Дифференциальное уравнение Римана - Riemanns differential equation - Wikipedia

В математика, Дифференциальное уравнение Римана, названный в честь Бернхард Риманн, является обобщением гипергеометрическое дифференциальное уравнение, позволяя регулярные особые точки (RSP) произойти в любом месте Сфера Римана, а не просто 0, 1 и ${\displaystyle \infty }$. Уравнение также известно как Уравнение Папперица.^[1]

В гипергеометрическое дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, которое имеет три регулярные особые точки: 0, 1 и ${\displaystyle \infty }$. Это уравнение допускает два линейно независимых решения; около особенности ${\displaystyle z_{s}}$, решения принимают вид ${\displaystyle x^{s}f(x)}$, куда ${\displaystyle x=z-z_{s}}$ - локальная переменная, а ${\displaystyle f}$ локально голоморфен ${\displaystyle f(0)\neq 0}$. Настоящее число ${\displaystyle s}$ называется показателем решения при ${\displaystyle z_{s}}$. Позволять α, β и γ - показатели одного решения в точках 0, 1 и ${\displaystyle \infty }$ соответственно; и разреши α ', β ' и γ ' быть таковыми из другого. потом

${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.}$

Применяя подходящие изменения переменной, можно преобразовать гипергеометрическое уравнение: Применяя Преобразования Мебиуса будет регулировать позиции RSP, в то время как другие преобразования (см. ниже) могут изменять показатели в RSP, при условии, что показатели в сумме будут равны 1.

Определение

Дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{z-a}}+{\frac {1-\beta -\beta '}{z-b}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{z-c}}\right]{\frac {dw}{dz}}}$

${\displaystyle +\left[{\frac {\alpha \alpha '(a-b)(a-c)}{z-a}}+{\frac {\beta \beta '(b-c)(b-a)}{z-b}}+{\frac {\gamma \gamma '(c-a)(c-b)}{z-c}}\right]{\frac {w}{(z-a)(z-b)(z-c)}}=0.}$

Регулярные особые точки: а, б, и c. Показатели решений на этих RSP соответственно равны α; α ′, β; β ′, и γ; γ ′. Как и прежде, показатели степени подчиняются условию

${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.}$

Решения и связь с гипергеометрической функцией

Решения обозначены P-символ Римана (также известный как Символ Папперица)

${\displaystyle w(z)=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}}$

Стандарт гипергеометрическая функция может быть выражено как

${\displaystyle \;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-a-b&\;\end{matrix}}\right\}}$

P-функции подчиняются ряду тождеств; один из них позволяет выразить общую P-функцию через гипергеометрическую функцию. это

${\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{matrix}}\right\}}$

Другими словами, можно записать решения в терминах гипергеометрической функции как

${\displaystyle w(z)=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }\;_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\right)}$

Полный комплект Куммер 24 решения могут быть получены таким образом; посмотреть статью гипергеометрическое дифференциальное уравнение для лечения растворов Куммера.

Дробно-линейные преобразования

P-функция обладает простой симметрией под действием дробно-линейные преобразования известный как Преобразования Мебиуса (это конформные переназначения сферы Римана) или, что то же самое, под действием группы GL (2, C). Учитывая произвольный сложные числа А, B, C, D такой, что ОБЪЯВЛЕНИЕ − до н.э ≠ 0, определите количества

${\displaystyle u={\frac {Az+B}{Cz+D}}\quad {\text{ and }}\quad \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}}$

и

${\displaystyle \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ and }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}}$

то имеет место простое соотношение

${\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\;\\\alpha &\beta &\gamma &u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}}$

выражая симметрию.

Смотрите также

• Комплексное дифференциальное уравнение
• Метод Фробениуса
• Монодромия

Примечания

1. Сиклос, Стивен. «Уравнение Папперица» (PDF). Получено 21 апреля 2014.

Рекомендации

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред., Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (Довер: Нью-Йорк, 1972 г.)
  • Глава 15 Гипергеометрические функции
    • Раздел 15.6 Дифференциальное уравнение Римана.