Congruum - Congruum

Два прямоугольные треугольники с катетом и гипотенузой (7,13) и (13,17) имеют равные третьи стороны длины √120. Квадрат этой стороны, 120, является конгруумом: это разница между последовательными значениями в арифметическая прогрессия квадратов 72, 132, 172. Эквивалентно два аннулировать между тремя желтыми кругами равные площади, π раз больше конгруума.

В теория чисел, а конгруум (множественное число конгруа) это разница между последовательными квадратные числа в арифметическая прогрессия трех квадратов, то есть если Икс2, у2, и z2 (для целых чисел Икс, у, и z) - три квадратных числа, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга, затем расстояние между ними, z2 − у2 = у2 − Икс2, называется конгруумом.

В проблема конгруума это проблема нахождения квадратов в арифметической прогрессии и связанных с ними конгруэнт.[1] Его можно формализовать как Диофантово уравнение: найти целые числа Икс, у, и z такой, что

Когда это уравнение выполнено, обе части уравнения равны конгрууму.

Фибоначчи решил проблему конгруума, найдя параметризованную формулу для генерации всех конгруа вместе с соответствующими арифметическими прогрессиями. Согласно этой формуле, каждый конгруум в четыре раза больше площади Пифагоров треугольник. Congrua также тесно связаны с конгруэнтные числа: каждое конгруэнтное число является конгруэнтным числом, и каждое конгруэнтное число является конгруэнтом, умноженным на квадрат рационального числа.

Примеры

Например, число 96 является конгруумом, потому что это разница между соседними квадратами в последовательности 4, 100 и 196 (квадраты 2, 10 и 14 соответственно).

Первые несколько конгруа:

24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720… (последовательность A256418 в OEIS ).

История

Задача конгруума была первоначально поставлена ​​в 1225 году в рамках математического турнира, организованного Фридрих II, император Священной Римской империи, и правильно ответил в то время Фибоначчи, который записал свою работу по этой проблеме в Книга квадратов.[2]

Фибоначчи уже знал, что конгруум сам по себе не может быть квадратом, но не дал удовлетворительного доказательства этого факта.[3] Геометрически это означает, что пара катетов треугольника Пифагора не может быть катетом и гипотенузой другого треугольника Пифагора. Доказательство было в конечном итоге дано Пьер де Ферма, и теперь результат известен как Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике. Ферма также предположил, и Леонард Эйлер Доказано, что в арифметической прогрессии нет последовательности из четырех квадратов.[4][5]

Параметризованное решение

Проблема конгруума может быть решена путем выбора двух различных положительных целых чисел м и п (с м > п); тогда число 4мин(м2 −п2) является конгруумом. Средний квадрат соответствующей арифметической прогрессии квадратов равен (м2 + п2)2, а два других квадрата могут быть найдены путем сложения или вычитания конгруума. Кроме того, умножение конгруума на квадратное число дает другое сравнение, прогрессия квадратов которого умножается на тот же коэффициент. Все решения возникают одним из этих двух способов.[1] Например, сравнение 96 может быть построено по этим формулам с м = 3 и п = 1, а сравнение 216 получается путем умножения меньшего сравнения 24 на квадрат 9.

Эквивалентная формулировка этого решения, даваемая Бернар Френкл де Бесси, это то, что для трех квадратов в арифметической прогрессии Икс2, у2, и z2, среднее число у это гипотенуза из Пифагоров треугольник и два других числа Икс и z - это разность и сумма двух катетов треугольника соответственно.[6] Само конгруум в четыре раза больше площади того же треугольника Пифагора. Пример арифметической прогрессии с конгруумом 96 может быть получен таким образом из прямоугольный треугольник с длиной стороны и гипотенузы 6, 8 и 10.

Отношение к конгруэнтным числам

А конгруэнтное число определяется как площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами. Поскольку каждое сравнение может быть получено (с использованием параметризованного решения) как площадь треугольника Пифагора, из этого следует, что каждое сравнение конгруэнтно. И наоборот, каждое конгруэнтное число - это конгруум, умноженный на квадрат рационального числа.[7] Однако проверить, является ли число конгруэнтным, намного проще, чем проверить, конгруэнтно ли число. Для задачи сравнения параметризованное решение сводит эту задачу тестирования к проверке конечного набора значений параметров. Напротив, для задачи о конгруэнтных числах процедура конечного тестирования известна только предположительно, через Теорема Таннелла, в предположении, что Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера правда.[8]

Смотрите также

  • Автомедианный треугольник, треугольник, у которого квадраты на трех сторонах образуют арифметическую прогрессию
  • Спираль Теодора, образованный прямоугольными треугольниками, стороны которых (нецелые) в квадрате образуют бесконечную арифметическую прогрессию

Рекомендации

  1. ^ а б Дорогой, Дэвид (2004), Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона, John Wiley & Sons, стр. 77, ISBN  978-0-471-66700-1.
  2. ^ Брэдли, Майкл Джон (2006), Рождение математики: древние времена до 1300 г., Издательство информационной базы, стр. 124, ISBN  978-0-8160-5423-7.
  3. ^ Руда, Эйстейн (2012), Теория чисел и ее история, Courier Dover Corporation, стр. 202–203, ISBN  978-0-486-13643-1.
  4. ^ Эриксон, Мартин Дж. (2011), Красивая математика, MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр. 94–95, ISBN  978-0-88385-576-8.
  5. ^ Доказательство Эйлера написано нечетко. Элементарное доказательство дано в Браун, Кевин, «Нет четырех квадратов в арифметической прогрессии», MathPages, получено 2014-12-06.
  6. ^ Бейлер, Альберт Х. (1964), Развлечение в теории чисел: королева математики развлекает, Courier Corporation, стр. 153, ISBN  978-0-486-21096-4.
  7. ^ Конрад, Кит (Осень 2008 г.), «Проблема конгруэнтного числа» (PDF), Математический обзор Гарвардского колледжа, 2 (2): 58–73, архивировано с оригинал (PDF) на 2013-01-20.
  8. ^ Коблиц, Нил (1984), Введение в эллиптические кривые и модульные формы, Тексты для выпускников по математике, вып. 97, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97966-2

внешняя ссылка