Конгруэнтное число - Congruent number

Треугольник с площадью 6, совпадающее число.

В математика, а конгруэнтное число положительный целое число это площадь прямоугольный треугольник с тремя рациональное число стороны.^[1] Более общее определение включает все положительные рациональные числа с этим свойством.^[2]

Последовательность (целых) совпадающих чисел начинается с

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... (последовательность A003273 в OEIS )

Таблица конгруэнтных чисел: п ≤ 120

Таблица конгруэнтных чисел: п ≤ 120
-: неконгруэнтное число
C: конгруэнтное число без квадратов
S: конгруэнтное число с квадратным фактором

п	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	C	C	C	—
п	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	C	C	C	—
п	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	S	C	C	C	S
п	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	S	C	C	C	—
п	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	C	—	—	C	C	C	—
п	41	42	43	44	45	46	47	48
	C	—	—	—	S	C	C	—
п	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	S	C	S	C	S
п	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	S	C	C	S	—
п	65	66	67	68	69	70	71	72
	C	—	—	—	C	C	C	—
п	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	C	C	C	S
п	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	S	C	C	C	S
п	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	S	C	C	C	S
п	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	C	C	C	—
п	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	C	C	C	S
п	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	S	S	C	C	S

Например, 5 - конгруэнтное число, потому что это площадь треугольника (20/3, 3/2, 41/6). Точно так же 6 - конгруэнтное число, потому что это площадь (3,4,5) треугольника. 3 и 4 не совпадают.

Если q конгруэнтное число, то s²q также является конгруэнтным числом для любого натурального числа s (просто умножив каждую сторону треугольника на s), и наоборот. Это приводит к наблюдению, что если ненулевое рациональное число q конгруэнтное число зависит только от его остатка в группа

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}/\mathbb {Q} ^{*2}}$.

Каждый класс вычетов в этой группе содержит ровно один целое число без квадратов, и поэтому принято рассматривать только положительные целые числа без квадратов, когда говорят о конгруэнтных числах.

Проблема конгруэнтного числа

Вопрос о том, является ли данное рациональное число конгруэнтным числом, называется проблема конгруэнтного числа. Эта проблема (по состоянию на 2019 год) не была доведена до успешного решения. Теорема Таннелла обеспечивает легко проверяемый критерий для определения конгруэнтности числа; но его результат основан на Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера, что до сих пор не доказано.

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике, названный в честь Пьер де Ферма, заявляет, что нет квадратный номер может быть конгруэнтным числом. Однако в том виде, в котором каждый конгруум (разница между последовательными элементами в арифметической прогрессии из трех квадратов) неквадратная, уже было известно (без доказательства) Фибоначчи.^[3] Каждое конгруэнтное число является конгруэнтным числом, и каждое конгруэнтное число является произведением конгруэнтного числа и квадрата рационального числа.^[4] Однако определить, является ли число конгруэнтным, намного проще, чем определить, конгруэнтно ли оно, потому что существует параметризованная формула для конгруэнтности, для которой необходимо проверять только конечное число значений параметров.^[5]

Решения

п является конгруэнтным числом тогда и только тогда, когда

${\displaystyle x^{2}+nt^{2}=y^{2}}$, ${\displaystyle x^{2}-nt^{2}=z^{2}}$

имеет решения (если да, то это уравнение имеет бесконечно много решений, например Уравнение Пелла ).^{[нужна цитата ]}

Учитывая решения {x, y, z, t}, можно получить {a, b, c} такие, что

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, и ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}=n}$

от

${\displaystyle a={\frac {y-z}{t}}}$, ${\displaystyle b={\frac {y+z}{t}}}$, ${\displaystyle c={\frac {2x}{t}}.}$

Связь с эллиптическими кривыми

Вопрос о том, конгруэнтно ли данное число, оказывается эквивалентным условию того, что определенное эллиптическая кривая имеет положительный ранг.^[2] Альтернативный подход к этой идее представлен ниже (по сути, его также можно найти во введении к статье Таннелла).

Предположим а, б, c - числа (не обязательно положительные или рациональные), которые удовлетворяют следующим двум уравнениям:

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2},\\{\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{matrix}}}$

Затем установите Икс = п(а+c)/б иу = 2п²(а+c)/б²Расчет показывает

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

и у не 0 (если у = 0 тогда а = -c, так б = 0, но (​¹⁄₂)ab = п отлична от нуля, противоречие).

Наоборот, если Икс и у числа, которые удовлетворяют приведенному выше уравнению, и у не 0, установитьа = (Икс² - п²)/у,б = 2nx/у, и c = (Икс² + п²)/у. Расчет показывает, что эти три числа удовлетворяют двум уравнениям для а, б, и c над.

Эти два соответствия между (а,б,c) и (Икс,у) являются обратными друг другу, так что между любым решением двух уравнений ва, б, и c и любое решение уравнения в Икс и у с участием у ненулевой. В частности, из формул в двух соответствиях для рациональных п Мы видим, что а, б, и c рациональны тогда и только тогда, когда соответствующие Икс и у рациональны, и наоборот. а, б, и c все положительны тогда и только тогда, когда Икс и у все положительны; из уравнения у² = Икс³ - xn² = Икс(Икс² - п²)мы видим, что если Икс и у положительны тогда Икс² - п² должно быть положительным, поэтому формула дляа выше положительный.)

Таким образом, положительное рациональное число п конгруэнтно тогда и только тогда, когда уравнениеу² = Икс³ - п²Икс имеет рациональная точка с участием у не равно 0, это может быть показано (как приложение Теорема Дирихле на простых числах в арифметической прогрессии), что единственными точками кручения на этой эллиптической кривой являются точки с у равным 0, следовательно, существует рациональная точка с у ненулевое значение равносильно утверждению, что эллиптическая кривая имеет положительный ранг.

Другой подход к решению - начать с целого числа n, обозначенного как N, и решить

${\displaystyle N^{2}=ed^{2}+e^{2}}$

где

${\displaystyle {\begin{matrix}c&=&n^{2}/e+e\\a&=&2n\\b&=&n^{2}/e-e\end{matrix}}}$

Наименьшие решения

Ниже приводится список рациональных решений ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ и ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}=n}$ с конгруэнтным числом п и наименьший числитель для c. (пусть а < б, Обратите внимание, что а не может быть = б, потому что если так, то ${\displaystyle c={\sqrt {2}}a}$, но ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ не рациональное число, поэтому c и а не могут быть одновременно рациональными числами).^{[нужна цитата ]}

п	а	б	c
5	${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {20}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {41}{6}}}$
6	3	4	5
7	${\displaystyle {\frac {35}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {24}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {337}{60}}}$
13	${\displaystyle {\frac {780}{323}}}$	${\displaystyle {\frac {323}{30}}}$	${\displaystyle {\frac {106921}{9690}}}$
14	${\displaystyle {\frac {8}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {21}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {65}{6}}}$
15	4	${\displaystyle {\frac {15}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {17}{2}}}$
20	3	${\displaystyle {\frac {40}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {41}{3}}}$
21	${\displaystyle {\frac {7}{2}}}$	12	${\displaystyle {\frac {25}{2}}}$
22	${\displaystyle {\frac {33}{35}}}$	${\displaystyle {\frac {140}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {4901}{105}}}$
23	${\displaystyle {\frac {80155}{20748}}}$	${\displaystyle {\frac {41496}{3485}}}$	${\displaystyle {\frac {905141617}{72306780}}}$
24	6	8	10
28	${\displaystyle {\frac {35}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {48}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {337}{30}}}$
29	${\displaystyle {\frac {99}{910}}}$	${\displaystyle {\frac {52780}{99}}}$	${\displaystyle {\frac {48029801}{90090}}}$
30	5	12	13
31	${\displaystyle {\frac {720}{287}}}$	${\displaystyle {\frac {8897}{360}}}$	${\displaystyle {\frac {2566561}{103320}}}$
34	${\displaystyle {\frac {17}{6}}}$	24	${\displaystyle {\frac {145}{6}}}$
37	${\displaystyle {\frac {450660}{777923}}}$	${\displaystyle {\frac {777923}{6090}}}$	${\displaystyle {\frac {605170417321}{4737551070}}}$
38	${\displaystyle {\frac {1700}{279}}}$	${\displaystyle {\frac {5301}{425}}}$	${\displaystyle {\frac {1646021}{118575}}}$
39	${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {156}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {313}{10}}}$
41	${\displaystyle {\frac {3280}{1023}}}$	${\displaystyle {\frac {1023}{40}}}$	${\displaystyle {\frac {1054721}{40920}}}$
45	${\displaystyle {\frac {9}{2}}}$	20	${\displaystyle {\frac {41}{2}}}$
46	${\displaystyle {\frac {253}{42}}}$	${\displaystyle {\frac {168}{11}}}$	${\displaystyle {\frac {7585}{462}}}$
47	${\displaystyle {\frac {11547216}{2097655}}}$	${\displaystyle {\frac {98589785}{5773608}}}$	${\displaystyle {\frac {217287944875297}{12111037689240}}}$
52	${\displaystyle {\frac {1560}{323}}}$	${\displaystyle {\frac {323}{15}}}$	${\displaystyle {\frac {106921}{4845}}}$
53	${\displaystyle {\frac {1472112483}{202332130}}}$	${\displaystyle {\frac {21447205780}{1472112483}}}$	${\displaystyle {\frac {4850493897329785961}{297855654284978790}}}$
54	9	12	15
55	${\displaystyle {\frac {1100}{117}}}$	${\displaystyle {\frac {117}{10}}}$	${\displaystyle {\frac {17561}{1170}}}$
56	${\displaystyle {\frac {16}{3}}}$	21	${\displaystyle {\frac {65}{3}}}$
60	8	15	17
61	${\displaystyle {\frac {6428003}{1423110}}}$	${\displaystyle {\frac {173619420}{6428003}}}$	${\displaystyle {\frac {250510625883241}{9147755349330}}}$
...	...	...	...
101	${\displaystyle {\frac {267980280100}{44538033219}}}$	${\displaystyle {\frac {44538033219}{1326635050}}}$	${\displaystyle {\frac {2015242462949760001961}{59085715926389725950}}}$
...	...	...	...
157	${\displaystyle {\frac {411340519227716149383203}{21666555693714761309610}}}$	${\displaystyle {\frac {6803298487826435051217540}{411340519227716149383203}}}$	${\displaystyle {\frac {224403517704336969924557513090674863160948472041}{8912332268928859588025535178967163570016480830}}}$

Текущий прогресс

Была проделана большая работа по классификации конгруэнтных чисел.

Например, известно^[6] что для простого числа п, имеет место следующее:

• если п ≡ 3 (мод 8), тогда п не конгруэнтное число, а 2п конгруэнтное число.
• если п ≡ 5 (мод. 8), тогда п конгруэнтное число.
• если п ≡ 7 (мод 8), тогда п и 2п конгруэнтные числа.

Также известно^[7] что в каждом из классов конгруэнтности 5, 6, 7 (мод 8), для любого данного k существует бесконечно много конгруэнтных чисел без квадратов с k главные факторы.

Заметки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Конгруэнтное число». MathWorld.
2. Коблиц, Нил (1993), Введение в эллиптические кривые и модульные формы, Нью-Йорк: Springer-Verlag, п. 3, ISBN  0-387-97966-2
3. Руда, Эйстейн (2012), Теория чисел и ее история, Courier Dover Corporation, стр. 202–203, ISBN  978-0-486-13643-1.
4. Конрад, Кейт (осень 2008 г.), «Проблема конгруэнтного числа» (PDF), Математический обзор Гарвардского колледжа, 2 (2): 58–73, архивировано с оригинал (PDF) на 2013-01-20.
5. Дорогая, Дэвид (2004), Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона, John Wiley & Sons, стр. 77, ISBN  978-0-471-66700-1.
6. Пол Монски (1990), «Поддельные точки Хегнера и конгруэнтные числа», Mathematische Zeitschrift, 204 (1): 45–67, Дои:10.1007 / BF02570859
7. Тиан, Е (2014), «Конгруэнтные числа и точки Хегнера», Кембриджский математический журнал, 2 (1): 117–161, arXiv:1210.8231, Дои:10.4310 / CJM.2014.v2.n1.a4, Г-Н  3272014.

использованная литература

• Альтер, Рональд (1980), "Проблема конгруэнтных чисел", Американский математический ежемесячный журнал, Математическая ассоциация Америки, 87 (1): 43–45, Дои:10.2307/2320381, JSTOR  2320381
• Чандрасекар В. (1998), "Проблема конгруэнтного числа" (PDF), Резонанс, 3 (8): 33–45, Дои:10.1007 / BF02837344
• Диксон, Леонард Юджин (2005), «Глава XVI», История теории чисел, Dover Книги по математике, Том II: Диофантов анализ, Dover Publications, ISBN  978-0-486-44233-4 - Смотрите, историю проблемы.
• Гай, Ричард (2004), Нерешенные проблемы теории чисел, Сборники задач по математике (книга 1) (3-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-20860-2, Zbl  1058.11001 - На него дано много ссылок.
• Таннелл, Джерролд Б. (1983), «Классическая диофантова проблема и модульные формы веса 3/2», Inventiones Mathematicae, 72 (2): 323–334, Bibcode:1983InMat..72..323T, Дои:10.1007 / BF01389327, HDL:10338.dmlcz / 137483

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Конгруэнтное число». MathWorld.
• Краткое обсуждение текущего состояния проблемы со многими ссылками можно найти в Алиса Сильверберг с Открытые вопросы по арифметической алгебраической геометрии (Постскриптум).
• Триллион треугольников - математики разрешили первый триллион случаев (при условии Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера ).