Неприкасаемый номер - Untouchable number

Нерешенная проблема в математике: Есть ли какие-нибудь нечетные числа неприкасаемых, кроме 5? (больше нерешенных задач по математике)

An неприкасаемый номер положительный целое число что нельзя выразить как сумма из всех собственные делители любого положительного целого числа (включая само число неприкасаемых). То есть эти цифры не в изображении аликвотная сумма функция. Их исследование восходит, по крайней мере, к Абу Мансур аль-Багдади (около 1000 г. н.э.), который заметил, что и 2, и 5 неприкасаемы.^[1]

Примеры

Например, число 4 не является неприкосновенным, поскольку оно равно сумме собственных делителей 9: 1 + 3 = 4. Число 5 неприкасаемо, поскольку оно не является суммой собственных делителей любого положительного целого числа: 5 = 1 + 4 - единственный способ записать 5 как сумму различных положительных целых чисел, включая 1, но если 4 делит число, то делит и 2, поэтому 1 + 4 не может быть суммой всех собственных делителей любого числа (так как список факторов должен содержать как 4, так и 2).

Первые несколько неприкасаемых чисел:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (последовательность A005114 в OEIS )

Характеристики

Число 5 считается единственным нечетным неприкосновенным числом, но это не было доказано: оно следует из более сильной версии Гипотеза Гольдбаха, так как сумма собственных делителей pq (с п, q различные простые числа) равно 1+п+q. Таким образом, если число п можно записать как сумму двух различных простых чисел, тогда п+1 - это не неприкасаемое число. Ожидается, что каждое четное число больше 6 представляет собой сумму двух различных простых чисел, поэтому, вероятно, никакое нечетное число больше 7 не является неприкосновенным числом, и ${\displaystyle 1=\sigma (2)-2}$, ${\displaystyle 3=\sigma (4)-4}$, ${\displaystyle 7=\sigma (8)-8}$, поэтому только 5 может быть нечетным числом неприкасаемых.^[2] Таким образом, получается, что кроме 2 и 5, все числа неприкасаемых составные числа (так как, кроме 2, все четные числа составные). Нет идеальное число неприкосновенен, поскольку, по крайней мере, он может быть выражен как сумма собственных делители (такая ситуация бывает в случае 28 ). Точно так же ни один из мирные номера или же общительные числа неприкосновенны. Также все Числа Мерсенна не являются неприкасаемыми, поскольку M_п=2^п-1 можно выразить как 2^псумма собственных делителей.

Нет числа неприкасаемых, на единицу больше, чем простое число, поскольку если п простое число, то сумма собственных делителей п² являетсяп + 1. Кроме того, нет числа неприкасаемых на три больше, чем простое число, за исключением 5, поскольку если п является нечетным простым числом, то сумма собственных делителей числа 2p являетсяп + 3.

Бесконечность

Неприкасаемых чисел бесконечно много, и этот факт доказал Пол Эрдёш.^[3] По словам Чена и Чжао, их естественная плотность не менее d> 0,06.^[4]

Смотрите также

• Последовательность аликвот
• Неточность
• Noncototient
• Странное число

Рекомендации

1. Сесиано, Дж. (1991), "Две проблемы теории чисел в исламские времена", Архив истории точных наук, 41 (3): 235–238, Дои:10.1007 / BF00348408, JSTOR  41133889, МИСТЕР  1107382
2. Более сильная версия получается добавлением к гипотезе Гольдбаха дополнительного требования, чтобы два простых числа были различны - см. Адамс-Уоттерс, Франк и Вайсштейн, Эрик В. "Неприкасаемый номер". MathWorld.
3. П. Эрдош, Über die Zahlen der Form ${\displaystyle \sigma (n)-n}$ унд ${\displaystyle n-\phi (n)}$. Elemente der Math. 28 (1973), 83-86, [1]
4. Юн-Гао Чен и Цин-Цин Чжао, Номера без цитирования, Publ. Математика. Дебрецен 78: 2 (2011), стр. 439-442.

• Ричард К. Гай, Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд), Springer Verlag, 2004 ISBN  0-387-20860-7; раздел B10.

внешняя ссылка

• OEIS последовательность A070015 (наименьшее m такое, что сумма аликвотных частей m равна n или 0, если такого числа не существует)