Простая группа - Simple group - Wikipedia

В математика, а простая группа нетривиальный группа чей единственный нормальные подгруппы являются тривиальная группа и сама группа. Непростую группу можно разбить на две меньшие группы, а именно на нетривиальную нормальную подгруппу и соответствующую факторгруппа. Этот процесс можно повторить, и для конечные группы в конечном итоге приходит к однозначно определенным простым группам Теорема Жордана – Гёльдера.

Полный классификация конечных простых групп, завершенный в 2004 году, является важной вехой в истории математики.

Примеры

Конечные простые группы

В циклическая группа г = Z/3Z из классы конгруэнтности по модулю 3 (см. модульная арифметика ) просто. Если ЧАС является подгруппой этой группы, ее порядок (количество элементов) должно быть делитель порядка г что равно 3. Поскольку 3 простое число, его единственные делители равны 1 и 3, поэтому либо ЧАС является г, или ЧАС - тривиальная группа. С другой стороны, группа г = Z/12Z не просто. Набор ЧАС классов конгруэнции 0, 4 и 8 по модулю 12 является подгруппой порядка 3, и это нормальная подгруппа, поскольку любая подгруппа абелева группа нормально. Аналогично аддитивная группа Z из целые числа не просто; множество четных целых чисел - нетривиальная собственная нормальная подгруппа.^[1]

Можно использовать те же рассуждения для любой абелевой группы, чтобы вывести, что единственными простыми абелевыми группами являются циклические группы премьер порядок. Классификация неабелевых простых групп гораздо менее тривиальна. Наименьшей неабелевой простой группой является переменная группа А₅ порядка 60, и каждая простая группа порядка 60 является изоморфный к А₅.^[2] Вторая наименьшая неабелева простая группа - это проективная специальная линейная группа PSL (2,7) порядка 168, и можно доказать, что каждая простая группа порядка 168 изоморфна PSL (2,7).^[3][4]

Бесконечные простые группы

Бесконечная знакопеременная группа, т.е. группа четных перестановок целых чисел с конечным носителем, ${\displaystyle A_{\infty }}$ просто. Эту группу можно записать как возрастающее объединение конечных простых групп ${\displaystyle A_{n}}$ относительно стандартных вложений ${\displaystyle A_{n}\to A_{n+1}.}$ Еще одно семейство примеров бесконечных простых групп дает ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(F),}$ где ${\displaystyle F}$ бесконечное поле и ${\displaystyle n\geq 2.}$

Построить гораздо сложнее конечно порожденный бесконечные простые группы. Первый результат существования не является явным; это связано с Грэм Хигман и состоит из простых частных Группа хигмана.^[5] Явные примеры, которые, как оказалось, могут быть представлены в конечном итоге, включают бесконечные Группы Томпсона Т и V. Конечно представленный без кручения бесконечные простые группы были построены Бургером-Мозесом.^[6]

Классификация

Пока нет известной классификации общих (бесконечных) простых групп, и такой классификации не ожидается.

Конечные простые группы

Основная статья: список конечных простых групп

Дальнейшая информация: Классификация конечных простых групп

В конечные простые группы важны, потому что в определенном смысле они являются «основными строительными блоками» всех конечных групп, в чем-то похожими на то, как простые числа являются основными строительными блоками целые числа. Это выражается Теорема Жордана – Гёльдера в котором говорится, что любые два серия композиций данной группы имеют одинаковую длину и одинаковые факторы, вплоть до перестановка и изоморфизм. Благодаря огромным совместным усилиям классификация конечных простых групп был объявлен завершенным в 1983 г. Даниэль Горенштейн, хотя возникли некоторые проблемы (в частности, в классификации квазитиновые группы, которые были подключены в 2004 году).

Вкратце, конечные простые группы классифицируются как принадлежащие к одному из 18 семейств или как одно из 26 исключений:

• Z_п – циклическая группа высшего порядка
• А_п – переменная группа для ${\displaystyle n\geq 5}$

  Знакопеременные группы можно рассматривать как группы лиева типа над поле с одним элементом, который объединяет это семейство со следующим, и, таким образом, все семейства неабелевых конечных простых групп можно считать лиевыми.

• Одна из 16 семей группы лиева типа

  В Группа синицы обычно считается такой, хотя, строго говоря, она не лиева типа, а скорее имеет индекс 2 в группе лиева типа.

• Одно из 26 исключений, спорадические группы, из которых 20 являются подгруппами или подкомпоненты из группа монстров и называются «Счастливая семья», а остальные 6 именуются парии.

Структура конечных простых групп

Известный теорема из Feit и Томпсон утверждает, что каждая группа нечетного порядка разрешимый. Следовательно, каждая конечная простая группа имеет четный порядок, если только она не циклическая простого порядка.

В Гипотеза Шрайера утверждает, что группа внешние автоморфизмы любой конечной простой группы разрешима. Это можно доказать с помощью классификационной теоремы.

История конечных простых групп

В истории конечных простых групп есть две нити: открытие и построение конкретных простых групп и семейств, которое происходило от работ Галуа в 1820-х годах до создания Монстра в 1981 году; и доказательство того, что этот список был полным, который начался в 19 веке, наиболее значимо относился к периодам с 1955 по 1983 год (когда была первоначально объявлена ​​победа), но было принято решение завершить только в 2004 году.^{[Обновить]}, работа над улучшением доказательств и понимания продолжается; увидеть (Сильвестри 1979 ) для истории простых групп XIX века.

строительство

Простые группы изучались по крайней мере с раннего Теория Галуа, где Эварист Галуа понял, что тот факт, что чередующиеся группы по пяти или более точкам являются простыми (и, следовательно, неразрешимыми), что, как он доказал в 1831 году, было причиной того, что нельзя было решить квинтику в радикалах. Галуа также построил проективная специальная линейная группа плоскости над простым конечным полем PSL (2,п) и заметил, что они просты для п не 2 или 3. Это содержится в его последнем письме к Шевалье,^[7] и являются следующим примером конечных простых групп.^[8]

Следующие открытия были сделаны Камилла Джордан в 1870 г.^[9] Джордан нашел 4 семейства простых матричных групп над конечные поля первого порядка, которые теперь известны как классические группы.

Примерно в то же время было показано, что семья из пяти групп, называемая Матье группы и впервые описан Эмиль Леонар Матье в 1861 и 1873 годах тоже были простыми. Поскольку эти пять групп были построены методами, которые не давали бесконечно многих возможностей, они были названы "спорадический " от Уильям Бернсайд в его учебнике 1897 года.

Позднее результаты Жордана о классических группах были обобщены на произвольные конечные поля с помощью Леонард Диксон, следуя классификации сложные простые алгебры Ли от Вильгельм Киллинг. Диксон также построил группы исключений типа G.₂ и E₆ также, но не типов F₄, E₇, или E₈ (Уилсон 2009, п. 2). В 1950-х годах работа над группами лиева типа была продолжена. Клод Шевалле дается единообразная конструкция классических групп и групп исключительного типа в статье 1955 года. При этом были исключены некоторые известные группы (проективные унитарные группы), которые были получены путем «скручивания» конструкции Шевалле. Остальные группы типа Ли были произведены Стейнбергом, Титсом и Херцигом (который произвел ³D₄(q) и ²E₆(q)) и Сузуки и Ри ( Группы Сузуки – Ри ).

Эти группы (группы лиева типа вместе с циклическими группами, знакопеременными группами и пятью исключительными группами Матье) считались полным списком, но после почти столетнего затишья после работ Матье в 1964 г. первый Янко группа было обнаружено, а остальные 20 спорадических групп были обнаружены или предположены в 1965–1975 гг., достигнув высшей точки в 1981 г., когда Роберт Грисс объявил, что построил Бернд Фишер "s"Группа монстров ". Монстр - самая большая спорадическая простая группа, имеющая порядок 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000. Монстр имеет точное 196 883-мерное представление в 196 884-мерном. Алгебра грисса, что означает, что каждый элемент Монстра может быть выражен как матрица 196 883 на 196 883.

Классификация

Принято считать, что полная классификация начинается с Теорема Фейта – Томпсона 1962/63 года, в основном просуществовавшего до 1983 года, но завершенного только в 2004 году.

Вскоре после создания «Монстра» в 1981 году было предоставлено доказательство, насчитывающее более 10 000 страниц, что теоретики группы успешно перечислил все конечные простые группы, с победой, объявленной в 1983 году Даниэлем Горенштейном. Это было преждевременно - позже были обнаружены некоторые пробелы, особенно в классификации квазитиновые группы, которые в конечном итоге были заменены в 2004 году классификацией квазитиновых групп на 1300 страницах, которая в настоящее время считается полной.

Тесты на непростость

Тест Силова: Позволять п - натуральное не простое число, и пусть п быть простым делителем п. Если 1 - единственный делитель п равное 1 по модулю p, то не существует простой группы порядка п.

Доказательство: если п степень простого числа, то группа порядка п имеет нетривиальный центр^[10] и, следовательно, не простой. Если п не является степенью простого числа, то каждая силовская подгруппа является собственной, и по Третья теорема Силова., мы знаем, что количество силовских p-подгрупп группы порядка п равен 1 по модулю п и разделяет п. Так как 1 - единственное такое число, силовская p-подгруппа уникальна и, следовательно, нормальна. Поскольку это собственная неединичная подгруппа, группа не проста.

Бернсайд: Неабелева конечная простая группа имеет порядок, кратный как минимум трем различным простым числам. Это следует из Теорема Бернсайда p-q.

Смотрите также

• Почти простая группа
• Характерно простая группа
• Квазипростая группа
• Полупростая группа
• Список конечных простых групп

использованная литература

Заметки

1. Кнапп (2006), п. 170
2. Ротман (1995), п. 226
3. Ротман (1995), стр. 281
4. Смит и Табачникова (2000), п. 144
5. Хигман, Грэм (1951), «Конечно порожденная бесконечная простая группа», Журнал Лондонского математического общества, Вторая серия, 26 (1): 61–64, Дои:10.1112 / jlms / s1-26.1.59, ISSN  0024-6107, Г-Н  0038348
6. Burger, M .; Мозес, С. (2000). «Решетки в изделии из деревьев». Publ. Математика. IHES. 92: 151–194. Дои:10.1007 / bf02698916.
7. Галуа, Эварист (1846), "Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, XI: 408–415, получено 2009-02-04, PSL (2,п) и простота, обсуждаемая на стр. 411; исключительные действия по 5, 7 или 11 пунктам, обсуждаемым на стр. 411–412; GL (ν,п) обсуждается на стр. 410
8. Уилсон, Роберт (31 октября 2006 г.), "Глава 1 Введение", Конечные простые группы
9. Иордания, Камилла (1870), Traité des replaces et des équations algébriques
10. Смотрите доказательство в p-группа, например.

Учебники

• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы, Тексты для выпускников по математике 251, 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012, Препринт 2007 г..
• Бернсайд, Уильям (1897), Теория групп конечного порядка, Издательство Кембриджского университета

• Кнапп, Энтони В. (2006), Базовая алгебра, Спрингер, ISBN  978-0-8176-3248-9
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп, Выпускные тексты по математике, 148, Спрингер, ISBN  978-0-387-94285-8
• Смит, Джефф; Табачникова, Ольга (2000), Темы теории групп, Серия студентов Springer по математике (2-е изд.), Springer, ISBN  978-1-85233-235-8

Статьи

• Сильвестри, Р. (сентябрь 1979 г.), "Простые группы конечного порядка в девятнадцатом веке", Архив истории точных наук, 20 (3–4): 313–356, Дои:10.1007 / BF00327738

внешние ссылки

• «Переменная группа A_n проста». PlanetMath.