Унитарное совершенное число - Unitary perfect number

А унитарное совершенное число является целое число что является суммой положительных собственных унитарные делители, не считая самого числа. (А делитель d из числа п является унитарным делителем, если d и п/d не имеют общих факторов.) Некоторые идеальные числа не являются унитарными совершенными числами, а некоторые унитарные совершенные числа не являются правильными совершенными числами.

Примеры

60 является унитарным совершенным числом, потому что 1, 3, 4, 5, 12, 15 и 20 являются его собственными унитарными делителями, а 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Первые пять и только известные унитарные совершенные числа:

6, 60, 90, 87360, 146361946186458562560000 (последовательность A002827 в OEIS )

Соответствующие суммы собственных унитарных делителей:

• 6 = 1 + 2 + 3
• 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20
• 90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45
• 87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120
• 146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (4095 делителей в сумме)

Характеристики

Не существует нечетных унитарных совершенных чисел. Это следует из того, что имеется 2^d*(п) деление суммы унитарных делителей нечетного числа (где d*(п) - количество различных простых делителей числа n). Это получается потому, что сумма всех унитарных делителей равна мультипликативная функция и у одного есть сумма унитарных делителей степени основной п^а является п^а +1, который является четным для всех нечетных простых чисел п. Следовательно, нечетное унитарное совершенное число должно иметь только один отличный простой делитель, и нетрудно показать, что степень простого числа не может быть унитарным совершенным числом, поскольку делителей недостаточно.

Нерешенная проблема в математике: Бесконечно много унитарных совершенных чисел? (больше нерешенных задач по математике)

Неизвестно, существует ли бесконечно много унитарных совершенных чисел или существуют ли какие-либо другие примеры помимо уже известных пяти. Шестое такое число будет иметь не менее девяти нечетных простых делителей.^[1]

Рекомендации

1. Уолл, Чарльз Р. (1988). «Новые унитарные совершенные числа имеют не менее девяти нечетных компонентов». Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 26 (4): 312–317. ISSN  0015-0517. МИСТЕР  0967649. Zbl  0657.10003.

• Ричард К. Гай (2004). Нерешенные проблемы теории чисел. Springer-Verlag. С. 84–86. ISBN  0-387-20860-7. Раздел B3.
• Пауло Рибенбойм (2000). Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел. Springer-Verlag. п. 352. ISBN  0-387-98911-0.
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.
• Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II. Дордрехт: Kluwer Academic. ISBN  1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001.