Форд круг - Ford circle

Круги Форда для q от 1 до 20. Круги с q ≤ 10 помечены как п/q и имеют цветовую маркировку в соответствии с q. Каждый круг касательная к базовой линии и соседним с ней окружностям. У несводимых дробей с одинаковым знаменателем есть круги одинакового размера.

В математика, а Форд круг это круг с участием центр в ${\displaystyle (p/q,1/(2q^{2}))}$ и радиус ${\displaystyle 1/(2q^{2}),}$ где ${\displaystyle p/q}$ является несократимая дробь, т.е. ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ находятся совмещать целые числа. Каждый круг Форда касается горизонтальной оси. ${\displaystyle y=0,}$ и любые два круга Форда либо касательная или не пересекаются друг с другом.^[1]

История

Окружности Форда - это частный случай касательных друг к другу окружностей; базовую линию можно представить как круг с бесконечным радиусом. Системы взаимно касательных окружностей изучались Аполлоний Пергский, после кого проблема Аполлония и Аполлонийская прокладка названы.^[2] В 17 веке Рене Декарт обнаружил Теорема Декарта, связь между обратными радиусами взаимно касательных окружностей.^[2]

Круги Форда также появляются в Сангаку (геометрические головоломки) Японская математика. Типичная проблема, которая представлена ​​на планшете 1824 в Префектура Гунма, охватывает отношения трех соприкасающихся кругов с общим касательная. Учитывая размер двух больших внешних кругов, каков размер маленького круга между ними? Ответ эквивалентен кругу Форда:^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r_{\text{middle}}}}}={\frac {1}{\sqrt {r_{\text{left}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {r_{\text{right}}}}}.}$

Круги Форда названы в честь американского математика. Лестер Р. Форд, старший, писавший о них в 1938 году.^[1]

Свойства

Сравнение окружностей Форда и диаграммы Фарея с дугами окружностей для п от 1 до 9. Обратите внимание, что каждая дуга пересекает соответствующие окружности под прямым углом. В изображение SVG, наведите указатель мыши на круг или кривую, чтобы выделить ее и ее условия.

Круг Форда, связанный с дробью ${\displaystyle p/q}$ обозначается ${\displaystyle C[p/q]}$ или ${\displaystyle C[p,q].}$ Круг Форда связан с каждым рациональное число. Кроме того, линия ${\displaystyle y=1}$ считается кругом Форда - его можно рассматривать как круг Форда, связанный с бесконечность, что и есть ${\displaystyle p=1,q=0.}$

Два разных круга Форда либо непересекающийся или касательная для другого. Никакие два внутренних круга окружностей Форда не пересекаются, хотя есть окружность Форда, касательная к Икс-ось в каждой точке с рациональный координаты. Если ${\displaystyle p/q}$ находится между 0 и 1, окружности Форда касаются ${\displaystyle C[p/q]}$ можно по-разному описать как

1. круги ${\displaystyle C[r/s]}$ где ${\displaystyle |ps-qr|=1,}$^[1]
2. кружки, связанные с дробями ${\displaystyle r/s}$ это соседи ${\displaystyle p/q}$ в некоторых Последовательность Фари,^[1] или
3. круги ${\displaystyle C[r/s]}$ где ${\displaystyle r/s}$ следующий больший или следующий меньший предок ${\displaystyle p/q}$ в Стерн – Броко или где ${\displaystyle p/q}$ следующий больший или следующий меньший предок ${\displaystyle r/s}$.^[1]

Если ${\displaystyle C[p/q]}$ и ${\displaystyle C[r/s]}$ две касательные окружности Форда, то окружность, проходящая через ${\displaystyle (p/q,0)}$ и ${\displaystyle (r/s,0)}$ (x-координаты центров окружностей Форда) и перпендикулярно оси ${\displaystyle x}$-ось (центр которой находится на оси x) также проходит через точку, где две окружности касаются друг друга.

Круги Форда также можно рассматривать как кривые в комплексная плоскость. В модульная группа преобразований комплексной плоскости отображает окружности Форда в другие окружности Форда.^[1]

Круги Форда - это подмножество кругов в Аполлонийская прокладка генерируется линиями ${\displaystyle y=0}$ и ${\displaystyle y=1}$ и круг ${\displaystyle C[0/1].}$^[4]

Интерпретируя верхнюю половину комплексной плоскости как модель гиперболическая плоскость (в Модель полуплоскости Пуанкаре ) Круги Форда можно интерпретировать как орициклы.В гиперболическая геометрия любые два орицикла конгруэнтный. Когда эти орициклы находятся ограниченный от апейрогоны Oни плитка гиперболическая плоскость с апейрогональная мозаика порядка 3.

2015A AMC Последний вопрос экзамена - найти сумму обратных окружностей окружностей Форда.^[5]

Общая площадь кругов Форда

Есть связь между областью кругов Форда, Функция Эйлера ${\displaystyle \varphi ,}$ то Дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta ,}$ и Постоянная апери ${\displaystyle \zeta (3).}$^[6] Поскольку никакие две окружности Форда не пересекаются, сразу следует, что общая площадь окружностей Форда

${\displaystyle \left\{C[p,q]:0<{\frac {p}{q}}\leq 1\right\}}$

меньше 1. Фактически общая площадь этих кругов Форда дается сходящейся суммой, которую можно вычислить. По определению, площадь равна

${\displaystyle A=\sum _{q\geq 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}.}$

Упрощение этого выражения дает

${\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},}$

где последнее равенство отражает Производящая функция Дирихле для Функция Эйлера ${\displaystyle \varphi (q).}$ поскольку ${\displaystyle \zeta (4)=\pi ^{4}/90,}$ это наконец становится

${\displaystyle A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.}$

Обратите внимание, что условно предыдущие расчеты исключали круг радиуса ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ соответствующий дроби ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$. Он включает в себя полный круг для ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$, половина которого лежит за пределами единичного интервала, следовательно, сумма по-прежнему является долей единичного квадрата, покрытого кругами Форда.

Сферы Форда (3D)

Сферы Форда над сложной областью

Понятие кругов Форда можно обобщить от рациональных чисел до Гауссовские рациональные числа, давая Форду шары. В этой конструкции комплексные числа вложены как плоскость в трехмерный Евклидово пространство, и для каждой гауссовской рациональной точки на этой плоскости строится сфера, касательная к плоскости в этой точке. Для гауссовского рационального, представленного в низших терминах как ${\displaystyle p/q}$, радиус этой сферы должен быть ${\displaystyle 1/q{\bar {q}}}$ где ${\displaystyle {\bar {q}}}$ представляет комплексно сопряженный из ${\displaystyle q}$. Полученные сферы касательная для пар гауссовских рациональных чисел ${\displaystyle P/Q}$ и ${\displaystyle p/q}$ с участием ${\displaystyle |Pq-pQ|=1}$, иначе они не пересекаются.^[7][8]

Смотрите также

• Аполлонийская прокладка - фрактал с бесконечными касательными друг к другу окружностями по окружности, а не по прямой
• Цепь Штейнера
• Цепочка паппуса

использованная литература

1. Форд, Л. Р. (1938), «Дроби», Американский математический ежемесячник, 45 (9): 586–601, Дои:10.2307/2302799, JSTOR  2302799, Г-Н  1524411.
2. Кокстер, Х. С. М. (1968), «Проблема Аполлония», Американский математический ежемесячник, 75: 5–15, Дои:10.2307/2315097, Г-Н  0230204.
3. Фукагава, Хидетоси; Педое, Дэн (1989), Задачи геометрии японского храма, Виннипег, МБ: Исследовательский центр Чарльза Бэббиджа, ISBN  0-919611-21-4, Г-Н  1044556.
4. Грэм, Рональд Л.; Лагариас, Джеффри С.; Мальвы, Колин Л .; Уилкс, Аллан Р .; Ян, Кэтрин Х. (2003), «Аполлоновские упаковки кругов: теория чисел», Журнал теории чисел, 100 (1): 1–45, arXiv:math.NT / 0009113, Дои:10.1016 / S0022-314X (03) 00015-5, Г-Н  1971245.
5. «Искусство решения проблем». artofproblemsolving.com. Получено 2019-01-24.
6. Маршалек, Веслав (2012), «Цепи с осциллирующими иерархическими последовательностями Фарея и фрактальными свойствами», Схемы, системы и обработка сигналов, 31 (4): 1279–1296, Дои:10.1007 / s00034-012-9392-3.
7. Пиковер, Клиффорд А. (2001), "Глава 103. Красота и гауссовские рациональные числа", Чудеса чисел: приключения в математике, разуме и значении, Oxford University Press, стр. 243–246, ISBN  9780195348002.
8. Нортшилд, Сэм (2015), Круги и сферы Форда, arXiv:1503.00813, Bibcode:2015arXiv150300813N.

внешние ссылки

• Трогательные круги Форда в завязать узел
• Вайсштейн, Эрик В. «Форд Серкл». MathWorld.
• Бонахон, Фрэнсис. «Веселые дроби и круги Форда» (YouTube видео). Брэди Харан. Получено 9 июн 2015.