Пятиугольное число - Pentagonal number

Визуальное представление первых шести пятиугольных чисел

А пятиугольное число это фигуральное число что расширяет понятие треугольный и квадратные числа к пятиугольник, но, в отличие от первых двух, паттерны, участвующие в построении пятиугольных чисел, не являются осесимметричный. В ппентагональное число п_п это количество отчетливый точек в узор из точек, состоящих из очертания правильных пятиугольников со сторонами до n точек, когда пятиугольники наложены так, что они разделяют один вершина. Например, третий состоит из контуров, содержащих 1, 5 и 10 точек, но 1 и 3 из 5 совпадают с 3 из 10, в результате остается 12 различных точек, 10 в форме пятиугольника и 2. внутри.

п_п дается формулой:

{ displaystyle p_ {n} = { frac {3n ^ {2} -n} {2}}}

за п ≥ 1. Первые несколько пятиугольных чисел:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876 , 4030, 4187 ... (последовательность A000326 в OEIS ).

N-е пятиугольное число - это сумма n целых чисел, начиная с n (то есть от n до 2n-1). Также имеют место следующие отношения:

{ displaystyle p_ {n} = p_ {n-1} + 3n-2 = 2p_ {n-1} -p_ {n-2} +3}

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными числами. В ппентагональное число составляет одну треть от (3п − 1)th треугольное число. Кроме того, где T_п затем^th треугольный номер.

{ displaystyle p_ {n} = T_ {n-1} + n ^ {2} = T_ {n} + 2T_ {n-1} = T_ {2n-1} -T_ {n-1}}

Обобщенные пятиугольные числа получены по формуле, приведенной выше, но с п принимая значения в последовательности 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4 ..., производя последовательность:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335 ... (последовательность A001318 в OEIS ).

Обобщенные пятиугольные числа важны для Эйлер теория перегородки, как выражено в его теорема о пятиугольных числах.

Число точек внутри самого внешнего пятиугольника узора, образующего пятиугольное число, само по себе является обобщенным пятиугольным числом.

Пятиугольные числа не следует путать с центрированные пятиугольные числа.

Обобщенные пятиугольные числа и центрированные шестиугольные числа

Обобщенные пятиугольные числа тесно связаны с центрированные шестиугольные числа. Когда массив, соответствующий центрированному шестиугольному числу, делится между его средней строкой и соседней строкой, он появляется как сумма двух обобщенных пятиугольных чисел, причем большая часть является собственно пятиугольным числом:

1=1+0		7=5+2		19=12+7		37=22+15

В целом:

{ displaystyle 3n (n-1) +1 = { tfrac {1} {2}} n (3n-1) + { tfrac {1} {2}} (1-n) { bigl (} 3 (1-n) -1 { bigr)}}

где оба члена справа - обобщенные пятиугольные числа, а первый член - собственно пятиугольное число (п ≥ 1). Это разделение центрированных гексагональных массивов дает обобщенные пятиугольные числа в виде трапециевидных массивов, которые можно интерпретировать как диаграммы Феррерса для их разбиения. Таким образом, их можно использовать для доказательства упомянутой выше теоремы о пятиугольных числах.

Тесты на пятиугольные числа

Учитывая положительное целое число Икс, чтобы проверить, является ли это (необобщенным) пятиугольным числом, мы можем вычислить

{ displaystyle n = { frac {{ sqrt {24x + 1}} + 1} {6}}.}

Номер Икс пятиугольник тогда и только тогда, когда п это натуральное число. В таком случае Икс это ппентагональное число.

Идеальный квадратный тест

Для обобщенных пятиугольных чисел достаточно просто проверить, $24 Икс + 1$ идеальный квадрат.

Для необобщенных пятиугольных чисел, помимо теста на идеальный квадрат, также требуется проверить,

{ Displaystyle { sqrt {24x + 1}} Equiv 5 mod 6}

Математические свойства пятиугольных чисел гарантируют, что этих тестов достаточно для доказательства или опровержения пятиугольности числа.^[1]

Квадратные пятиугольные числа

Квадратное пятиугольное число - это пятиугольное число, которое также является полным квадратом.^[2]

Первые несколько:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... (OEIS Вход A036353 )

Смотрите также

дальнейшее чтение

Леонард Эйлер: О замечательных свойствах пятиугольных чисел

[test-generalized-pentagonal-nos-1] Как определить, является ли число N пятиугольным числом?

[2] Weisstein, Eric W. "Пятиугольное квадратное число." Из MathWorld- Веб-ресурс Wolfram.

[1]

[2]