Решетка пиявки - Leech lattice - Wikipedia

В математика, то Решетка пиявки это даже унимодулярная решетка Λ₂₄ в 24-мерном Евклидово пространство, которая является одной из лучших моделей для проблема с числом поцелуев. Это было обнаружено Джон Лич  (1967 ). Он также мог быть обнаружен (но не опубликован) Эрнст Витт в 1940 г.

Характеристика

Решетка пиявки Λ₂₄ единственная решетка в E²⁴ со следующим списком свойств:

• это унимодулярный; т.е. может быть порожден столбцами некоторого 24 × 24 матрица с детерминант  1.
• Это даже; т.е. квадрат длины каждого вектора в Λ₂₄ - четное целое число.
• Длина любого ненулевого вектора в Λ₂₄ не меньше 2.

Последнее условие эквивалентно тому, что единичные шары с центрами в точках Λ₂₄ не перекрываются. Каждый из них касается 196 560 соседей, и это, как известно, самое большое количество неперекрывающихся 24-мерных единичных шаров, которые могут одновременно коснуться единого шара. Такое расположение 196 560 единичных шаров, центрированных вокруг другого единичного шара, настолько эффективно, что нет места для перемещения любого из шаров; эта конфигурация вместе с ее зеркальным отображением является Только 24-мерное расположение, в котором 196 560 единичных шаров одновременно касаются другого. Это свойство также верно для 1, 2 и 8 измерений с 2, 6 и 240 единичными шарами, соответственно, в зависимости от целочисленная решетка, шестиугольная черепица и Решетка E8, соответственно.

Нет корневая система и по сути это первая унимодулярная решетка без корни (векторы нормы меньше 4) и поэтому имеет центральную плотность 1. Умножив это значение на объем единичного шара в 24 измерениях, ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}}$, можно получить его абсолютную плотность.

Конвей (1983) показал, что решетка Лича изометрична множеству простых корней (или Диаграмма Дынкина ) из группа отражения 26-мерной четной лоренцевой унимодулярной решетки II_25,1. Для сравнения, диаграммы Дынкина II_9,1 и II_17,1 конечны.

Приложения

В двоичный код Голея, независимо разработанное в 1949 году, представляет собой приложение в теория кодирования. Более конкретно, это код исправления ошибок, способный исправлять до трех ошибок в каждом 24-битном слове и обнаруживать четвертую. Он использовался для связи с Зонды "Вояджер", так как он намного компактнее ранее использовавшихся Код Адамара.

Квантователи, или же аналого-цифровые преобразователи, можно использовать решетки для минимизации среднего среднеквадратичный ошибка. Большинство квантователей основаны на одномерном целочисленная решетка, но использование многомерных решеток снижает среднеквадратичную ошибку. Решетка пиявки - хорошее решение этой проблемы, так как Клетки Вороного иметь низкий второй момент.

В вершинная алгебра из двумерная конформная теория поля описание бозонная теория струн, компактифицированный на 24-мерном частное тор р²⁴/ Λ₂₄ и складчатый двухэлементной группой отражения обеспечивает явное построение Алгебра грисса это имеет группа монстров как его группа автоморфизмов. Этот монстр вершинная алгебра также использовался, чтобы доказать чудовищный самогон домыслы.

Конструкции

Решетка пиявки может быть построена множеством способов. Как и все решетки, его можно построить, взяв интеграл пролета столбцов его матрица генератора, матрица 24 × 24 с детерминант 1.

Матрица генератора пиявки

Генератор 24x24 (соглашение по строкам) для решетки пиявки задается следующей матрицей, деленной на ${\displaystyle {\sqrt {8}}}$:

 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0−3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

^[1]

Использование двоичного кода Голея

Решетка Лича может быть явно построена как множество векторов вида 2^−3/2(а₁, а₂, ..., а₂₄) где а_я целые числа такие, что

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}}$

и для каждого класса фиксированного остатка по модулю 4 24-битное слово, единицы которого соответствуют координатам я такой, что а_я принадлежит этому классу вычетов, является словом в двоичный код Голея. Код Голея, вместе с соответствующим дизайном Витта, используется в конструкции минимальных векторов 196560 в решетке Пиявки.

Используя лоренцеву решетку II_25,1

Решетка пиявки также может быть построена как ${\displaystyle w^{\perp }/w}$ куда ш - вектор Вейля:

${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24;70)}$

в 26-мерном четном лоренцевом унимодулярная решетка II_25,1. Существование такого интегрального вектора с нулевой лоренцевой нормой основывается на том, что 1² + 2² + ... + 24² это идеальный квадрат (на самом деле 70²); то номер 24 - единственное целое число больше 1 с этим свойством. Это было предположено Эдуард Лукас, но доказательство пришло намного позже, на основе эллиптические функции.

Вектор${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24)}$в этой конструкции действительно Вектор Вейля четной подрешетки D₂₄ нечетной унимодулярной решетки я²⁵. В более общем смысле, если L - любая положительно определенная унимодулярная решетка размерности 25 с по крайней мере 4 векторами нормы 1, то вектор Вейля его корней нормы 2 имеет целую длину, и существует аналогичная конструкция решетки Лича с использованием L и этот вектор Вейля.

На основе других решеток

Конвей и Слоан (1982) описал еще 23 конструкции решетки Пиявки, каждая из которых основана на Решетка Нимейера. Его также можно построить, используя три копии Решетка E8, точно так же, как двоичный код Голея может быть построен с использованием трех копий расширенного Код Хэмминга, H₈. Эта конструкция известна как Турин Построение решетки пиявки.

Как ламинированная решетка

Начиная с одной точки, Λ₀можно складывать копии решетки Λ_п сформировать (п + 1) -мерная решетка, Λ_п+1, без уменьшения минимального расстояния между точками. Λ₁ соответствует целочисленная решетка, Λ₂ к шестиугольная решетка, а Λ₃ это гранецентрированная кубическая упаковка. Конвей и Слоан (1982b) показал, что решетка пиявки - это уникальная многослойная решетка в 24 измерениях.

Как сложная решетка

Решетка Лича также является 12-мерной решеткой над Целые числа Эйзенштейна. Это известно как сложная решетка пиявки, и изоморфна 24-мерной вещественной решетке Лича. В сложной конструкции решетки пиявки двоичный код Голея заменяется на троичный код Голея, а Группа Матье M₂₄ заменяется на Группа Матье M₁₂. В E₆ решетка E₈ решетка и Решетка Кокстера – Тодда также имеют конструкции в виде комплексных решеток либо над решеткой Эйзенштейна, либо над Гауссовские целые числа.

Использование икозианского кольца

Решетка Пиявки также может быть построена с помощью кольца икозианцы. Икозиево кольцо абстрактно изоморфно кольцу Решетка E8, три экземпляра которых можно использовать для построения решетки Пиявки с помощью конструкции Турина.

Конструкция Витта

В 1972 году Витт дал следующую конструкцию, которую, по его словам, нашел в 1940 году, 28 января. Предположим, что ЧАС является п к п Матрица Адамара, куда п=4ab. Тогда матрица ${\displaystyle {\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}}$ определяет билинейную форму в 2п размеры, ядро ​​которых п размеры. Фактор по этому ядру представляет собой неособую билинейную форму, принимающую значения в (1/2)Z. Он имеет 3 подрешетки индекса 2, которые являются целочисленными билинейными формами. Витт получил решетку Лича как одну из этих трех подрешеток, взяв а=2, б= 3, и принимая ЧАС быть матрицей 24 на 24 (индексируется Z/23Z ∪ ∞) с элементами Χ (м+п) где Χ (∞) = 1, Χ (0) = - 1, Χ (п) = - символ квадратичного вычета по модулю 23 при ненулевом п. Эта матрица ЧАС это Матрица Пэли с незначительными изменениями знаков.

Использование матрицы Пэли

Чепмен (2001) описал конструкцию, используяперекос матрицы Адамара из Палей введите Решетка Нимейера с корневой системой ${\displaystyle D_{24}}$ можно превратить в модуль для кольца целых чисел поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$. Умножение этой решетки Нимейера на неглавный идеал кольца целых чисел дает решетку Лича.

Использование октонионов

Если L это набор октонионы с координатами на ${\displaystyle E_{8}}$ решетки, то решетка Лича - это множество троек ${\displaystyle (x,y,z)}$ такой, что

${\displaystyle x,y,z\in L}$

${\displaystyle x+y,y+z,x+z\in L{\bar {s}}}$

${\displaystyle x+y+z\in Ls}$

куда ${\displaystyle s{\bar {s}}={\frac {1}{2}}(s_{x}{\bar {s}}_{x}+s_{y}{\bar {s}}_{y}+s_{z}{\bar {s}}_{z})=2}$.

Симметрии

Решетка пиявки очень симметрична. Его группа автоморфизмов это Конвей группа Co₀, что составляет порядка 8 315 553 613 086 720 000. Центр Ко.₀ имеет два элемента, а частное Co₀ этим центром находится группа Conway Co₁, конечная простая группа. Много других спорадические группы, такие как остальные группы Конвея и Матье группы, могут быть построены как стабилизаторы различных конфигураций векторов в решетке Лича.

Несмотря на такой высокий вращающийся группа симметрии решетка Лича не имеет гиперплоскостей симметрии отражения. Другими словами, решетка пиявки хиральный. Он также имеет гораздо меньше симметрий, чем 24-мерный гиперкуб и симплекс.

Группа автоморфизмов была впервые описана Джон Конвей. 398034000 векторов нормы 8 попадают в 8292375 «пересечений» из 48 векторов. Каждый крест содержит 24 взаимно ортогональных вектора и их отрицания и, таким образом, описывает вершины 24-мерного ортоплекс. Каждый из этих крестов можно принять за систему координат решетки и имеет ту же симметрию, что и решетка. Код Голея, а именно 2¹² × | M₂₄|, Следовательно, полная группа автоморфизмов решетки Пиявки имеет порядок 8292375 × 4096 × 244823040, или 8 315 553 613 086 720 000.

Геометрия

Конвей, Паркер и Слоан (1982) показал, что радиус покрытия решетки Лича равен ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$; другими словами, если мы поместим замкнутый шар этого радиуса вокруг каждой точки решетки, то они просто покроют евклидово пространство. Точки на расстоянии не менее ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ из всех узлов решетки называются глубокие дыры решетки пиявки. Их 23 орбиты находятся под группой автоморфизмов решетки Лича, и эти орбиты соответствуют 23 Решетки Нимейера кроме решетки Лича: множество вершин глубокой дыры изометрично аффинной диаграмме Дынкина соответствующей решетки Нимейера.

Решетка пиявки имеет плотность ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930\ldots }$. Кон и Кумар (2009) показал, что он дает наиболее плотную решетку упаковка мячей в 24-мерном пространстве. Генри Кон, Абхинав Кумар и Стивен Д. Миллер и др. (2016 ) улучшил это, показав, что это самая плотная упаковка сфер, даже среди нерешетчатых упаковок.

Минимальные векторы 196560 бывают трех различных разновидностей, известных как формы:

• ${\displaystyle 1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}}$ векторы формы (4²,0²²) для всех перестановок и выбора знаков;
• ${\displaystyle 97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}}$ векторы формы (2⁸,0¹⁶), где двойки соответствуют октаде в коде Голея, и есть любое четное количество знаков минус;
• ${\displaystyle 98304=2^{12}\cdot 24}$ векторы формы (∓3, ± 1²³), где нижний знак используется для «1» любого кодового слова кода Голея, а «∓3» может появляться в любой позиции.

В троичный код Голея, двоичный код Голея и решетка пиявки дают очень эффективные 24-мерные сферические коды 729, 4096 и 196560 баллов соответственно. Сферические коды являются многомерными аналогами Проблема Таммеса, который возник как попытка объяснить распределение пор на пыльцевых зернах. Они распределены таким образом, чтобы минимальный угол между ними был максимальным. В двух измерениях проблема тривиальна, но в трех измерениях и выше - нет. Примером сферического кода в трех измерениях является набор из 12 вершин правильного икосаэдра.

Серия Theta

Любой (положительно определенной) решетке Λ можно сопоставить a тета-функция данный

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \operatorname {Im} \tau >0.}$

Тогда тета-функция решетки есть голоморфная функция на верхняя полуплоскость. Кроме того, тета-функция четной унимодулярной решетки ранга п на самом деле модульная форма веса п/ 2 за полную модульная группа PSL(2,Z). Тета-функцию интегральной решетки часто записывают в виде степенного ряда от ${\displaystyle q=e^{2i\pi \tau }}$ так что коэффициент q^п дает количество векторов решетки квадрата нормы 2п. В решетке Пиявки имеется 196560 векторов с квадратом нормы 4, 16773120 векторов с квадратом нормы 6, 398034000 векторов с квадратом нормы 8 и так далее. Тета-ряд решетки Пиявки равен

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{\Lambda _{24}}(\tau )&=E_{12}(\tau )-{\frac {65520}{691}}\Delta (\tau )\\[5pt]&=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right)q^{m}\\[5pt]&=1+196560q^{2}[phone]q^{3}[phone]q^{4}+\cdots ,\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle E_{12}(\tau )}$ нормализованный Серия Эйзенштейна веса 12, ${\displaystyle \Delta (\tau )}$ это модульный дискриминант, ${\displaystyle \sigma _{11}(n)}$ это делительная функция для экспоненты 11 и ${\displaystyle \tau (n)}$ это Рамануджан тау функция. Отсюда следует, что для м≥1 количество векторов квадрата нормы 2м является

${\displaystyle {\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right).}$

История

Многие поперечные сечения решетки пиявки, в том числе Решетка Кокстера – Тодда и Решетка Барнса – Уолла, в 12 и 16 измерениях, были обнаружены намного раньше, чем решетка Пиявки. О'Коннор и Полл (1944) открыл родственную нечетную унимодулярную решетку в 24 измерениях, теперь называемую нечетной решеткой Пиявки, одним из двух четных соседей которой является решетка Пиявки. Решетка пиявки была открыта в 1965 г. Джон Лич  (1967, 2.31, с. 262), улучшив некоторые ранее обнаруженные им упаковки сфер (Пиявка 1964 ).

Конвей  (1968 ) вычислил порядок группы автоморфизмов решетки Лича, и, работая с Джон Г. Томпсон, открыл три новых спорадические группы как побочный продукт: Конвей группы, Co₁, Co₂, Co₃. Они также показали, что четыре других (тогда) недавно объявленных спорадических группы, а именно: Хигман-Симс, Сузуки, Маклафлин, а Янко группа J₂ можно найти внутри групп Конвея, используя геометрию решетки Пиявки. (Ронан, стр.155)

Bei dem Versuch, eine Form aus einer solchen Klasse wirklich anzugeben, fand ich mehr als 10 verschiedene Klassen in Γ₂₄

Витт (1941, п. 324)

Витт (1941, п. 324), содержит одно довольно загадочное предложение, в котором упоминается, что он обнаружил более 10 даже унимодулярных решеток в 24 измерениях, без дополнительных подробностей. Витт (1998, п. 328–329) заявил, что ранее в 1938 г. он обнаружил 9 таких решеток и нашел еще две, Решетка Нимейера с А²⁴
₁ корневая система и решетка пиявки (а также нечетная решетка пиявки) в 1940 году.

Смотрите также

• Упаковка сфер
• E₈ решетка

Рекомендации

1. Конвей, Дж.; Слоан, Нью-Джерси (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290, При участии Bannai, E .; Borcherds, R.E .; Leech, J .; Norton, S.P .; Одлызко, А. М .; Parker, R.A .; Queen, L .; Венков, Б. Б. (Третье изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98585-5, МИСТЕР  0662447, Zbl  0915.52003

• Чепмен, Робин (2001), "Конференц-матрицы и унимодулярные решетки", Европейский журнал комбинаторики, 22 (8): 1033–1045, arXiv:math.NT / 0007116, Дои:10.1006 / eujc.2001.0539, ISSN  0195-6698, МИСТЕР  1861046, Zbl  0993.05036
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2009), "Оптимальность и единственность решетки Пиявки среди решеток", Анналы математики, 170 (3): 1003–1050, arXiv:math.MG/0403263, Дои:10.4007 / анналы.2009.170.1003, ISSN  1939-8980, МИСТЕР  2600869, Zbl  1213.11144
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2004), "Самая плотная решетка в двадцати четырех измерениях", Объявления об электронных исследованиях Американского математического общества, 10 (7): 58–67, arXiv:math.MG/0408174, Дои:10.1090 / S1079-6762-04-00130-1, ISSN  1079-6762, МИСТЕР  2075897
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав; Миллер, Стивен Д .; Радченко, Данило; Вязовская, Марина (2017), «Задача упаковки сфер в размерности 24», Анналы математики, 185 (3): 1017–1033, arXiv:1603.06518, Bibcode:2016arXiv160306518C, Дои:10.4007 / анналы.2017.185.3.8
• Конвей, Джон Хортон (1968), «Совершенная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 61 (2): 398–400, Bibcode:1968ПНАС ... 61..398С, Дои:10.1073 / пнас.61.2.398, МИСТЕР  0237634, ЧВК  225171, PMID  16591697
• Конвей, Джон Хортон (1983), "Группа автоморфизмов 26-мерной четной унимодулярной лоренцевой решетки", Журнал алгебры, 80 (1): 159–163, Дои:10.1016 / 0021-8693 (83) 90025-Х, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0690711
• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Н. Дж. А. (1982b), «Ламинированные решетки», Анналы математики, Вторая серия, 116 (3): 593–620, Дои:10.2307/2007025, ISSN  0003-486X, JSTOR  2007025, МИСТЕР  0678483
• Конвей, Джон Хортон; Parker, R.A .; Слоан, Н. Дж. А. (1982), "Радиус покрытия решетки пиявки", Труды Королевского общества А, 380 (1779): 261–290, Bibcode:1982RSPSA.380..261C, Дои:10.1098 / rspa.1982.0042, ISSN  0080-4630, МИСТЕР  0660415
• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Н. Дж. А. (1982), «Двадцать три конструкции для решетки Пиявки», Труды Королевского общества А, 381 (1781): 275–283, Bibcode:1982RSPSA.381..275C, Дои:10.1098 / RSPA.1982.0071, ISSN  0080-4630, МИСТЕР  0661720
• Конвей, Дж.; Слоан, Нью-Джерси (1999), Сферы, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290, При участии Bannai, E .; Borcherds, R.E .; Leech, J .; Norton, S.P .; Одлызко, А. М .; Parker, R.A .; Queen, L .; Венков, Б. Б. (Третье изд.), Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98585-5, МИСТЕР  0662447, Zbl  0915.52003
• Дю Сотуа, Маркус (2009), В поисках самогона, Четвертое сословие, ISBN  978-0-00-721462-4
• Грисс, Роберт Л. (1998), Двенадцать спорадических групп, Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, МИСТЕР  1707296
• Пиявка, Джон (1964), "Некоторые упаковки сфер в более высоком пространстве", Канадский математический журнал, 16: 657–682, Дои:10.4153 / CJM-1964-065-1, ISSN  0008-414X, МИСТЕР  0167901
• Пиявка, Джон (1967), "Заметки о сферических упаковках", Канадский математический журнал, 19: 251–267, Дои:10.4153 / CJM-1967-017-0, ISSN  0008-414X, МИСТЕР  0209983
• О'Коннор, Р. Э .; Полл, Г. (1944), "Построение целочисленных квадратичных форм определителя 1", Математический журнал герцога, 11 (2): 319–331, Дои:10.1215 / S0012-7094-44-01127-0, ISSN  0012-7094, МИСТЕР  0010153
• Томпсон, Томас М (1983), От кодов с исправлением ошибок до сферических упаковок и простых групп, Математические монографии Каруса, 21, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-023-7, МИСТЕР  0749038
• Ронан, Марк (2006), Симметрия и чудовище, Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0-19-280722-9, МИСТЕР  2215662
• Витт, Эрнст (1941), "Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 14: 323–337, Дои:10.1007 / BF02940750, МИСТЕР  0005508
• Витт, Эрнст (1998), Сборник статей. Gesammelte Abhandlungen, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-57061-5, МИСТЕР  1643949

внешняя ссылка

• Решетка пиявки (CP4space)
• Вайсштейн, Эрик В. «Пиявочная решетка». MathWorld.
• The Leech Lattice, U. of Illinois в Чикаго, сайт Марка Ронана
• Статьи Р. Э. Борчердса