II25,1 - II25,1

В математике II_25,1 является четным 26-мерным лоренцевым унимодулярная решетка. Он имеет несколько необычных свойств, вытекающих из открытия Конвея, что его норма равна нулю. Вектор Вейля. В частности, это тесно связано с Решетка пиявки Λ и имеет Конвей группа Co1 на вершине своей группы автоморфизмов.

Строительство

Написать р^{м, н} для т + п мерное векторное пространствор^{т + п} с внутренним произведением (а₁,...,а_{т + п}) и (б₁,...,б_{т + п}) предоставлено

а₁б₁+...+а_мб_м − а_{м + 1}б_{м + 1} − ... − а_{т + п}б_{т + п}.

Решетка II_25,1 задается всеми векторами (а₁,...,а₂₆)в р^25,1 так что либо все а_я являются целыми числами или все они целые плюс 1/2, а их сумма четная.

Группа отражения

Решетка II_25,1 изоморфна Λ⊕H, где:

Λ - это Решетка пиявки,
H - двумерная четная лоренцева решетка, порожденная двумя векторами нормы 0 z и ш с внутренним произведением –1,

и два слагаемых ортогональны. Таким образом, мы можем записать векторы II_25,1 как (λ,м, п) = λ +мз+nw с λ в Λ и м,п целые числа, где (λ,м, п) имеет норму λ² –2млн. Чтобы явно указать изоморфизм, пусть ${ Displaystyle ш = (0,1,2,3, точки, 22,23,24; 70)}$ , и ${ Displaystyle Z = (1,0,2,3, точки, 22,23,24; 70)}$ , так что подпространство ${ displaystyle H}$ создано ${ displaystyle w}$ и ${ displaystyle z}$ является двумерной четной лоренцевой решеткой. потом ${ displaystyle H ^ { perp}}$ изоморфен ${ Displaystyle ш ^ { перп} / ш}$ и мы восстанавливаем одно из определений Λ.

Конвей показал, что корни (векторы нормы 2), имеющие внутренний продукт –1 с ш= (0,0,1) - простые корни группы отражений. Это векторы (λ, 1, λ²/ 2–1) для λ в решетке Лича. Другими словами, простые корни можно отождествить с точками решетки Пиявки, и, кроме того, это изометрия множества простых корней решетке Пиявки.

Группа отражений - это гиперболическая группа отражений, действующая в 25-мерном гиперболическом пространстве. Фундаментальная область группы отражений имеет 1 + 23 + 284 орбиты вершин следующим образом:

Одна бесконечно удаленная вершина, соответствующая вектору Вейля с нормой 0.
23 бесконечно удаленных орбиты вершин, пересекающих конечное число граней фундаментальной области. Эти вершины соответствуют глубоким отверстиям решетки Пиявки, и 23 их орбиты соответствуют 23 решеткам Нимейера, кроме решетки Пиявки. Простые корни, пересекающие одну из этих вершин, образуют аффинную диаграмму Дынкина ранга 24.
284 орбиты вершин в гиперболическом пространстве. Они соответствуют 284 орбитам мелких отверстий решетки пиявки. Простые корни, пересекающие любую из этих вершин, образуют сферическую диаграмму Дынкина ранга 25.

Группа автоморфизмов

Конвей (1983) описал группу автоморфизмов Aut (II_25,1) II_25,1 следующее.

Во-первых, Aut (II_25,1) является произведением группы порядка 2, порожденной –1, на подгруппу индекса 2 Aut⁺(II_25,1) автоморфизмов, сохраняющих направление времени.
Группа Aut⁺(II_25,1) имеет нормальную подгруппу Ref, порожденную ее отражениями, простые корни которой соответствуют векторам решетки Лича.
Группа Aut⁺(II_25,1) / Ref изоморфна группе аффинных автоморфизмов решетки Лича Λ, а значит, имеет нормальную подгруппу сдвигов, изоморфную Λ =Z²⁴, а фактор изоморфен группе всех автоморфизмов решетки Лича, которая является двойным покрытием Конвей группа Co₁, спорадическая простая группа.

Векторы

Каждый ненулевой вектор II_25,1 может быть записан однозначно как положительное целое число, кратное примитивному вектору, поэтому для классификации всех векторов достаточно классифицировать примитивные векторы.

Векторы положительной нормы

Любые два примитивных вектора положительной нормы с одинаковой нормой сопряжены относительно группы автоморфизмов.

Норма нулевых векторов

Имеется 24 орбиты векторов с примитивной нормой 0, соответствующих 24 орбитам. Решетки Нимейера. Соответствие задается следующим образом: если z вектор нормы 0, то решетка z^⊥/z является 24-мерной четной унимодулярной решеткой и, следовательно, является одной из решеток Нимейера.

Решетка Нимейера, соответствующая норме 0 вектору Вейля группы отражений II_25,1 решетка пиявки.

Норма –2 вектора

Есть 121 орбита векторов v нормы –2, что соответствует 121 классу изоморфизма 25-мерных четных решеток L определителя 2. В этом соответствии решетка L изоморфно ортогональному дополнению вектора v.

Норма –4 вектора

Есть 665 орбит векторов v нормы –4, что соответствует 665 классам изоморфизма 25-мерных унимодулярные решетки L. В этом соответствии подрешетка индекса 2 четных векторов решетки L изоморфно ортогональному дополнению вектора v.

Другие векторы

Есть похожие, но все более сложные описания векторов нормы –2.п за п= 3, 4, 5, ..., и количество орбит таких векторов довольно быстро растет.