Формулы генерации пифагоровых троек - Formulas for generating Pythagorean triples

Помимо формулы Евклида, многие другие формулы для генерации Пифагорейские тройки были разработаны.

Формулы Евклида, Пифагора и Платона

Формулы Евклида, Пифагора и Платона для вычисления троек были описаны здесь:

Основная статья: Пифагорейская тройка

Приведенные ниже методы появляются в различных источниках, часто без указания их происхождения.

Метод Фибоначчи

Леонардо Пизанский (c. 1170 - c. 1250) описал этот метод^[1][2] для генерации примитивных троек с использованием последовательности последовательных нечетных целых чисел ${displaystyle 1,3,5,7,9,11,ldots }$ и тот факт, что сумма первых ${displaystyle n}$ члены этой последовательности ${displaystyle n^{2}}$. Если ${displaystyle k}$ это ${displaystyle n}$-й член этой последовательности, тогда ${displaystyle n=(k+1)/2}$.

Выберите любое нечетное квадратное число ${displaystyle k}$ из этой последовательности (${displaystyle k=a^{2}}$) и пусть этот квадрат будет ${displaystyle n}$-й член последовательности. Кроме того, пусть ${displaystyle b^{2}}$ быть суммой предыдущих ${displaystyle n-1}$ сроки, и пусть ${displaystyle c^{2}}$ быть суммой всех ${displaystyle n}$ термины. Тогда мы установили, что ${displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ и мы сгенерировали примитивную тройку [а, б, в]. Этот метод производит бесконечное количество примитивных троек, но не все из них.

ПРИМЕР: Выбрать ${displaystyle k=9=3^{2}=a^{2}}$. Это нечетное квадратное число является пятым членом последовательности, потому что ${displaystyle 5=n=(a^{2}+1)/2}$. Сумма предыдущих 4 членов равна ${displaystyle b^{2}=4^{2}}$ и сумма всех ${displaystyle n=5}$ условия ${displaystyle c^{2}=5^{2}}$ давая нам ${displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ и примитивная тройка [а, б, в] = [3, 4, 5].

Прогрессии целых и дробных чисел

Немецкий математик и монах Майкл Стифель опубликовал следующий метод в 1544 г.^[3][4]

Рассмотрим последовательность целых и дробных чисел:${displaystyle 1{ frac {1}{3}},{ ext{ }}2{ frac {2}{5}},{ ext{ }}3{ frac {3}{7}},{ ext{ }}4{ frac {4}{9}},ldots }$

Свойства этой прогрессии следующие: (а) целые числа являются числами общего ряда и имеют единство как их общее различие; (б) числители дробей, приложенные к целым числам, также являются натуральными числами; (c) знаменатели дробей - нечетные числа, ${displaystyle 3,{ ext{ }}5,{ ext{ }}7,{ ext{ }}9,}$ и Т. Д.

Чтобы вычислить тройку Пифагора, выберите любой член этой прогрессии и уменьшите его до неправильной дроби. Например, возьмем термин ${displaystyle 3{ frac {3}{7}}}$. Несобственная дробь ${displaystyle { frac {24}{7}}}$. Цифры 7 и 24 - стороны, а и б, прямоугольного треугольника, а гипотенуза на единицу больше наибольшей стороны. Например:

${displaystyle 1{ frac {1}{3}}{ ext{ }}{xrightarrow { ext{yields}}}{ ext{ }}[3,4,5],{ ext{ 2}}{ frac {2}{5}}{ ext{ }}{xrightarrow { ext{yields}}}{ ext{ }}[5,12,13],{ ext{ 3}}{ frac {3}{7}}{ ext{ }}{xrightarrow { ext{yields}}}{ ext{ }}[7,24,25],{ ext{ 4}}{ frac {4}{9}}{ ext{ }}{xrightarrow { ext{yields}}}{ ext{ }}[9,40,41],{ ext{ }}ldots }$

Жак Озанам^[5] переиздал последовательность Стифеля в 1694 году и добавил аналогичную последовательность ${displaystyle 1{ frac {7}{8}},{ ext{ }}2{ frac {11}{12}},{ ext{ }}3{ frac {15}{16}},{ ext{ }}4{ frac {19}{20}},ldots }$ с терминами, полученными из ${displaystyle n+{ frac {4n+3}{4n+4}}}$. Как и раньше, чтобы получить тройку из этой последовательности, выберите любой член и уменьшите его до неправильной дроби. Числитель и знаменатель - стороны, а и б, прямоугольного треугольника. В этом случае гипотенуза полученной тройки (ей) на 2 больше, чем большая сторона. Например:

${displaystyle 1{ frac {7}{8}}{xrightarrow { ext{yields}}}[15,8,17],2{ frac {11}{12}}{xrightarrow { ext{yields}}}[35,12,37],3{ frac {15}{16}}{xrightarrow { ext{yields}}}[63,16,65],4{ frac {19}{20}}{xrightarrow { ext{yields}}}[99,20,101],ldots }$

Вместе последовательности Стифеля и Озанама производят все примитивные тройки Платон и Пифагор семьи соответственно. В Ферма семью нужно искать другими способами.

С а короче и б длинная сторона треугольника:

${displaystyle { ext{Plato: }}c-b=2,quad quad { ext{Pythagoras: }}c-b=1,quad quad { ext{Fermat: }}left|a-bight|=1}$

Метод Диксона

Леонард Юджин Диксон (1920)^[6] приписывает себе следующий метод генерации пифагоровых троек. Чтобы найти целочисленные решения ${displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$, найти положительные целые числа р, s, и т такой, что ${displaystyle r^{2}=2st}$ идеальный квадрат.

Потом:

${displaystyle x=r+s,,,y=r+t,,,z=r+s+t.}$

Из этого мы видим, что ${displaystyle r}$ любое четное число и что s и т факторы ${displaystyle { frac {r^{2}}{2}}}$. Этим методом можно найти все пифагоровы тройки. Когда s и т взаимно просты, тройка будет примитивной. Простое доказательство метода Диксона было представлено Йозефом Рукавицкой (2013).^[7]

Пример: выберите р = 6. Тогда ${displaystyle { frac {r^{2}}{2}}=18}$Три фактор-пары из 18: (1, 18), (2, 9) и (3, 6). Все три пары факторов дадут тройки, используя приведенные выше уравнения.

s = 1, т = 18 дает тройку [7, 24, 25], потому что Икс = 6 + 1 = 7,  у = 6 + 18 = 24,  z = 6 + 1 + 18 = 25.

s = 2, т = 9 дает тройку [8, 15, 17], потому что Икс = 6 + 2 = 8,  у = 6 +  9 = 15,  z = 6 + 2 + 9 = 17.

s = 3, т = 6 дает тройку [9, 12, 15], потому что Икс = 6 + 3 = 9,  у = 6 +  6 = 12,  z = 6 + 3 + 6 = 15. (Поскольку s и т не взаимно просты, эта тройка не примитивна.)

Обобщенная последовательность Фибоначчи

Метод I

Для чисел Фибоначчи, начинающихся с F₁ = 0 и F₂ = 1 и с каждым последующим числом Фибоначчи, являющимся суммой двух предыдущих, можно сгенерировать последовательность пифагоровых троек, начиная с (а₃, б₃, c₃) = (4, 3, 5) через

${displaystyle (a_{n},b_{n},c_{n})=(a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1},,F_{2n-1}-b_{n-1},,F_{2n})}$

за п ≥ 4.

Метод II.

Пифагорова тройка может быть сгенерирована с использованием любых двух положительных целых чисел с помощью следующих процедур с использованием обобщенных Последовательности Фибоначчи.

Для начальных положительных целых чисел час_п и час_п+1, если час_п + час_п+1 = час_п+2 и час_п+1 + час_п+2 = час_п+3, тогда

${displaystyle (2h_{n+1}h_{n+2},h_{n}h_{n+3},2h_{n+1}h_{n+2}+h_{n}^{2})}$

является пифагорейской тройкой.^[8]

Метод III.

Ниже приводится матрица основанный на подходе к генерации примитивных троек с помощью обобщенных последовательностей Фибоначчи.^[9] Начните с массива 2 × 2 и вставьте два взаимно простых положительных целых числа. (д, д ') в верхнем ряду. Поместите четное целое число (если есть) в левая рука столбец.

${displaystyle left[{egin{array}{*{20}c}q&{q'}ullet &ullet end{array}}ight]}$

Теперь примените следующее «правило Фибоначчи», чтобы получить записи в нижней строке:

${displaystyle {egin{array}{*{20}c}q'+q=pq+p=p'end{array}} o left[{egin{array}{*{20}c}q&q'p&p'end{array}}ight]}$

Такой массив можно назвать «ящиком Фибоначчи». Обратите внимание, что д ', д, р, р' является обобщенной последовательностью Фибоначчи. Произведя столбцы, строки и диагонали, получим стороны треугольника [а, б, в], его площадь А, и его периметр п, а также радиусы р_я своего окружать и три вне окружности следующее:

${displaystyle {egin{array}{l}a=2qp=q'p'c=pp'-qq'=qp'+q'p\{ ext{radii}} o (r_{1}=qq',r_{2}=qp',r_{3}=q'p,r_{4}=pp')A=qq'pp'P=r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}end{array}}}$

Касательные полууглов к острым углам равны q / p и q '/ p'.

ПРИМЕР:

С помощью совмещать целые числа 9 и 2.

${displaystyle left[{egin{array}{*{20}c}2&9ullet &ullet end{array}}ight] o left[{egin{array}{*{20}c}2&911&13end{array}}ight]}$

Столбцы, строки и диагональные произведения: (столбцы: 22 и 117), (строки: 18 и 143), (диагонали: 26 и 99), поэтому

${displaystyle {egin{array}{l}a=2(22)=44=117c=(143-18)=(26+99)=125\{ ext{radii}} o (r_{1}=18,quad r_{2}=26,quad r_{3}=99,quad r_{4}=143)A=18(143)=2574P=(18+26+99+143)=286end{array}}}$

Касательные полууглов к острым углам составляют 2/11 и 9/13. Обратите внимание, что если выбранные целые числа q, q ' не совмещать, та же процедура приводит к непримитивной тройке.

Пифагоровы тройки и уравнение окружности Декарта

Этот метод создания примитивные пифагорейские тройки также предоставляет целочисленные решения для Уравнение окружности Декарта,^[9]

${displaystyle left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}ight)^{2}=2left(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}ight),}$

где целое число искривления k_я получаются путем умножения обратной величины каждого радиуса на площадь А. Результат k₁ = pp ', k₂ = qp ', k₃ = q'p, k₄ = qq '. Здесь самый большой круг считается имеющим отрицательную кривизну по сравнению с тремя другими. Самый большой круг (кривизна k₄) также можно заменить окружностью меньшего размера с положительной кривизной ( k₀ = 4pp '∠’qq' ).

ПРИМЕР:

Используя площадь и четыре радиуса, полученные выше для примитивной тройки [44, 117, 125], мы получаем следующие целочисленные решения уравнения Декарта: k₁ = 143, k₂ = 99, k₃ = 26, k₄ = (−18), и k₀ = 554.

Тернарное дерево: создание всех примитивных пифагоровых троек

Каждая примитивная пифагорова тройка однозначно соответствует ящику Фибоначчи. И наоборот, каждый ящик Фибоначчи соответствует уникальной и примитивной пифагоровой тройке. В этом разделе мы будем использовать прямоугольник Фибоначчи вместо примитивной тройки, которую он представляет. Бесконечный тройное дерево содержащие все примитивные пифагоровы тройки / блоки Фибоначчи, можно построить с помощью следующей процедуры.^[10]

Рассмотрим ящик Фибоначчи, содержащий два нечетных взаимно простых целых числа Икс и у в правом столбце.

${displaystyle left[{egin{array}{*{20}{c}}ullet &xullet &yend{array}}ight]}$

Видно, что эти целые числа также можно разместить следующим образом:

${displaystyle left[{egin{array}{*{20}{c}}ullet &xy&ullet end{array}}ight],left[{egin{array}{*{20}{c}}x&yullet &ullet end{array}}ight],left[{egin{array}{*{20}{c}}y&xullet &ullet end{array}}ight]}$

в результате появятся еще три действительных ящика Фибоначчи, содержащие Икс и у. Мы можем думать о первом Box как о «родителе» следующих трех. Например, если Икс = 1 и у = 3 имеем:

${displaystyle left[{egin{array}{*{20}{c}}1&12&3end{array}}ight]leftarrow { ext{parent}}}$

${displaystyle left[{egin{array}{*{20}{c}}2&13&5end{array}}ight],left[{egin{array}{*{20}{c}}1&34&5end{array}}ight],left[{egin{array}{*{20}{c}}3&14&7end{array}}ight]leftarrow { ext{children}}}$

Более того, каждый «ребенок» сам является родителем еще трех детей, которые могут быть получены с помощью той же процедуры. Продолжение этого процесса в каждом узле приводит к бесконечному тернарному дереву, содержащему все возможные блоки Фибоначчи, или, что эквивалентно, тернарному дереву, содержащему все возможные примитивные тройки. (Показанное здесь дерево отличается от классического дерева, описанного Берггреном в 1934 году, и имеет множество различных теоретико-числовых свойств.) Сравните: «Классическое дерево».^[11] Смотрите также Древо первобытных пифагорейских троек.^[12]

Генерация троек с помощью квадратных уравнений

Есть несколько методов определения квадратные уравнения для вычисления каждой ноги тройки Пифагора.^[13] Простой способ - изменить стандартное уравнение Евклида, добавив переменную Икс для каждого м и п пара. В м, н пара рассматривается как константа, а значение Икс варьируется для создания «семьи» троек на основе выбранной тройки. Перед "Икс"значение на любом м или же п, что заставляет результирующее уравнение систематически «пропускать» тройки. Например, рассмотрим тройку [20, 21, 29], которую можно вычислить из уравнений Евклида со значением м = 5 и п = 2. Кроме того, произвольно поставьте коэффициент 4 перед знаком "Икс" в "м" срок.

Позволять ${displaystyle m_{1}=(4x+m)}$ и разреши ${displaystyle n_{1}=(x+n)}$

Следовательно, подставляя значения м и п:

${displaystyle {egin{aligned}{ ext{Side }}A&=2m_{1}n_{1}&&=2(4x+5){ ext{ }}(x+2)&&=8x^{2}+26x+20{ ext{Side }}B&=m_{1}^{2}-n_{1}^{2}&&=(4x+5)^{2}-(x+2)^{2}&&=15x^{2}+36x+21{ ext{Side }}C&=m_{1}^{2}+n_{1}^{2}&&=(4x+5)^{2}+(x+2)^{2}&&=17x^{2}+44x+29end{aligned}}}$

Обратите внимание, что исходная тройка содержит постоянный член в каждом из соответствующих квадратных уравнений. Ниже приведен пример вывода этих уравнений. Обратите внимание, что эффект этих уравнений должен вызвать "м"значение в уравнениях Евклида увеличивается с шагом 4, а"п"значение увеличивается на 1.

Икс	сторона а	сторона б	сторона c	м	п
0	20	21	29	5	2
1	54	72	90	9	3
2	104	153	185	13	4
3	170	264	314	17	5
4	252	405	477	21	6

Пифагоровы тройки с использованием матриц и линейных преобразований

Основная статья: Древо первобытных пифагорейских троек

Позволять [а, б, c] быть примитивной тройкой с а странный. Затем 3 новых тройки [а₁, б₁, c₁], [а₂, б₂, c₂], [а₃, б₃, c₃] может быть произведено из [а, б, c] с помощью матричное умножение и Берггрена^[11] три матрицы А, B, C. Тройной [а, б, c] называется родитель из трех новых троек ( дети). Каждый ребенок сам является родителем еще трех детей и так далее. Если начать с примитивной тройки [3, 4, 5], все примитивные тройки в конечном итоге будут получены путем применения этих матриц. Результат можно графически представить в виде бесконечного тройное дерево с [а, б, c] в корневом узле. Эквивалентный результат может быть получен с использованием трех линейные преобразования показано ниже.

${displaystyle {overset {A}{mathop {left[{egin{matrix}-1&2&2-2&1&2-2&2&3end{matrix}}ight]} }}left[{egin{matrix}acend{matrix}}ight]=left[{egin{matrix}a_{1}_{1}c_{1}end{matrix}}ight],quad { ext{ }}{overset {B}{mathop {left[{egin{matrix}1&2&22&1&22&2&3end{matrix}}ight]} }}left[{egin{matrix}acend{matrix}}ight]=left[{egin{matrix}a_{2}_{2}c_{2}end{matrix}}ight],quad { ext{ }}{overset {C}{mathop {left[{egin{matrix}1&-2&22&-1&22&-2&3end{matrix}}ight]} }}left[{egin{matrix}acend{matrix}}ight]=left[{egin{matrix}a_{3}_{3}c_{3}end{matrix}}ight]}$

Три линейных преобразования Берггрена:

${displaystyle {egin{aligned}&{egin{matrix}-a+2b+2c=a_{1}quad &-2a+b+2c=b_{1}quad &-2a+2b+3c=c_{1}&quad o left[{ ext{ }}a_{1},{ ext{ }}b_{1},{ ext{ }}c_{1}ight]end{matrix}}&{egin{matrix}+a+2b+2c={{a}_{2}}quad &+2a+b+2c={{b}_{2}}quad &+2a+2b+3c={{c}_{2}}&quad o left[{ ext{ }}{{a}_{2}},{ ext{ }}{{b}_{2}},{ ext{ }}{{c}_{2}}ight]end{matrix}}&{egin{matrix}+a-2b+2c={{a}_{3}}quad &+2a-b+2c={{b}_{3}}quad &+2a-2b+3c={{c}_{3}}&quad o left[{ ext{ }}{{a}_{3}},{ ext{ }}{{b}_{3}},{ ext{ }}{{c}_{3}}ight]end{matrix}}&end{aligned}}}$

В качестве альтернативы, можно также использовать 3 разные матрицы, найденные Прайсом.^[10] Эти матрицы А ', Б', В ' и соответствующие им линейные преобразования показаны ниже.

${displaystyle {overset {{A}'}{mathop {left[{egin{matrix}2&1&-1-2&2&2-2&1&3end{matrix}}ight]} }}left[{egin{matrix}acend{matrix}}ight]=left[{egin{matrix}a_{1}_{1}c_{1}end{matrix}}ight],quad { ext{ }}{overset {{B}'}{mathop {left[{egin{matrix}2&1&12&-2&22&-1&3end{matrix}}ight]} }}left[{egin{matrix}acend{matrix}}ight]=left[{egin{matrix}a_{2}_{2}c_{2}end{matrix}}ight],quad { ext{ }}{overset {{C}'}{mathop {left[{egin{matrix}2&-1&12&2&22&1&3end{matrix}}ight]} }}left[{egin{matrix}acend{matrix}}ight]=left[{egin{matrix}a_{3}_{3}c_{3}end{matrix}}ight]}$

Три линейных преобразования цены:

${displaystyle {egin{aligned}&{egin{matrix}+2a+b-c=a_{1}quad &-2a+2b+2c=b_{1}quad &-2a+b+3c=c_{1}&quad o left[{ ext{ }}a_{1},{ ext{ }}b_{1},{ ext{ }}c_{1}ight]end{matrix}}&{egin{matrix}+2a+b+c=a_{2}quad &+2a-2b+2c=b_{2}quad &+2a-b+3c=c_{2}&quad o left[{ ext{ }}a_{2},{ ext{ }}b_{2},{ ext{ }}c_{2}ight]end{matrix}}&{egin{matrix}+2a-b+c=a_{3}quad &+2a+2b+2c=b_{3}quad &+2a+b+3c=c_{3}&quad o left[{ ext{ }}a_{3},{ ext{ }}b_{3},{ ext{ }}c_{3}ight]end{matrix}}&end{aligned}}}$

Три дочерних элемента, созданные каждым из двух наборов матриц, не совпадают, но каждый набор отдельно создает все примитивные тройки.

Например, используя [5, 12, 13] в качестве родителя, мы получаем два набора из трех дочерних элементов:

${displaystyle {egin{array}{ccc}&left[5,12,13ight]&A&B&Cleft[45,28,53ight]&left[55,48,73ight]&left[7,24,25ight]end{array}}quad quad quad quad quad quad {egin{array}{ccc}{}&left[5,12,13ight]&{}A'&B'&C'left[9,40,41ight]&left[35,12,37ight]&left[11,60,61ight]end{array}}}$

Площадь пропорциональна сумме квадратов

Все примитивные тройки с ${displaystyle b+1=c}$ и с а odd может быть сгенерировано следующим образом:^[14]

Пифагорейская тройка	Полупериметр	Площадь	Радиус вписанной окружности	Радиус окружности
${displaystyle left(3,4,5ight)}$	1 + 2 + 3	${displaystyle 6 imes (1^{2})}$	1	${displaystyle { frac {5}{2}}}$
${displaystyle left(5,12,13ight)}$	1 + 2 + 3 + 4 + 5	${displaystyle 6 imes (1^{2}+2^{2})}$	2	${displaystyle { frac {13}{2}}}$
${displaystyle left(7,24,25ight)}$	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7	${displaystyle 6 imes (1^{2}+2^{2}+3^{2})}$	3	${displaystyle { frac {25}{2}}}$
.......	.......	.......	.......	.......
${displaystyle left(a,{ frac {a^{2}-1}{2}},{ frac {a^{2}+1}{2}}ight)}$	1 + 2 + ... + а	${displaystyle 6 imes left[1^{2}+2^{2}+cdots +left({ frac {a-1}{2}}ight)^{2}ight]}$	${displaystyle left({ frac {a-1}{2}}ight)}$	${displaystyle { frac {c}{2}}}$

Теорема перечисления превышения высоты

Уэйд и Уэйд^[15] впервые ввел категоризацию пифагоровых троек по их высоте, определяемую как c - b, связывая 3,4,5 с 5,12,13 и 7,24,25 и так далее.

Маккалоу и Уэйд^[16] расширил этот подход, который производит все тройки Пифагора, когда ${displaystyle k>{frac {h{sqrt {2}}}{d}}:}$ Напишите положительное целое число час как pq² с п без квадратов и q положительный. Набор d = 2pq если п странно, или d= pq если п даже. Для всех пар (h, k) натуральных чисел, тройки имеют вид

${displaystyle (h+dk,dk+{frac {(dk)^{2}}{2h}},h+dk+{frac {(dk)^{2}}{2h}}).}$

Примитивные тройки возникают, когда gcd (k, h) = 1 и либо h = q² с q странный или час=2q².

Рекомендации

1. Фибоначчи, Леонардо Пизано, (1225), Liber Quadratorum.
2. Фибоначчи, Леонардо Пизано. Книга квадратов (Liber Quadratorum). Аннотированный перевод на современный английский язык Л. Э. Сиглера. (1987) Орландо, Флорида: Academic Press. ISBN  978-0-12-643130-8
3. Стифель, Михаил, (1544), Арифметика Интегра.
4. Озанам, Жак (1814). «Отдых по математике и натурфилософии». 1. Г. Кирсли: 49. Получено 2009-11-19.
5. Озанам, Жак, (1844). Наука и естественная философия: перевод д-ра Хаттона издания Montucla Ozanam, отредактированный Эдвардом Риддлом, Томасом Теггом, Лондон. Читать онлайн- Корнельский университет
6. Диксон, Л. Э. (1920), История теории чисел, Том II. Диофантов анализ, Вашингтонский институт Карнеги, публикация № 256, 12 + 803pp. Читать онлайн - University of Toronto
7. Рукавицкая, Дж. (2013), Возвращение к методу Диксона для создания пифагоровых троек, Европейский журнал чистой и прикладной математики ISSN 1307-5543, Vol. 6, вып.3 (2013) с.363-364, онлайн1 онлайн2
8. Хорадам, А. Ф., "Тройки чисел Фибоначчи", Американский математический ежемесячный журнал 68, 1961, 751-753.
9. Bernhart, Frank R .; Цена, Х. Ли (2005). «Формула Герона, круги Декарта и треугольники Пифагора». arXiv:математика / 0701624v1.
10. Цена, Х. Ли (2008). «Пифагорейское дерево: новый вид». arXiv:0809.4324.
11. Берггрен, Б. (1934). «Пытагорейский треугольник». Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi (на шведском языке). 17: 129–139.
12. Карвалью, Альда; Перейра душ Сантуш, Карлос (2012). «Очень полезное дерево Пифагора». В Сильве, Хорхе Нуно (ред.). Материалы второго коллоквиума по развлекательной математике, Университет Эворы, Португалия, 27–30 апреля 2011 г.. Лиссабон: Associação Ludus. С. 3–15. ISBN  9789899734623.
13. Дж. Л. Поэт и Д. Л. Вестал младший (2005). "Любопытные последствия мископируемого квадратичного", Журнал математики колледжа 36, 273–277.
14. Барбо, Эдвард, Power Play, Математическая ассоциация Америки, 1997, стр. 51, поз.3.
15. Уэйд, Питер и Уэйд, Уильям, «Рекурсии, которые производят пифоагорейские тройки», Журнал математики колледжа 31 марта 2000 г., 98-101.
16. Маккалоу, Дэррил и Уэйд, Элизабет, «Рекурсивное перечисление троек Пифагора», Журнал математики колледжа 34, март 2003 г., 107–111.