Героновский тетраэдр - Heronian tetrahedron

А Героновский тетраэдр[1] (также называемый Тетраэдр цапли[2] или же идеальная пирамида[3]) это тетраэдр длина краев, площадь лица и объем - все целые числа. Следовательно, лица должны быть Героновские треугольники.Каждый тетраэдр герона может быть расположен в Евклидово пространство так что координаты его вершины также являются целыми числами.[1]

Примеры

Пример, известный Леонард Эйлер геронец двупрямоугольный тетраэдр, тетраэдр с траекторией из трех ребер, параллельной трем осям координат, и все грани прямоугольные треугольники. Длины ребер на пути параллельных осям ребер равны 153, 104 и 672, а длины трех других ребер равны 185, 680 и 697, образуя четыре грани прямоугольного треугольника, описанные Пифагорейские тройки (153 104 185), (104 672 680), (153 680 697) и (185 672 697).[4]

Восемь примеров тетраэдров Герона были открыты в 1877 г. Рейнхольд Хоппе.[5]

117 - наименьшая возможная длина самого длинного ребра идеального тетраэдра с целыми длинами ребер. Остальные кромки имеют длину 51, 52, 53, 80 и 84.[3] 8064 - это наименьший возможный объем (а 6384 - наименьшая возможная площадь поверхности) идеального тетраэдра. Интегральные длины ребер тетраэдра Герона с таким объемом и площадью поверхности равны 25, 39, 56, 120, 153 и 160.[6]

В 1943 г. Э. П. Старке опубликовал еще один пример, в котором два лица равнобедренные треугольники с основанием 896 и сторонами 1073, а две другие грани также равнобедренные с основанием 990 и такими же сторонами.[7] Однако Старке допустил ошибку, сообщив об этом томе, который стал широко копироваться.[2] Правильный объем 124185600, вдвое больше, чем сообщил Старке.[8]

Саша Курц использовал алгоритмы компьютерного поиска, чтобы найти все тетраэдры Герона с максимальной длиной ребра 600000.[9]

Классификация, бесконечные семейства и специальные типы тетраэдров

А правильный тетраэдр (тот, у которого все грани равносторонние) не может быть тетраэдром Герона, потому что для правильных тетраэдров, длина ребер которых является целым числом, площади граней и объем равны иррациональные числа.[10] По той же причине ни один тетраэдр Герона не может иметь равносторонний треугольник в качестве одной из граней.[3]

Существует бесконечно много героновских тетраэдров, а еще более бесконечно много геронов. дисфеноиды, тетраэдры, у которых все грани конгруэнтны и каждая пара противоположных сторон имеет одинаковую длину. В этом случае для описания тетраэдра необходимы только три длины ребра, а не шесть, и тройки длин, которые определяют тетраэдры Герона, могут быть чатактеризованы с использованием эллиптическая кривая.[3][11] Также существует бесконечно много тетраэдров Герона с циклом из четырех равных длин ребер, у которых все грани равнобедренные треугольники.[2]

Также существует бесконечно много бипрямоугольных тетраэдров Герона. Один из методов создания тетраэдров этого типа определяет длины ребер, параллельных оси , , и из двух равных суммы четвертых степеней

используя формулы

Например, тетраэдр получен таким образом из тождества Леонард Эйлер, , имеет , , и равно 386678175, 332273368, и 379083360, с гипотенузой прямоугольного треугольника равно 509828993, гипотенуза прямоугольного треугольника равно 504093032, а гипотенуза оставшихся двух сторон равна 635318657.[8] Для этих тетраэдров , , и сформировать края длины почти идеальный кубоид, прямоугольный кубоид, в котором стороны, две из трех диагоналей граней и диагональ тела являются целыми числами.[4]

Полная классификация всех тетраэдров Герона остается неизвестной.[1][2]

Связанные фигуры

Альтернативное определение треугольников Герона состоит в том, что они могут быть образованы путем склеивания двух целые прямоугольные треугольники Это определение также было обобщено на три измерения, что привело к другому классу тетраэдров, которые также назвали тетраэдрами Герона.[12]

Рекомендации

  1. ^ а б c Маршалл, Сьюзен Х.; Перлис, Александр Р. (2013), «Тетраэдры Герона - это тетраэдры решетки» (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, 120 (2): 140–149, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.120.02.140, МИСТЕР  3029939, S2CID  15888158
  2. ^ а б c d Chisholm, C .; Макдугалл, Дж. А. (2006), "Рациональные тетраэдры и тетраэдры Герона", Журнал теории чисел, 121 (1): 153–185, Дои:10.1016 / j.jnt.2006.02.009, МИСТЕР  2268761
  3. ^ а б c d Бухгольц, Ральф Хайнер (1992), «Идеальные пирамиды» (PDF), Бюллетень Австралийского математического общества, 45 (3): 353–368, Дои:10.1017 / S0004972700030252, МИСТЕР  1165142, заархивировано из оригинал (PDF) 27 октября 2009 г.
  4. ^ а б Гарднер, Мартин (1983), "Глава 2: Диофантов анализ и Последняя теорема Ферма", Колеса, жизнь и другие математические развлечения, W. H. Freeman, стр. 10–19, Bibcode:1983wlom.book ..... G; см., в частности, стр. 14
  5. ^ Хоппе, Р. (1877), "Über rationale Dreikante und Tetraeder", Archiv der Mathematik und Physik, 61: 86–98, как цитирует Чисхолм и Макдугалл (2006)
  6. ^ Петерсон, Иварс (Июль 2003 г.), "Математический путь: идеальные пирамиды", Новости науки, заархивировано из оригинал 20 февраля 2008 г.
  7. ^ Старке, Э. П. (июнь – июль 1943 г.), «Е 544: соизмеримый тетраэдр», Проблемы и решения, Американский математический ежемесячник, 50 (6): 390, Дои:10.2307/2303724, JSTOR  2303724
  8. ^ а б «Проблема 930» (PDF), Решения, Crux Mathematicorum, 11 (5): 162–166, май 1985 г.
  9. ^ Курц, Саша (2008), «О порождении треугольников Герона», Сердика Журнал вычислительной техники, 2 (2): 181–196, arXiv:1401.6150, МИСТЕР  2473583
  10. ^ Кокстер, Х. С. М. (1973), Правильные многогранники (3-е изд.), Dover, Table I (i), pp. 292–293
  11. ^ Гюнтше, Р. (1907), "Обоснование Tetraeder mit kongruenten Seiten", Sitzungsberichte der Berliner Mathematische Gesellschaft, 6: 38–53, как цитирует Чисхолм и Макдугалл (2006)
  12. ^ Лин, С.-С. (Ноябрь 2011 г.), "95.66 Обратный объем тетраэдра Герона", Математический вестник, 95 (534): 542–545, Дои:10.1017 / S0025557200003740, JSTOR  23248533 (о другом понятии с таким же названием)

внешняя ссылка