж) = (348, 365, 373)$ .

Идеальный кубоид

Нерешенная проблема в математике:

Существует ли идеальный кубоид?

(больше нерешенных задач по математике)

А идеальный кубоид (также называемый идеальный кирпич Эйлера, а идеальная коробка) - кирпич Эйлера, диагональ пространства также имеет целую длину. Другими словами, следующее уравнение добавляется к системе Диофантовы уравнения определяя кирпич Эйлера:

{ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = g ^ {2},}

куда $грамм$ - диагональ пространства. По состоянию на сентябрь 2020 г.^{[Обновить]}, не было найдено ни одного примера идеального кубоида, и никто не доказал, что его не существует.^[5]

Кирпич Эйлера с краями

а, б, c

и диагонали лица

d, е, ж

Исчерпывающий компьютерный поиск показывает, что если существует идеальный кубоид,

нечетный край должен быть больше 2,5 × 10¹³,^[5]
наименьший край должен быть больше чем 5×10¹¹.^[5]

Известны некоторые факты о свойствах, которым должен удовлетворять примитивный идеальный кубоид, если он существует, на основе модульная арифметика:^[6]

Одно ребро, две диагонали грани и диагональ тела должны быть нечетными, одно ребро и оставшаяся диагональ грани должны делиться на 4, а оставшееся ребро должно делиться на 16.
Два ребра должны иметь длину, кратную 3, и хотя бы одно из этих ребер должно иметь длину, кратную 9.
Одно ребро должно иметь длину кратную 5.
Одно ребро должно иметь длину, кратную 7.
Одно ребро должно иметь длину кратную 11.
Одно ребро должно иметь длину кратную 19.
Одно ребро или диагональ пространства должны делиться на 13.
Одно ребро, диагональ грани или диагональ пространства должны быть кратны 17.
Одно ребро, диагональ грани или диагональ пространства должны быть кратны 29.
Одно ребро, диагональ грани или диагональ пространства должны быть кратны 37.

Кроме того:

Диагональ пространства не является основная сила ни произведение двух простых чисел.^[7]^{:п. 579}
Диагональ пространства может содержать только простые делители 1 (mod 4).^[7]^{:п. 566}^[8]

Почти идеальные кубоиды

Почти идеальный кубоид имеет 6 из 7 рациональных длин. Такие кубоиды можно разделить на три типа, которые называются Тело, Край, и Лицо кубоиды.^[9]

В случае кубоида тела диагональ тела (пространства) $грамм$ иррационально. Для кубоида Ребра одно из ребер $а, б, c$ иррационально. Кубоид лица имеет только одну из диагоналей лица. $d, е, ж$ иррационально.

Кубоид тела обычно называют Кубоид Эйлера в честь Леонарда Эйлера, который обсуждал этот тип кубоида.^[10] Он также знал о кубоидах граней и привел пример (104, 153, 672).^[11] Три целых длины ребра кубоида и три целых длины диагонали кубоида грани также можно интерпретировать как длины ребер Героновский тетраэдр это тоже Ортосхема Schläfli. Существует бесконечно много граней кубоидов и бесконечно много орто-схем Герона.^[12]

Лишь недавно стали известны кубоиды в комплексных числах.

По состоянию на сентябрь 2017 г.^{[Обновить]} Рэндалл Л. Ратбан опубликовал^[13] 155 151 найденных кубоидов с наименьшим целым числом ребер меньше 157 000 000 000: 56 575 были кубоидами Эйлера (тела), 15 449 были кубоидами ребер с длиной ребра комплексного числа, 30 081 были кубоидами ребер и 53 046 были кубоидами граней.

Наименьшие решения для каждого типа почти идеальных кубоидов в виде ребер, диагоналей граней и диагонали пространства $(а, б, c, d, е, ж, грамм)$ :

Кубовид тела: $(44, 117, 240, 125, 244, 267, \sqrt 73225)$
Кромка кубоида: $(520, 576, \sqrt 618849, 776, 943, 975, 1105)$
Кубоид лица: $(104, 153, 672, 185, 680, \sqrt 474993, 697)$
Кубоид сложного тела: $(63i, 60i, 65, 87i, 16, 25, \sqrt -3344)$
Кубоид со сложным ребром: $(\sqrt -3344, 60, 63, 16, 25, 87, 65)$
Кубоид сложной формы: $(672i, 153i, 697, \sqrt -474993, 185, 680, 104)$

Идеальный параллелепипед

Идеально параллелепипед представляет собой параллелепипед с ребрами целой длины, диагоналями граней и диагоналями тела, но не обязательно со всеми прямыми углами; Совершенный кубоид - это частный случай идеального параллелепипеда. В 2009 году было показано, что существуют десятки идеальных параллелепипедов,^[14] отвечая на открытый вопрос Ричард Гай. Некоторые из этих идеальных параллелепипедов имеют две прямоугольные грани. Наименьший идеальный параллелепипед имеет ребра 271, 106 и 103; короткие диагонали лица 101, 266 и 255; диагонали длинной стороны 183, 312 и 323; и диагонали корпуса 374, 300, 278 и 272.

Смотрите также

Пифагорейская четверка

Примечания

^ ^а ^б ^c ^d ^е Вацлав Серпинский, Пифагоровы треугольники, Dover Publications, 2003 (изд. 1962 г.).
^ Видение бесконечности: великие математические проблемы Автор Ян Стюарт, Глава 17
^ Вайсштейн, Эрик В. «Кирпич Эйлера». MathWorld.
^ Книл, Оливер (24 февраля 2009 г.). "Поиски сокровищ Совершенные кирпичи Эйлера" (PDF). Математическая таблица. Гарвардский университет.
^ ^а ^б ^c Матсон, Роберт Д. «Результаты компьютерного поиска идеального кубоида» (PDF). unsolvedproblems.org. Получено 24 февраля, 2020.
^ М. Крайчик, О некоторых рациональных кубоидах, Scripta Mathematica, том 11 (1945).
^ ^а ^б I. Korec, Оценки снизу для совершенных рациональных кубоидов, Math. Slovaca, 42 (1992), № 5, с. 565-582.
^ Рональд ван Луик, «Об идеальных кубоидах», июнь 2000 г.
^ Рэтбун Р. Л., Гранлунд Т. Таблица целочисленного кубоида с типами решений тела, ребра и грани // Мат. Comp., 1994, т. 62, С. 441-442.
^ Эйлер, Леонард, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, Санкт-Петербург, 1771 г.
^ Эйлер, Леонард, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Часть II, 236, английский перевод: Эйлер, Элементы алгебры, Springer-Verlag 1984
^ «Проблема 930» (PDF), Решения, Crux Mathematicorum, 11 (5): 162–166, май 1985 г.
^ Рэтбун, Рэндалл Л. (16 ноября 2018 г.). «Таблица целочисленного кубоида». arXiv:1705.05929v3 [math.NT ].
^ Сойер, Хорхе Ф .; Рейтер, Клиффорд А. (2011). «Идеальные параллелепипеды существуют». Математика вычислений. 80 (274): 1037–1040. arXiv:0907.0220. Дои:10.1090 / s0025-5718-2010-02400-7..