Теорема Декарта - Descartes theorem - Wikipedia
В геометрия, Теорема Декарта заявляет, что на каждые четыре поцелуя или взаимно касательная, круги, радиусы окружностей удовлетворяют некоторому квадратное уровненеие. Решая это уравнение, можно построить четвертую окружность, касательную к трем заданным, касательным друг к другу окружности. Теорема названа в честь Рене Декарт, который заявил об этом в 1643 году.
История
Геометрические проблемы, связанные с касательными окружностями, обсуждались на протяжении тысячелетий. В Древней Греции третьего века до нашей эры Аполлоний Пергский посвятил этой теме целую книгу.
Рене Декарт кратко обсудил проблему в 1643 году в письме к принцессе Элизабет Пфальц. Он пришел к тому же решению, что и в уравнение (1) ниже, и таким образом добавил свое имя к теореме.
Фредерик Содди заново открыл уравнение в 1936 году. Круги поцелуев в этой задаче иногда называют Дерзкие кругивозможно потому, что Содди решил опубликовать свою версию теоремы в форме стихотворения под названием Поцелуй Precise, который был напечатан в Природа (20 июня 1936 г.). Содди также распространил теорему на сферы; Торольд Госсет распространил теорему на произвольные размерности.
Определение кривизны
Теорема Декарта легче всего формулируется в терминах кругов. искривления. В кривизна (или же сгибать) круга определяется как k = ±1/р, куда р это его радиус. Чем больше круг, тем меньше величина его кривизны, и наоборот.
Знак плюс k = ±1/р применяется к кругу, который внешне касательная к другим кругам, как три черных круга на изображении. Для внутри касательный круг, как большой красный круг, который ограничивает в остальных кружках применяется отрицательный знак.
Если прямая линия считается выродиться окружности с нулевой кривизной (и, следовательно, бесконечным радиусом), теорема Декарта также применима к прямой и двум окружностям, которые все три касаются друг друга, давая радиус третьей окружности, касающейся двух других окружностей и линии.
Если четыре круга касаются друг друга в шести различных точках, а круги имеют кривизну kя (за я = 1, ..., 4), теорема Декарта гласит:
(1)
При попытке найти радиус четвертого круга, касательного к трем заданным кругам поцелуев, уравнение лучше всего переписать так:
(2)
Знак ± отражает тот факт, что в целом два решения. Если пренебречь вырожденным случаем прямой, одно решение положительно, а другое либо положительно, либо отрицательно; если отрицательный, он представляет собой круг, ограничивающий первые три (как показано на диаграмме выше).
Критерии, относящиеся к конкретной проблеме, могут отдавать предпочтение одному решению любой конкретной проблемы.
Особые случаи
Если один из трех кругов заменить прямой линией, то один kя, сказать k3, равна нулю и выпадает из уравнение (1). Уравнение (2) тогда становится намного проще:
(3)
Если две окружности заменены прямыми, касание между двумя замененными окружностями становится параллелизмом между их двумя линиями замены. Чтобы все четыре кривые оставались касательными друг к другу, две другие окружности должны быть конгруэнтными. В этом случае с k2 = k3 = 0, уравнение (2) сводится к тривиальному
Невозможно заменить три окружности прямыми, так как три прямые и одна окружность не могут касаться друг друга. Теорема Декарта не применяется, когда все четыре окружности касаются друг друга в одной и той же точке.
Другой частный случай - когда kя квадраты,
Эйлер показал, что это эквивалентно одновременной тройке Пифагорейские тройки,
и можно дать параметрическое решение. Когда выбран знак минус кривизны,
это можно решить[1] в качестве,
куда
параметрические решения которых хорошо известны.
Комплексная теорема Декарта
Чтобы полностью определить круг, необходимо знать не только его радиус (или кривизну), но и его центр. Соответствующее уравнение наиболее четко выражается, если координаты (Икс, у) интерпретируются как комплексное число z = Икс + яу. Тогда уравнение выглядит похоже на теорему Декарта и поэтому называется комплексная теорема Декарта.
Даны четыре круга с кривизной kя и центры zя (за я = 1 ... 4), кроме уравнение (1):
(4)
Один раз k4 был найден с использованием уравнение (2), можно перейти к вычислению z4 переписав уравнение (4) к форме, подобной уравнение (2):
Опять же, в общем, есть два решения для z4, соответствующие двум решениям для k4. Обратите внимание, что знак плюс / минус в приведенной выше формуле для z не обязательно соответствует знаку плюс / минус в формуле для k.
Обобщения
Обобщение до n измерений иногда называют Теорема Содди – Госсета, хотя это было показано Р. Лахланом в 1886 году. п-размерный Евклидово пространство, максимальное количество касательных (п − 1)-сферы является п + 2. Например, в трехмерном пространстве пять сфер могут касаться друг друга. Кривизны гиперсфер удовлетворяют
с чемоданом kя = 0 соответствующая плоской гиперплоскости, в точном соответствии с двумерной версией теоремы.
Хотя трехмерного аналога комплексных чисел не существует, взаимосвязь между положениями центров может быть выражена как матрица уравнение, которое также обобщается на п размеры.[2]
Смотрите также
- Круги Форда
- Аполлонийская прокладка
- Проблема Аполлония («касания окружности»)
- Гекслет Содди
- Касательные линии к окружностям
- Изопериметрическая точка
Примечания
- ^ Набор алгебраических тождеств: суммы трех или более четвертых степеней
- ^ Джеффри К. Лагариас; Колин Л. Мэллоуз; Аллан Р. Уилкс (апрель 2002 г.). "За пределами теоремы Декарта о круге". Американский математический ежемесячник. 109 (4): 338–361. arXiv:математика / 0101066. Дои:10.2307/2695498. JSTOR 2695498.