Периодическая последовательность - Periodic sequence

В математика, а периодическая последовательность (иногда называемый цикл) это последовательность для чего то же термины повторяются снова и снова:

а₁, а₂, ..., а_п,  а₁, а₂, ..., а_п,  а₁, а₂, ..., а_п, ...

Номер п повторных сроков называется период (период ).

Определение

Периодическая последовательность - это последовательность а₁, а₂, а₃, ... сытно

а_п+п = а_п

для всех значений п. Если последовательность рассматривается как функция чей домен является набором натуральные числа, то периодическая последовательность - это просто особый тип периодическая функция.

Примеры

Последовательность цифр в десятичный расширение 1/7 периодично с периодом 6:

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

В более общем смысле, последовательность цифр в десятичном разложении любого Рациональное число в конечном итоге является периодическим (см. ниже).

Последовательность степеней −1 периодична с периодом два:

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

В более общем смысле, последовательность полномочий любого корень единства периодический. То же верно и для степеней любого элемента конечного порядок в группа.

А периодическая точка для функции ж : Икс → Икс это точка Икс чей орбита

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

периодическая последовательность. Здесь, ${\displaystyle f^{n}(x)}$ означает п-складывать сочинение из ж применительно к Икс. Периодические моменты важны в теории динамические системы. Каждая функция из конечный набор себе имеет периодическую точку; обнаружение цикла алгоритмическая проблема нахождения такой точки.

Периодические 0, 1 последовательности

Любую периодическую последовательность можно построить поэлементным сложением, вычитанием, умножением и делением периодических последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Периодические последовательности нулей и единиц могут быть выражены как суммы тригонометрических функций:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}\cos(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}})/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}})/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}})/N=0,0,0...,1{\text{ sequence with period }}N}$

Обобщения

Последовательность в конечном итоге периодический если его можно сделать периодическим, отбросив с самого начала некоторое конечное число членов. Например, последовательность цифр в десятичном разложении 1/56 в конечном итоге будет периодической:

1 / 56 = 0 . 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ...

Последовательность асимптотически периодический если его члены приближаются к условиям периодической последовательности. То есть последовательность Икс₁, Икс₂, Икс₃, ... асимптотически периодичен, если существует периодическая последовательность а₁, а₂, а₃, ... для которого

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$

Например, последовательность

1 / 3,  2 / 3,  1 / 4,  3 / 4,  1 / 5,  4 / 5,  ...

является асимптотически периодическим, так как его члены приближаются к членам периодической последовательности 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....