Квадратное треугольное число - Square triangular number

Относительно квадратов треугольных чисел см. квадрат треугольного числа.

Квадратное треугольное число 36 изображено как треугольное число и как квадратное число.

В математика, а квадратное треугольное число (или же треугольное квадратное число) - это число, которое одновременно является треугольное число и идеальный квадрат. Есть бесконечно много квадратные треугольные числа; первые несколько:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (последовательность A001110 в OEIS )

Явные формулы

Написать N_k для kое квадратное треугольное число и напишите s_k и т_k для сторон соответствующего квадрата и треугольника, так что

${\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}$

Определить треугольный корень треугольного числа N = п(п + 1)/2 быть п. Из этого определения и квадратичной формулы

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}$

Следовательно, N треугольная (п целое число) если и только если 8N + 1 квадратный. Следовательно, квадратное число M² также треугольный тогда и только тогда, когда 8M² + 1 квадрат, то есть есть числа Икс и у такой, что Икс² − 8у² = 1. Это пример Уравнение Пелла с п = 8. Все уравнения Пелла имеют тривиальное решение Икс = 1, у = 0 для любого п; это называется нулевым решением и индексируется как (Икс₀, у₀) = (1,0). Если (Икс_k, у_k) обозначает k-е нетривиальное решение любого уравнения Пелла для конкретного п, методом спуска можно показать, что

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}}$

Следовательно, существует бесконечное количество решений любого уравнения Пелла, для которого существует одно нетривиальное решение, которое выполняется всякий раз, когда п это не квадрат. Первое нетривиальное решение, когда п = 8 найти легко: это (3,1). Решение (Икс_k, у_k) к уравнению Пелля для п = 8 дает квадратное треугольное число и его квадратный и треугольный корни следующим образом:

${\displaystyle s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.}$

Следовательно, первое квадратно-треугольное число, полученное из (3,1), равно 1, а следующее, полученное из 6 × (3,1) − (1,0) = (17,6), это 36.

Последовательности N_k, s_k и т_k являются OEIS последовательности OEIS: A001110, OEIS: A001109, и OEIS: A001108 соответственно.

В 1778 г. Леонард Эйлер определил явную формулу^{[1][2]:12–13}

${\displaystyle N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

Другие эквивалентные формулы (полученные путем расширения этой формулы), которые могут быть удобными, включают

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}}$

Соответствующие явные формулы для s_k и т_k находятся:^[2]:13

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}}$

Уравнение Пелла

Задача нахождения квадратных треугольных чисел сводится к следующему: Уравнение Пелла следующим образом.^[3]

Каждое треугольное число имеет вид т(т + 1)/2. Поэтому ищем целые числа т, s такой, что

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.}$

Переставляя, это становится

${\displaystyle \left(2t+1\right)^{2}=8s^{2}+1,}$

а затем позволяя Икс = 2т + 1 и у = 2s, мы получаем Диофантово уравнение

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}$

который является примером Уравнение Пелла. Это конкретное уравнение решается Числа Пелла п_k в качестве^[4]

${\displaystyle x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};}$

и поэтому все решения даются

${\displaystyle s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.}$

Есть много тождеств о числах Пелла, и они переводятся в тождества о квадратных треугольных числах.

Отношения рецидива

Есть повторяющиеся отношения для квадратных треугольных чисел, а также для сторон квадрата и треугольника. У нас есть^[5]:(12)

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{with }}N_{0}&=0{\text{ and }}N_{1}=1.\end{aligned}}}$

У нас есть^[1][2]:13

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{with }}s_{0}&=0{\text{ and }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{with }}t_{0}&=0{\text{ and }}t_{1}=1.\end{aligned}}}$

Другие характеристики

Все квадратные треугольные числа имеют вид б²c², куда б/c это сходящийся к непрерывное расширение фракции из √2.^[6]

А. В. Сильвестер дал короткое доказательство существования бесконечного количества квадратных треугольных чисел:^[7] Если пое треугольное число п(п + 1)/2 квадратная, то и большая 4п(п + 1)-го треугольное число, так как:

${\displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=4\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,\left(2n+1\right)^{2}.}$

Как произведение трех квадратов, правая часть равна квадрату. Треугольные корни т_k попеременно одновременно на один меньше квадрата и дважды на квадрат, если k является четным, и одновременно квадрат и один меньше, чем дважды квадрат, если k странно. Таким образом,

49 = 7² = 2 × 5² − 1,

288 = 17² − 1 = 2 × 12², и

1681 = 41² = 2 × 29² − 1.

В каждом случае два квадратных корня умножаются, чтобы получить s_k: 5 × 7 = 35, 12 × 17 = 204, и 29 × 41 = 1189.^{[нужна цитата ]}

Кроме того:

${\displaystyle N_{k}-N_{k-1}=s_{2k-1};}$

36 − 1 = 35, 1225 − 36 = 1189, и 41616 − 1225 = 40391. Другими словами, разница между двумя последовательными квадратными треугольными числами является квадратным корнем из другого квадратного треугольного числа.^{[нужна цитата ]}

Производящая функция для квадратных треугольных чисел:^[8]

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)\left(z^{2}-34z+1\right)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }$

Числовые данные

В качестве k становится больше, отношение т_k/s_k подходы √2 ≈ 1.41421356, а отношение последовательных квадратных треугольных чисел приближается к (1 + √2)⁴ = 17 + 12√2 ≈ 33.970562748. В таблице ниже приведены значения k от 0 до 11, которые охватывают все квадратно-треугольные числа до 10¹⁶.

k	Nk	sk	тk	тk/sk	Nk/Nk − 1
0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1.33333333	36
3	1225	35	49	1.4	34.027777778
4	41616	204	288	1.41176471	33.972244898
5	1413721	1189	1681	1.41379310	33.970612265
6	48024900	6930	9800	1.41414141	33.970564206
7	1631432881	40391	57121	1.41420118	33.970562791
8	55420693056	235416	332928	1.41421144	33.970562750
9	1882672131025	1372105	1940449	1.41421320	33.970562749
10	63955431761796	7997214	11309768	1.41421350	33.970562748
11	2172602007770041	46611179	65918161	1.41421355	33.970562748

Смотрите также

• Проблема с пушечным ядром, на числах, которые одновременно являются квадратными и квадратно-пирамидальными
• Шестая сила, числа одновременно квадратные и кубические

Примечания

1. Диксон, Леонард Юджин (1999) [1920]. История теории чисел. 2. Провиденс: Американское математическое общество. п. 16. ISBN  978-0-8218-1935-7.
2. Эйлер, Леонард (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros Expedite resolvendi (Простое правило для диофантовых проблем, которые должны быть быстро решены с помощью целых чисел)". Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg (на латыни). 4: 3–17. Получено 2009-05-11. Согласно записям, он был подарен Петербургской Академии 4 мая 1778 года.
3. Барбо, Эдвард (2003). Уравнение Пелла. Проблемные книги по математике. Нью-Йорк: Спрингер. стр.16 –17. ISBN  978-0-387-95529-2. Получено 2009-05-10.
4. Харди, Г. Х.; Райт, Э.М. (1979). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п.210. ISBN  0-19-853171-0. Теорема 244.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Квадратное треугольное число». MathWorld.
6. Болл, У. В. Роуз; Кокстер, Х. С. М. (1987). Математические развлечения и эссе. Нью-Йорк: Dover Publications. п.59. ISBN  978-0-486-25357-2.
7. Pietenpol, J. L .; Sylwester, A. V .; Просто, Эрвин; Вартен Р. М. (февраль 1962 г.). «Элементарные проблемы и решения: E 1473, квадратные треугольные числа». Американский математический ежемесячный журнал. Математическая ассоциация Америки. 69 (2): 168–169. Дои:10.2307/2312558. ISSN  0002-9890. JSTOR  2312558.
8. Plouffe, Саймон (Август 1992 г.). «1031 генерирующая функция» (PDF). Университет Квебека, Лаборатория комбинаторики и математической информатики. п. A.129. Получено 2009-05-11.

внешняя ссылка

• Треугольные числа, которые также являются квадратными в завязать узел
• Вайсштейн, Эрик В. «Квадратное треугольное число». MathWorld.
• Решение Майкла Дамметта