Группа Матье - Mathieu group

В теория групп, тема в абстрактная алгебра, то Матье группы пять спорадические простые группы M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃ и M₂₄ представлен Матье  (1861, 1873 ). Они кратно переходные группы перестановок на 11, 12, 22, 23 или 24 объекта. Они были первыми обнаруженными спорадическими группами.

Иногда обозначения M₉, M₁₀, M₂₀ и M₂₁ используется для связанных групп (которые действуют на наборы из 9, 10, 20 и 21 точки соответственно), а именно для стабилизаторов точек в более крупных группах. Хотя это не спорадические простые группы, они являются подгруппами более крупных групп и могут использоваться для создания более крупных. Джон Конвей показал, что эту последовательность можно продолжить и вверх, получив Матьё группоид M₁₃ действует по 13 очкам. M₂₁ проста, но не является спорадической группой, будучи изоморфной PSL (3,4).

История

Матье (1861 г., с.271) представил группу M₁₂ как часть исследования кратно транзитивных групп перестановок и кратко упомянул (на стр. 274) группу M₂₄, отдавая приказ. В Матье (1873) он дал дополнительные подробности, в том числе явные генераторные установки для его групп, но из его аргументов было нелегко увидеть, что генерируемые группы не просто чередующиеся группы, и в течение нескольких лет существование его групп было спорным. Миллер (1898) даже опубликовал статью, ошибочно утверждая, что доказывает, что M₂₄ не существует, хотя вскоре после этого в (Миллер 1900 ) он указал, что его доказательство было неправильным, и дал доказательство того, что группы Матье просты. Витт (1938a, 1938b ) окончательно сняли сомнения в существовании этих групп, построив их как последовательные транзитивные расширения групп перестановок, а также групп автоморфизмов Системы Штайнера.

После групп Матье не было никаких новых спорадических групп до 1965 г., когда группа J₁ был открыт.

Кратно транзитивные группы

Матье было интересно найти кратно переходный группы перестановок, которые теперь будут определены. Для натурального числа k, группа перестановок г действующий на п очков k-переходный если, учитывая два набора точек а₁, ... а_k и б₁, ... б_k с тем свойством, что все а_я отличны, и все б_я различны, есть групповой элемент г в г который отображает а_я к б_я для каждого я от 1 до k. Такая группа называется резко k-переходный если элемент г уникально (т.е. действие на k-tuples есть регулярный, а не просто переходный).

M₂₄ 5-транзитивен, и M₁₂ строго 5-транзитивна, а другие группы Матье (простые или нет) являются подгруппами, соответствующими стабилизаторам группы м точек и соответственно нижней транзитивности (M₂₃ 4-транзитивно и т. д.).

Единственными 4-транзитивными группами являются симметричные группы S_k для k не менее 4, чередующиеся группы А_k для k не менее 6, а группы Матье M₂₄, M₂₃, M₁₂ и M₁₁. (Кэмерон 1999, п. 110) Для полного доказательства требуется классификация конечных простых групп, но некоторые частные случаи известны гораздо дольше.

это классический результат Иордании что симметричный и чередующиеся группы (степени k и k + 2 соответственно), и M₁₂ и M₁₁ единственные резко k-транзитивные группы подстановок для k не менее 4.

Важными примерами кратно транзитивных групп являются 2-транзитивные группы и Группы Цассенхауза. Группы Цассенхауза, в частности, включают проективная общая линейная группа проективной прямой над конечным полем PGL (2,F_q), которая является точно 3-транзитивной (см. перекрестное соотношение ) на ${\displaystyle q+1}$ элементы.

Таблица порядка и транзитивности

Группа	порядок	Заказ (товар)	Факторизованный заказ	Транзитивность	просто	Спорадический
M24	244823040	3·16·20·21·22·23·24	2^10·3^3·5·7·11·23	5-переходный	да	спорадический
M23	10200960	3·16·20·21·22·23	2^7·3^2·5·7·11·23	4-переходный	да	спорадический
M22	443520	3·16·20·21·22	2^7·3^2·5·7·11	3-переходный	да	спорадический
M21	20160	3·16·20·21	2^6·3^2·5·7	2-переходный	да	≈ PSL3(4)
M20	960	3·16·20	2^6·3·5	1-переходный	нет	≈2^4: А5
M12	95040	8·9·10·11·12	2^6·3^3·5·11	резко 5-переходный	да	спорадический
M11	7920	8·9·10·11	2^4·3^2·5·11	резко 4-переходный	да	спорадический
M10	720	8·9·10	2^4·3^2·5	резко 3-переходный	почти	M10' ≈ Alt6
M9	72	8·9	2^3·3^2	резко 2-транзитивный	нет	≈ БП3(2)
M8	8	8	2^3	точно 1-транзитивный (регулярный)	нет	≈ Q

Конструкции групп Матье

Группы Матье можно строить по-разному.

Группы перестановок

M₁₂ имеет простую подгруппу порядка 660, максимальную подгруппу. Эта подгруппа изоморфна группе проективная специальная линейная группа PSL₂(F₁₁) над поле из 11 элементов. С −1 записывается как а и бесконечность как б, два стандартных генератора: (0123456789a) и (0b) (1a) (25) (37) (48) (69). Третий генератор, дающий M₁₂ отправляет элемент Икс из F₁₁ до 4Икс² − 3Икс⁷; как перестановка (26a7) (3945).

Эта группа оказывается не изоморфной ни одному члену бесконечных семейств конечных простых групп и называется спорадической. M₁₁ является стабилизатором точки в M₁₂, и оказывается также спорадической простой группой. M₁₀, стабилизатор двух точек, не спорадический, а почти простая группа чья коммутаторная подгруппа это переменная группа А₆. Таким образом, это связано с исключительный внешний автоморфизм из А₆. Стабилизатор 3 балла - это проективная специальная унитарная группа БП (3,2²), которая разрешима. Стабилизатор 4 балла - это группа кватернионов.

Точно так же M₂₄ имеет максимальную простую подгруппу порядка 6072, изоморфную PSL₂(F₂₃). Один генератор добавляет 1 к каждому элементу поля (оставляя точку N на бесконечности фиксированной), т. е. (0123456789ABCDEFGHIJKLM) (N), а другой - перестановка с изменением порядка, (0N) (1M) (2B) (3F) (4H) (59) (6J) (7D) (8K) (AG) (CL) (EI). Третий генератор, дающий M₂₄ отправляет элемент Икс из F₂₃ до 4Икс⁴ − 3Икс¹⁵ (который отправляет идеальные квадраты через ${\displaystyle x^{4}}$ и несовершенные квадраты через ${\displaystyle 7x^{4}}$); вычисления показывают, что в качестве перестановки это (2G968) (3CDI4) (7HABM) (EJLKF).

Стабилизаторы 1 и 2 балла, M₂₃ и M₂₂ также оказываются спорадическими простыми группами. Стабилизатор из 3-х точек прост и изоморфен проективная специальная линейная группа PSL₃(4).

Эти конструкции цитировались Кармайкл (1956 С. 151, 164, 263). Диксон и Мортимер (1996), с.209) приписывают перестановки Матье.

Группы автоморфизмов систем Штейнера

Существует вплоть до эквивалентность уникальный S(5,8,24) Система Штейнера W₂₄ (в Дизайн Витта ). Группа M₂₄ - группа автоморфизмов этой системы Штейнера; то есть набор перестановок, которые отображают каждый блок в какой-то другой блок. Подгруппы M₂₃ и M₂₂ определяются как стабилизаторы одной и двух точек соответственно.

Аналогично, с точностью до эквивалентности существует единственная S (5,6,12) система Штейнера W₁₂, а группа M₁₂ - его группа автоморфизмов. Подгруппа M₁₁ является стабилизатором точки.

W₁₂ можно построить из аффинная геометрия на векторное пространство F₃×F₃, S(2,3,9) система.

Альтернативная конструкция W₁₂ котенок Кертис (1984).

Введение в конструкцию W₂₄ через Чудо-октадный генератор аналога Р. Т. Кертиса и Конвея для W₁₂, miniMOG, можно найти в книге Конвея и Sloane.

Группы автоморфизмов на коде Голея

Группа M₂₄ это группа перестановочных автоморфизмов из расширенный двоичный код Голея W, т.е. группа перестановок на 24 координатах, отображающих W себе. Все группы Матье могут быть построены как группы перестановок двоичного кода Голея.

M₁₂ имеет индекс 2 в своей группе автоморфизмов, и M₁₂: 2 оказывается изоморфной подгруппе M₂₄. M₁₂ стабилизатор додекада, кодовое слово из 12 единиц; M₁₂: 2 стабилизирует разбиение на 2 дополнительных додекада.

Между группами Матье и более крупными Конвей группы, поскольку Решетка пиявки был построен на двоичном коде Голея, и на самом деле оба лежат в пространствах размерности 24. Группы Конвея, в свою очередь, находятся в Группа монстров. Роберт Грисс относится к 20 спорадическим группам, обнаруженным в Монстре, как Счастливая семья, а группам Матье как первое поколение.

Детские аксессуары

Группы Матье могут быть построены с помощью детские рисунки, с рисунком, связанным с M₁₂ предположительно названный "Месье Матье" Ле Брюйн (2007).

использованная литература

• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-65378-7
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-60300-1, Г-Н  0075938
• Чой, К. (май 1972a), "О подгруппах в M₂₄. I: Стабилизаторы подмножеств », Труды Американского математического общества, 167: 1–27, Дои:10.2307/1996123, JSTOR  1996123
• Чой, К. (май 1972b). "О подгруппах в M₂₄. II: максимальные подгруппы в M₂₄". Труды Американского математического общества. 167: 29–47. Дои:10.2307/1996124. JSTOR  1996124.
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» в Powell, M. B .; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы, Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, Г-Н  0338152 Перепечатано в Конвей и Слоан (1999), 267–298)
• Конвей, Джон Хортон; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Curtis, R.T .; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, Г-Н  0827219
• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, Г-Н  0920369
• Кертис, Р. Т. (1976), "Новый комбинаторный подход к M₂₄", Математические труды Кембриджского философского общества, 79 (1): 25–42, Дои:10.1017 / S0305004100052075, ISSN  0305-0041, Г-Н  0399247
• Кертис, Р. Т. (1977), "Максимальные подгруппы в M₂₄", Математические труды Кембриджского философского общества, 81 (2): 185–192, Дои:10.1017 / S0305004100053251, ISSN  0305-0041, Г-Н  0439926
• Кертис, Р. Т. (1984), «Система Штейнера S (5, 6, 12), группа Матье M₁₂ и« котенок »"", в Аткинсоне, Майкл Д. (ред.), Вычислительная теория групп. Труды симпозиума Лондонского математического общества, проходившего в Дареме 30 июля - 9 августа 1982 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 353–358, ISBN  978-0-12-066270-8, Г-Н  0760669
• Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
• Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок, Тексты для выпускников по математике, 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN  978-0-387-94599-6, Г-Н  1409812
• Фробениус, Фердинанд Георг (1904), Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen, Берлин Берихте, Мутон Де Грюйтер, стр. 558–571, ISBN  978-3-11-109790-9
• Джилл, Ник; Хьюз, Сэм (2019), "Таблица характеров строго 5-транзитивной подгруппы знакопеременной группы степени 12", Международный журнал теории групп, Дои:10.22108 / IJGT.2019.115366.1531
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, Г-Н  1707296
• Хьюз, Сэм (2018), Теория представлений и характеров малых групп Матье (PDF)
• Матье, Эмиль (1861), "Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменные", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
• Матье, Эмиль (1873), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 Quantités", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), 18: 25–46, JFM  05.0088.01
• Миллер, Г.А. (1898), «О предполагаемой пятикратной переходной функции 24 элементов и 19! / 48 значений»., Посланник математики, 27: 187–190
• Миллер, Г.А. (1900), "Sur plusieurs groupes simples", Bulletin de la Société Mathématique de France, 28: 266–267, Дои:10.24033 / bsmf.635
• Ронан, Марк (2006), Симметрия и чудовище, Оксфорд, ISBN  978-0-19-280722-9 (введение для непрофессионального читателя, описывающее группы Матьё в историческом контексте)
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок до сферических упаковок и простых групп, Математические монографии Каруса, 21, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-023-7, Г-Н  0749038
• Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, Дои:10.1007 / BF02948948, ISSN  0025-5858
• Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, Дои:10.1007 / BF02948947

внешние ссылки

• АТЛАС: группа Матье M₁₀
• АТЛАС: группа Матье M₁₁
• АТЛАС: группа Матье M₁₂
• АТЛАС: группа Матье M₂₀
• АТЛАС: группа Матье M₂₁
• АТЛАС: группа Матье M₂₂
• АТЛАС: группа Матье M₂₃
• АТЛАС: группа Матье M₂₄
• ле Брюн, Ливен (2007), Месье Матье, в архиве из оригинала от 01.05.2010
• Рихтер, Дэвид А., Как сделать группу Матье M₂₄, получено 2010-04-15
• Группа Матье M₉ на GroupNames
• Scientific American Набор головоломок на основе математики групп Матье
• Спорадический M12 Приложение для iPhone, которое решает головоломки на основе M₁₂, представленный как одна перестановка "вращения" и выбираемая перестановка "перестановки"