Матьё группа М12 - Mathieu group M12

Для общего фона и истории спорадических групп Матье см. Группа Матье.

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Матье M₁₂ это спорадическая простая группа из порядок

   12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 2⁶ · 3³ · 5 · 11 = 95040.

История и свойства

M₁₂ является одной из 26 спорадических групп и была введена Матье  (1861, 1873 ). Это резко 5-переходный группа перестановок на 12 объектов. Бургойн и Фонг (1968) показал, что Множитель Шура из M₁₂ имеет порядок 2 (исправление ошибки в (Бургойн и Фонг 1966 ) где они неправильно заявили, что у него порядок 1).

Двойная крышка была неявно обнаружена ранее Кокстер (1958), который показал, что M₁₂ является подгруппой проективная линейная группа размерности 6 над конечное поле с 3 элементами.

В группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2, а полная группа автоморфизмов M₁₂.2 содержится в M₂₄ как стабилизатор пары дополнительных додекад из 24 точек с внешними автоморфизмами M₁₂ поменять местами два додекада.

Представления

Фробениус (1904) вычислил комплексную таблицу символов M₁₂.

M₁₂ имеет строго 5-транзитивное перестановочное представление на 12 точках, стабилизатором которых является Матьё группа М₁₁. Отождествляя 12 точек с проективной линией над полем из 11 элементов, M₁₂ порождается перестановками PSL₂(11) вместе с перестановкой (2,10) (3,4) (5,9) (6,7). Это перестановочное представление сохраняет Система Штейнера S (5,6,12) 132 специальных гексад, таких, что каждая пентада содержится ровно в 1 специальной гексаде, а гексады являются опорами кодовых слов веса 6 расширенного троичный код Голея. На самом деле M₁₂ имеет два неэквивалентных действия на 12 точках, замененных внешним автоморфизмом; они аналогичны двум неэквивалентным действиям симметрической группы S₆ на 6 баллов.

Двойная крышка 2.M₁₂ группа автоморфизмов расширенного троичный код Голея, код размерности 6, длина 12, над полем порядка 3 минимального веса 6. В частности, двойная крышка имеет неприводимое 6-мерное представление над полем из 3 элементов.

Двойная крышка 2.M₁₂ группа автоморфизмов любого 12 × 12 Матрица Адамара.

M₁₂ централизует элемент порядка 11 в группа монстров, в результате чего он естественным образом действует на вершинная алгебра над полем с 11 элементами, заданными как Когомологии Тейта из монстр вершинная алгебра.

Максимальные подгруппы

Всего существует 11 классов сопряженности максимальных подгрупп группы M₁₂, 6, встречающиеся в автоморфных парах, а именно:

• M₁₁, порядок 7920, индекс 12. Есть два класса максимальных подгрупп, обмениваемых внешним автоморфизмом. Одна - это подгруппа, фиксирующая точку с орбитами размера 1 и 11, а другая действует транзитивно на 12 точках.
• S₆: 2 = M₁₀.2 группа внешних автоморфизмов симметрической группы S₆ порядка 1440, индекс 66. Есть два класса максимальных подгрупп, обмениваемых внешним автоморфизмом. Один непристойный и транзитивный, действующий с 2 ​​блоками по 6, в то время как другой - подгруппа, фиксирующая пару точек и имеющая орбиты размера 2 и 10.
• PSL (2,11), порядок 660, индекс 144, дважды транзитивный по 12 точкам
• 3²: (2.S₄), порядок 432. Есть два класса максимальных подгрупп, обмениваемых внешним автоморфизмом. Один действует с орбитами 3 и 9, а другой импримитивен на 4 наборах по 3.

Изоморфна аффинной группе на пространстве C₃ х С₃.

• S₅ x 2, порядок 240, дважды импримитивный на 6 сетов по 2 балла

Центратор шестикратного транспонирования

• Q: S₄, порядок 192, орбиты 4 и 8.

Центратор четверного транспонирования

• 4²: (2 x S₃), порядок 192, импримитив на 3 наборах по 4
• А₄ х S₃, порядок 72, дважды импримитивный, 4 набора по 3 балла.

Классы сопряженности

Форма цикла элемента и его сопряженного при внешнем автоморфизме связаны следующим образом: объединение двух форм цикла уравновешено, другими словами, инвариантно при изменении каждой из них. п-цикл к N/п цикл для некоторого целого числа N.

Заказ	Число	Централизатор	Циклы	Слияние
1	1	95040	1^12
2	396	240	2^6
2	495	192	1^42^4
3	1760	54	1^33^3
3	2640	36	3^4
4	2970	32	2^24^2	Слитый под внешним автоморфизмом
4	2970	32	1^44^2
5	9504	10	1^25^2
6	7920	12	6^2
6	15840	6	1 2 3 6
8	11880	8	1^22 8	Слитый под внешним автоморфизмом
8	11880	8	4 8
10	9504	10	2 10
11	8640	11	1 11	Слитый под внешним автоморфизмом
11	8640	11	1 11

Рекомендации

• Адем, Алехандро; Магиннис, Джон; Милграм, Р. Джеймс (1991), "Геометрия и когомологии группы Матье M₁₂", Журнал алгебры, 139 (1): 90–133, Дои:10.1016 / 0021-8693 (91) 90285-Г, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  1106342
• Burgoyne, N .; Фонг, Пол (1966), «Множители Шура групп Матье», Нагойский математический журнал, 27 (2): 733–745, Дои:10.1017 / S0027763000026519, ISSN  0027-7630, МИСТЕР  0197542
• Burgoyne, N .; Фонг, Пол (1968), "Поправка к:" Множители Шура групп Матье."", Нагойский математический журнал, 31: 297–304, Дои:10.1017 / S0027763000012782, ISSN  0027-7630, МИСТЕР  0219626
• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-65378-7
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-60300-1, МИСТЕР  0075938
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» в Powell, M. B .; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы, Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, МИСТЕР  0338152 Перепечатано в Конвей и Слоан (1999), 267–298)
• Конвей, Джон Хортон; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Curtis, R.T .; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, МИСТЕР  0827219
• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, МИСТЕР  0920369
• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1958), «Двенадцать точек в PG (5,3) с 95040 самотрансформациями», Труды Лондонского королевского общества. Серия A: математические, физические и технические науки, 247 (1250): 279–293, Дои:10.1098 / rspa.1958.0184, ISSN  0962-8444, JSTOR  100667, МИСТЕР  0120289
• Кертис, Р. Т. (1984), «Система Штейнера S (5, 6, 12), группа Матье M₁₂ и« котенок »"", в Аткинсоне, Майкл Д. (ред.), Вычислительная теория групп. Труды симпозиума Лондонского математического общества, проходившего в Дареме 30 июля - 9 августа 1982 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 353–358, ISBN  978-0-12-066270-8, МИСТЕР  0760669
• Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
• Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок, Тексты для выпускников по математике, 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN  978-0-387-94599-6, МИСТЕР  1409812
• Фробениус, Фердинанд Георг (1904 г.), "Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (на немецком языке), Königliche Akademie der Wissenschaften, Берлин, 16: 558–571, ​​Печатается в третьем томе его собрания сочинений.
• Джилл, Ник; Хьюз, Сэм (2019), "Таблица характеров резко 5-транзитивной подгруппы знакопеременной группы степени 12", Международный журнал теории групп, Дои:10.22108 / IJGT.2019.115366.1531
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, МИСТЕР  1707296
• Хьюз, Сэм (2018), Теория представлений и характеров малых групп Матье (PDF)
• Матье, Эмиль (1861), "Mémoire sur l'etude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменные", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
• Матье, Эмиль (1873 г.), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 Quantités", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), 18: 25–46, JFM  05.0088.01^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок до сферических упаковок и простых групп, Математические монографии Каруса, 21, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-023-7, МИСТЕР  0749038
• Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, Дои:10.1007 / BF02948948, ISSN  0025-5858
• Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, Дои:10.1007 / BF02948947

внешняя ссылка

• MathWorld: Группы Матье
• Атлас представлений конечных групп: M₁₂