Самоописательный номер - Self-descriptive number - Wikipedia

В математике самоописательный номер является целое число м что в данном основание б является б цифры длинный, в котором каждая цифра d на позиции п (старшая цифра находится в позиции 0, а младшая - в позиции б−1) подсчитывает, сколько экземпляров цифры п находятся в м.

Пример

Например, число 6210001000 в базе 10 является самоописательным по следующим причинам:

В базе 10 число состоит из 10 цифр, обозначающих его основание;
Он содержит 6 в позиции 0, что указывает на шесть нулей в 6210001000;
Он содержит 2 в позиции 1, что указывает на то, что в 6210001000 есть две единицы;
Он содержит 1 в позиции 2, что означает, что в 6210001000 есть 1;
Он содержит 0 в позиции 3, что означает, что в 6210001000 нет 3;
Он содержит 0 в позиции 4, что означает, что в 6210001000 нет 4;
Он содержит 0 в позиции 5, что означает, что в 6210001000 нет 5;
Он содержит 1 в позиции 6, что означает, что в 6210001000 есть одна 6;
Он содержит 0 в позиции 7, что означает, что в 6210001000 нет 7;
Он содержит 0 в позиции 8, что означает, что в 6210001000 нет 8;
Он содержит 0 в позиции 9, что означает, что в 6210001000 нет 9.

В разных базах

В основаниях 1, 2, 3 или 6 нет самоописательных чисел. В основаниях 7 и выше есть, по крайней мере, самоописательное число в форме , у которого есть б−4 экземпляра цифры 0, два экземпляра цифры 1, один экземпляр цифры 2, один экземпляр цифры б - 4, и никаких других цифр. В следующей таблице перечислены некоторые самоописательные числа в нескольких выбранных базах:

ОснованиеСамоописательные числа (последовательность A138480 в OEIS )Значения в базе 10 (последовательность A108551 в OEIS )
41210, 2020100, 136
5212001425
73211000389305
8421010008946176
9521001000225331713
1062100010006210001000
1172100001000186492227801
128210000010006073061476032
.........
16C21000000000100013983676842985394176
.........
36W21000 ... 0001000
(Многоточие опускает 23 нуля)		Прибл. 9,4733 × 1055
.........

Характеристики

Из чисел, перечисленных в таблице, может показаться, что все самоописательные числа имеют суммы цифр, равные их основанию, и что они кратны этой базе. Первый факт тривиально следует из того факта, что сумма цифр равна общему количеству цифр, равному основанию, из определения самоописательного числа.

Это самоописательное число в базе б должно быть кратно этому основанию (или, что то же самое, последняя цифра самоописательного числа должна быть 0), может быть доказано противоречием следующим образом: предположим, что на самом деле существует самоописательное число м в базе б то есть б-цифры длинные, но не кратные б. Цифра в позиции б - 1 должно быть не менее 1, что означает наличие хотя бы одного экземпляра цифры б - 1 дюйм м. В любом месте Икс эта цифра б - 1 падение, должно быть не менее б - 1 экземпляр цифры Икс в м. Следовательно, у нас есть хотя бы один экземпляр цифры 1 и б - 1 экземпляр Икс. Если Икс > 1, тогда м имеет более чем б цифры, что приводит к противоречию с нашим первоначальным утверждением. И если Икс = 0 или 1, что тоже приводит к противоречию.

Отсюда следует, что самоописательное число в базе б это Номер Харшада в базе б.

Автобиографические номера

Обобщение самоописательных чисел, называемое автобиографические номера, допускайте меньшее количество цифр, чем основание, при условии, что цифр, входящих в число, достаточно для его полного описания. например в базе 10 3211000 имеет 3 нуля, 2 единицы, 1 двойку и 1 тройку. Обратите внимание, что это зависит от того, разрешено ли включать столько нулей в конце, сколько нужно, без добавления дополнительной информации о других существующих цифрах.

Поскольку ведущие нули не записываются, каждый автобиографический номер содержит по крайней мере один ноль, так что его первая цифра отлична от нуля.

Актуально 2020 год - это автобиографический номер.

Рассматривая гипотетический случай, когда цифры обрабатываются в обратном порядке: единицы - это количество нулей, десятки - количество единиц и т. Д., Таких самоописывающих чисел не существует. Попытки построить один приводят к взрывной потребности добавлять все больше и больше цифр.

Рекомендации

внешняя ссылка