Решетка (дискретная подгруппа) - Lattice (discrete subgroup) - Wikipedia

Для дискретных подгрупп группы р^п, видеть Решетка (группа). Для использования в других целях см. Решетка (значения).

Часть дискретного Группа Гейзенберга, дискретная подгруппа непрерывной группы Ли Гейзенберга. (Цвет и края предназначены только для наглядности.)

В Теория лжи и смежных областях математики, решетка в локально компактная группа это дискретная подгруппа с тем свойством, что факторное пространство имеет конечный инвариантная мера. В частном случае подгрупп р^п, это составляет обычный геометрическое понятие решетки как периодическое подмножество точек, и как алгебраическая структура решеток, так и геометрия пространства всех решеток относительно хорошо изучены.

Теория особенно богата решетками в полупростых группах Ли или, в более общем смысле, в решетках. полупростые алгебраические группы над местные поля. В частности, в этой ситуации есть множество результатов о жесткости и знаменитая теорема Григорий Маргулис утверждает, что в большинстве случаев все решетки получаются как арифметические группы.

Решетки также хорошо изучены в некоторых других классах групп, в частности в группах, связанных с Алгебры Каца – Муди и группы автоморфизмов регулярных деревья (последние известны как решетки из дерева).

Решетки представляют интерес во многих областях математики: геометрическая теория групп (как особенно хорошие примеры дискретные группы ), в дифференциальная геометрия (через построение локально однородных многообразий), в теории чисел (через арифметические группы ), в эргодическая теория (через изучение однородных потоки на факторпространствах) и в комбинаторика (путем строительства расширение Графики Кэли и другие комбинаторные объекты).

Общие сведения о решетках

Неформальное обсуждение

Решетки лучше всего рассматривать как дискретные приближения непрерывных групп (таких как группы Ли). Например, интуитивно понятно, что подгруппа ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ целочисленных векторов "выглядит" как реальное векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в некотором смысле, хотя обе группы существенно разные: одна конечно порожденный и счетный, а другой нет (как группа) и имеет мощность континуума.

Строгое определение значения выражения «приближение непрерывной группы дискретной подгруппой» в предыдущем абзаце, чтобы получить понятие, обобщающее пример ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ это вопрос того, для чего он предназначен. Возможно, наиболее очевидная идея состоит в том, чтобы сказать, что подгруппа «аппроксимирует» большую группу, состоит в том, что большая группа может быть покрыта трансляциями «малого» подмножества всех элементов в подгруппах. В локально компактной топологической группе сразу доступны два понятия «малый»: топологическое (a компактный, или же относительно компактное подмножество ) или теоретико-меры (подмножество конечной меры Хаара). Обратите внимание, что поскольку мера Хаара является Мера Бореля, в частности придает конечную массу компактным подмножествам, второе определение является более общим. Определение решетки, используемое в математике, основывается на втором значении (в частности, для включения таких примеров, как ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$), но и первая имеет свой интерес (такие решетки называются равномерными).

Определение

Позволять ${\displaystyle G}$ - локально компактная группа и ${\displaystyle \Gamma }$ дискретная подгруппа (это означает, что существует окрестность ${\displaystyle U}$ элемента идентичности ${\displaystyle e_{G}}$ из ${\displaystyle G}$ такой, что ${\displaystyle \Gamma \cap U=\{e_{G}\}}$). потом ${\displaystyle \Gamma }$ называется решеткой в ${\displaystyle G}$ если кроме того существует Мера Бореля ${\displaystyle \mu }$ на факторпространстве ${\displaystyle G/\Gamma }$ который конечен (т.е. ${\displaystyle \mu (G/\Gamma )<+\infty }$) и ${\displaystyle G}$-инвариантный (то есть для любого ${\displaystyle g\in G}$ и любое открытое подмножество ${\displaystyle W\subset G/\Gamma }$ равенство ${\displaystyle \mu (gW)=\mu (W)}$ доволен).

Чуть более сложная формулировка выглядит следующим образом: предположим дополнительно, что ${\displaystyle G}$ унимодулярна, то поскольку ${\displaystyle \Gamma }$ дискретно, оно также унимодулярно и по общим теоремам существует единственное ${\displaystyle G}$-инвариантная борелевская мера на ${\displaystyle G/\Gamma }$ вплоть до масштабирования. потом ${\displaystyle \Gamma }$ является решеткой тогда и только тогда, когда эта мера конечна.

В случае дискретных подгрупп эта инвариантная мера локально совпадает с Мера Хаара а значит, дискретная подгруппа в локально компактной группе ${\displaystyle G}$ решетка равносильна тому, что она имеет фундаментальную область (для действия на ${\displaystyle G}$ левыми переводами) конечного объема для меры Хаара.

Решетка ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ называется униформа когда факторное пространство ${\displaystyle G/\Gamma }$ компактна (и неоднородный иначе). Эквивалентно дискретная подгруппа ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ является равномерной решеткой тогда и только тогда, когда существует компактное подмножество ${\displaystyle C\subset G}$ с ${\displaystyle G=\bigcup {}_{\gamma \in \Gamma }\,C\gamma }$. Обратите внимание, что если ${\displaystyle \Gamma }$ любая дискретная подгруппа в ${\displaystyle G}$ такой, что ${\displaystyle G/\Gamma }$ компактно, то ${\displaystyle \Gamma }$ автоматически является решеткой в ${\displaystyle G}$.

Первые примеры

Основным и наиболее простым примером является подгруппа ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ которая является решеткой в ​​группе Ли ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Чуть более сложный пример - дискретная Группа Гейзенберга внутри непрерывной группы Гейзенберга.

Если ${\displaystyle G}$ дискретная группа, то решетка в ${\displaystyle G}$ это в точности подгруппа ${\displaystyle \Gamma }$ конечного индекса (т.е. фактормножество ${\displaystyle G/\Gamma }$ конечно).

Все эти примеры одинаковы. Неоднородный пример дает модульная группа ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ внутри ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$, а также многомерными аналогами ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$.

Любая подгруппа конечного индекса решетки также является решеткой в ​​той же группе. В более общем плане подгруппа соизмеримый к решетке есть решетка.

В каких группах есть решетки?

Не каждая локально компактная группа содержит решетку, и для этого нет общего теоретико-группового достаточного условия. С другой стороны, существует множество более конкретных настроек, в которых существуют такие критерии. Например, наличие или отсутствие решеток в Группы Ли это хорошо понятная тема.

Как уже упоминалось, необходимое условие для того, чтобы группа содержала решетку, состоит в том, что группа должна быть унимодулярный. Это позволяет легко построить группы без решеток, например группу обратимых верхнетреугольные матрицы или аффинные группы. Также не очень сложно найти унимодулярные группы без решеток, например, некоторые нильпотентные группы Ли, как описано ниже.

Более сильным условием, чем унимодулярность, является простота. Этого достаточно, чтобы влечь за собой существование решетки в группе Ли, но в более общем случае локально компактных групп существуют простые группы без решеток, например «группы Неретина».^[1]

Решетки в разрешимых группах Ли

Нильпотентные группы Ли

Для нильпотентных групп теория значительно упрощается по сравнению с общим случаем и остается аналогичной случаю абелевых групп. Все решетки в нильпотентной группе Ли равномерны, и если ${\displaystyle N}$ это связанный односвязный нильпотентная группа Ли (то есть она не содержит нетривиальной компактной подгруппы), то дискретная подгруппа является решеткой тогда и только тогда, когда она не содержится в собственной связной подгруппе^[2] (это обобщает тот факт, что дискретная подгруппа в векторном пространстве является решеткой тогда и только тогда, когда она охватывает векторное пространство).

Нильпотентная группа Ли содержит решетку тогда и только тогда, когда она может быть определена над рациональными числами, то есть тогда и только тогда, когда ее структурные константы - рациональные числа.^[3] Более точно, в нильпотентной группе, удовлетворяющей этому условию, решетки через экспоненциальное отображение соответствуют решеткам (в более элементарном смысле Решетка (группа) ) в алгебре Ли.

Решетка в нильпотентной группе Ли ${\displaystyle N}$ всегда конечно порожденный (и поэтому конечно представленный поскольку он сам по себе нильпотентен); на самом деле он создается не более чем ${\displaystyle \dim(N)}$ элементы.^[4]

Наконец, нильпотентная группа изоморфна решетке в нильпотентной группе Ли тогда и только тогда, когда она содержит подгруппу конечного индекса, не имеющую кручения и конечно порожденную.

Общий случай

Приведенный выше критерий наличия решетки нильпотентных групп Ли не применяется к более общим разрешимым группам Ли. Остается верным, что любая решетка в разрешимой группе Ли равномерна^[5] и что решетки в разрешимых группах конечно определены.

Не все конечно порожденные разрешимые группы являются решетками в группе Ли. Алгебраический критерий состоит в том, что группа полициклический.^[6]

Решетки в полупростых группах Ли

Арифметические группы и существование решеток

Основная статья: Арифметическая группа

Если ${\displaystyle G}$ полупростой линейная алгебраическая группа в ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ которое определено над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ из рациональное число (т.е. полиномиальные уравнения, определяющие ${\displaystyle G}$ имеют свои коэффициенты в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$), то в нем есть подгруппа ${\displaystyle \Gamma =G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$. Основная теорема Арман Борель и Хариш-Чандра утверждает, что ${\displaystyle \Gamma }$ всегда решетка в ${\displaystyle G}$; простейшим примером этого является подгруппа ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$.

Обобщая приведенную выше конструкцию, получаем понятие арифметическая решетка в полупростой группе Ли. Поскольку все полупростые группы Ли могут быть определены над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ следствие арифметической конструкции состоит в том, что любая полупростая группа Ли содержит решетку.

Несводимость

Когда группа Ли ${\displaystyle G}$ раскалывается как продукт ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ очевидна конструкция решеток в ${\displaystyle G}$ из меньших групп: если ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}}$ решетки, то ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}\subset G}$ также является решеткой. Грубо говоря, решетка тогда называется несводимый если это не из этой конструкции.

Более формально, если ${\displaystyle G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}}$ это разложение ${\displaystyle G}$ на простые факторы, решетка ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ называется неприводимым, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Проекция ${\displaystyle \Gamma }$ к любому фактору ${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$ плотный;
• Пересечение ${\displaystyle \Gamma }$ с любым фактором ${\displaystyle G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}}$ не решетка.

Пример неприводимой решетки дается подгруппой ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$ которую мы рассматриваем как подгруппу ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ через карту ${\displaystyle g\mapsto (g,\sigma (g))}$ куда ${\displaystyle \sigma }$ отображение Галуа, отправляющее матрицу с коэффициентами ${\displaystyle a_{i}+b_{i}{\sqrt {2}}}$ к ${\displaystyle a_{i}-b_{i}{\sqrt {2}}}$.

Ранг 1 против более высокого ранга

В настоящий ранг группы Ли - это максимальная размерность абелевой подгруппы, содержащей только полупростой элементы. Полупростые группы Ли вещественного ранга 1 без компактных факторов (с точностью до изогения ) те, что в следующем списке (см. Список простых групп Ли ):

• В ортогональные группы ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ из действительные квадратичные формы подписи ${\displaystyle (n,1)}$ за ${\displaystyle n\geq 2}$;
• В унитарные группы ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ из Эрмитские формы подписи ${\displaystyle (n,1)}$ за ${\displaystyle n\geq 2}$;
• Группы ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$ (группы матриц с кватернион коэффициенты, сохраняющие "кватернионную квадратичную форму" сигнатуры ${\displaystyle (n,1)}$) за ${\displaystyle n\geq 2}$;
• В исключительная группа Ли ${\displaystyle F_{4}^{-20}}$ (действительная форма ранга 1, соответствующая исключительной алгебре Ли ${\displaystyle F_{4}}$).

Реальный ранг группы Ли оказывает существенное влияние на поведение содержащихся в ней решеток. В частности, поведение решеток в первых двух семействах групп (и в меньшей степени, чем решеток в последних двух) сильно отличается от поведения неприводимых решеток в группах более высокого ранга. Например:

• Во всех группах существуют неарифметические решетки ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$, в ${\displaystyle \mathrm {SU} (2,1),\mathrm {SU} (3,1)}$,^[7][8] и, возможно, в ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1),n\geq 4}$ (последний открытый вопрос ) но все неприводимые решетки в остальных арифметические;^[9][10]
• Решетки в группах Ли ранга 1 имеют бесконечный бесконечный индекс нормальные подгруппы а все нормальные подгруппы неприводимых решеток более высокого ранга либо имеют конечный индекс, либо содержатся в их центре;^[11][12]
• Предположительно, арифметические решетки в группах более высокого ранга имеют свойство подгруппы конгруэнции^[13] но есть много решеток в ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$ которые имеют неконгруэнтные подгруппы конечного индекса.^[14]

Имущество Каждан (Т)

Свойство, известное как (T), было введено Кажданом для изучения решеток алгебраических структур в определенных группах Ли, когда классические, более геометрические методы не работали или, по крайней мере, не были столь эффективны. Фундаментальный результат при изучении решеток следующий:^[15]

Решетка в локально компактной группе обладает свойством (T) тогда и только тогда, когда сама группа обладает свойством (T).

С помощью гармонический анализ можно классифицировать полупростые группы Ли в зависимости от того, обладают ли они этим свойством или нет. Как следствие, мы получаем следующий результат, дополнительно иллюстрирующий дихотомию предыдущего раздела:

• Решетки в ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)}$ не обладают свойством Каждана (T), в то время как неприводимые решетки во всех других простых группах Ли обладают;

Свойства конечности

Решетки в полупростых группах Ли всегда конечно определены. Для равномерных решеток это прямое следствие кокомпактности. В неоднородном случае это можно доказать с помощью теории редукции.^[16] Однако гораздо более быстрое доказательство - использование Имущество Каждан (Т) когда возможно.

Римановы многообразия, ассоциированные с решетками в группах Ли

Левоинвариантные метрики

Если ${\displaystyle G}$ группа Ли, то из внутренний продукт ${\displaystyle g_{e}}$ на касательном пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (алгебра Ли ${\displaystyle G}$) можно построить Риманова метрика на ${\displaystyle G}$ следующим образом: если ${\displaystyle v,w}$ принадлежат касательному пространству в точке ${\displaystyle \gamma \in G}$ положить ${\displaystyle g_{\gamma }(v,w)=g_{e}(\gamma ^{*}v,\gamma ^{*}w)}$ куда ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ указывает на касательная карта (в ${\displaystyle \gamma }$) диффеоморфизма ${\displaystyle x\mapsto \gamma ^{-1}x}$ из ${\displaystyle G}$.

Карты ${\displaystyle x\mapsto \gamma x}$ за ${\displaystyle \gamma \in G}$ являются по определению изометриями этой метрики ${\displaystyle g}$. В частности, если ${\displaystyle \Gamma }$ любая дискретная подгруппа в ${\displaystyle G}$ (чтобы он действовал свободно и правильно прерывисто слева-переводы на ${\displaystyle G}$) частное ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ является римановым многообразием, локально изометричным ${\displaystyle G}$ с метрикой ${\displaystyle g}$.

В Риманова форма объема связано с ${\displaystyle g}$ определяет меру Хаара на ${\displaystyle G}$ и мы видим, что фактормногообразие имеет конечный риманов объем тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \Gamma }$ это решетка.

Интересные примеры в этом классе римановых пространств включают компактные плоские коллекторы и нильмногообразия.

Локально-симметричные пространства

Основная статья: Симметричное пространство

Натуральный внутренний продукт на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ дается Форма убийства. Если ${\displaystyle G}$ не является компактным, он не является определенным и, следовательно, не внутренним продуктом: однако, когда ${\displaystyle G}$ полупростой и ${\displaystyle K}$ максимальная компактная подгруппа, ее можно использовать для определения ${\displaystyle G}$-инвариантная метрика на однородное пространство ${\displaystyle X=G/K}$: такие римановы многообразия называются симметричные пространства некомпактного типа без евклидовых факторов.

Подгруппа ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ действует свободно, правильно и прерывно на ${\displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда он дискретный и без кручения. Факторы ${\displaystyle \Gamma \backslash X}$ называются локально симметричными пространствами. Таким образом, существует биективное соответствие между полными локально симметричными пространствами, локально изоморфными ${\displaystyle X}$ конечного риманова объема и решеток без кручения в ${\displaystyle G}$. Это соответствие можно распространить на все решетки, добавив орбифолды с геометрической стороны.

Решетки в p-адических группах Ли

Класс групп со свойствами, аналогичными (по отношению к решеткам) вещественным полупростым группам Ли, - это полупростые алгебраические группы над локальными полями характеристики 0, например p-адические поля ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. Существует арифметическая конструкция, аналогичная действительному случаю, и дихотомия между более высоким рангом и рангом один также сохраняется в этом случае, но в более заметной форме. Позволять ${\displaystyle G}$ быть алгебраической группой над ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ сплит-${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$-классифицировать р. Потом:

• Если р не меньше 2 всех неприводимых решеток в ${\displaystyle G}$ арифметические;
• если г = 1 тогда существует несчетное количество классов соизмеримости неарифметических решеток.^[17]

В последнем случае все решетки фактически являются свободными группами (с точностью до конечного индекса).

S-арифметические группы

В более общем плане можно рассматривать решетки в группах вида

${\displaystyle G=\prod _{p\in S}G_{p}}$

куда ${\displaystyle G_{p}}$ является полупростой алгебраической группой над ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. Обычно ${\displaystyle p=\infty }$ разрешено, и в этом случае ${\displaystyle G_{\infty }}$ настоящая группа Ли. Пример такой решетки дает

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]\right)\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p})}$.

Эту арифметическую конструкцию можно обобщить, чтобы получить понятие S-арифметическая группа. Теорема арифметичности Маргулиса применима и к этой ситуации. В частности, если хотя бы два фактора ${\displaystyle G_{p}}$ некомпактны, то любая неприводимая решетка в ${\displaystyle G}$ является S-арифметическим.

Решетки в адельных группах

Если ${\displaystyle \mathrm {G} }$ является полупростой алгебраической группой над числовое поле ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle \mathbb {A} }$ это adèle кольцо тогда группа ${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {A} )}$ адельных точек определена корректно (по модулю некоторых технических деталей), и это локально компактная группа, которая естественным образом содержит группу ${\displaystyle \mathrm {G} (F)}$ из ${\displaystyle F}$-рациональная точка как дискретная подгруппа. Теорема Бореля – Хариш-Чандры распространяется на этот случай, и ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\subset \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$ это решетка.^[18]

В сильная аппроксимационная теорема связывает частное ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\backslash \mathrm {G} (\mathbb {A} )}$ к более классическим S-арифметическим факторам. Этот факт делает группы Адель очень эффективными инструментами в теории автоморфные формы. В частности современные формы формула следа обычно формулируются и доказываются для адельных групп, а не для групп Ли.

Жесткость

Результаты жесткости

Другая группа явлений, касающихся решеток в полупростых алгебраических группах, известна как жесткость. Вот три классических примера результатов в этой категории.

Местная жесткость результаты показывают, что в большинстве случаев каждая подгруппа, которая достаточно «близка» к решетке (в интуитивном смысле, формализованная Топология Chabauty ) фактически сопряжена с исходной решеткой элементом объемлющей группы Ли. Следствие локальной жесткости и Теорема Каждана-Маргулиса это теорема Ванга: в данной группе (с фиксированной мерой Хаара) для любой v> 0 существует лишь конечное число (с точностью до сопряжения) решеток, ковомер которых ограничен v.

В Теорема жесткости Мостова утверждает, что для решеток в простых группах Ли, не локально изоморфных ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ (группа матриц 2 на 2 с определителем 1) любой изоморфизм решеток по существу индуцируется изоморфизмом между самими группами. В частности, решетка в группе Ли «запоминает» объемлющую группу Ли через ее групповую структуру. Первое утверждение иногда называют сильная жесткость и это связано с Джордж Мостоу и Гопал Прасад (Мостов доказал его для кокомпактных решеток, а Прасад распространил его на общий случай).

Сверхжесткость предоставляет (для групп Ли и алгебраических групп над локальными полями более высокого ранга) обобщение, касающееся гомоморфизмов из решетки в алгебраической группе грамм в другую алгебраическую группу ЧАС. Это было доказано Григорием Маргулисом и является важным элементом доказательства его теоремы об арифметичности.

Нежесткость в малых габаритах

Единственные группы, для которых жесткость Мостова не выполняется, - это все группы, локально изоморфные ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$. В этом случае на самом деле решеток непрерывно много, и они порождают Пространства Тейхмюллера.

Неоднородные решетки в группе ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$ не являются локально жесткими. Фактически они являются точками скопления (в топологии Шабо) решеток меньшего кообъема, как демонстрирует гиперболическая хирургия Дена.

Поскольку решетки в p-адических группах ранга 1 являются практически свободными группами, они очень нежесткие.

Решетки из дерева

Определение

Позволять ${\displaystyle T}$ - дерево с кокомпактной группой автоморфизмов; Например, ${\displaystyle T}$ может быть обычный или же двурегулярный дерево. Группа автоморфизмов${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ из ${\displaystyle T}$ является локально компактной группой (если наделить компактно-открытая топология, в котором базис окрестностей единицы задают стабилизаторы конечных поддеревьев, которые компактны). Любая группа, являющаяся решеткой в ​​некотором ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ тогда называется решетка из дерева.

Дискретность в этом случае легко увидеть по действию группы на дереве: подгруппа ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$ дискретно тогда и только тогда, когда все стабилизаторы вершин являются конечными группами.

Из базовой теории действий групп на деревьях легко видеть, что равномерные решетки деревьев являются практически свободными группами. Таким образом, более интересными решетками деревьев являются неоднородные, эквивалентные тем, для которых фактор-граф ${\displaystyle \Gamma \backslash T}$ бесконечно. Существование таких решеток увидеть непросто.

Решетки деревьев из алгебраических групп

Если ${\displaystyle F}$ является локальным полем положительной характеристики (т. е. пополнение функциональное поле кривой над конечным полем, например полем формальных Лоран степенной ряд ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))}$) и ${\displaystyle G}$ алгебраическая группа, определенная над ${\displaystyle F}$ из ${\displaystyle F}$-разбить ранг один, то любая решетка в ${\displaystyle G}$ является решеткой деревьев, действуя на Здание Брюа – Титса которое в данном случае является деревом. В отличие от случая характеристики 0 такие решетки могут быть неоднородными, и в этом случае они никогда не будут конечно порожденными.

Решетки деревьев из теории Басса – Серра

Основная статья: Теория Басса – Серра

Если ${\displaystyle \Gamma }$ фундаментальная группа бесконечного граф групп, все вершинные группы которых конечны, и при дополнительных необходимых предположениях на индекс групп ребер и размер групп вершин действие ${\displaystyle \Gamma }$ на дереве Басса-Серра, ассоциированном с графом групп, реализует его как решетку деревьев.

Критерий существования

В более общем плане можно задать следующий вопрос: если ${\displaystyle H}$ замкнутая подгруппа в ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$, при каких условиях ${\displaystyle H}$ содержат решетку? Существование равномерной решетки равносильно ${\displaystyle H}$ унимодулярность и частное ${\displaystyle H\backslash T}$ будучи конечным. Общая теорема существования более тонкая: необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle H}$ быть унимодулярным, и что частное ${\displaystyle H\backslash T}$ иметь «конечный объем» в подходящем смысле (который может быть комбинаторно выражен через действие ${\displaystyle H}$), более общее, чем более сильное условие конечности фактора (что доказано самим существованием неоднородных решеток деревьев).

Примечания

1. Бадер, Ури; Капрас, Пьер-Эммануэль; Геландер, Цачик; Мозес, Шахар (2012). «Простые группы без решеток». Бык. Лондонская математика. Soc. 44: 55. arXiv:1008.2911. Дои:10.1112 / blms / bdr061. МИСТЕР  2881324.
2. Рагхунатан 1972, Теорема 2.1.
3. Рагхунатан 1972, Теорема 2.12.
4. Рагхунатан 1972, Теорема 2.21.
5. Рагхунатан 1972, Теорема 3.1.
6. Рагхунатан 1972, Теорема 4.28.
7. Громов, Миша; Пятецкий-Шапиро, Илья (1987). «Неарифметические группы в пространствах Лобачевского» (PDF). Паб. Математика. IHES. 66: 93–103. Дои:10.1007 / bf02698928. МИСТЕР  0932135.
8. Делинь, Пьер; Мостоу, Джордж (1993). Соизмеримость решеток в ПУ (1, n). Издательство Принстонского университета. МИСТЕР  1241644.
9. Маргулис 1991, п. 298.
10. Витте-Моррис 2015, Теорема 5.21.
11. Маргулис 1991 С. 263-270.
12. Витте-Моррис 2015, Теорема 17.1.
13. Рагхунатан, М.С. (2004). «Проблема подгруппы сравнения». Proc. Индийский акад. Sci. Математика. Наука. 114 (4): 299–308. arXiv:математика / 0503088. Дои:10.1007 / BF02829437. МИСТЕР  2067695.
14. Любоцкий Александр; Сегал, Дэн (2003). Рост подгруппы. Успехи в математике. 212. Birkhäuser Verlag. Глава 7. ISBN  3-7643-6989-2. МИСТЕР  1978431.
15. Витте-Моррис 2015, Предложение 13.17.
16. Витте-Моррис 2015, Глава 19.
17. Любоцкий, Александр (1991). «Решетки в группах Ли ранга один над локальными полями». Геом. Функц. Анальный. 1 (4): 406–431. Дои:10.1007 / BF01895641. МИСТЕР  1132296.
18. Вейль, Андре (1982). Адели и алгебраические группы. С приложениями М. Демазуре и Такаши Оно. Успехи в математике. 23. Birkhäuser. С. iii + 126. ISBN  3-7643-3092-9. МИСТЕР  0670072.

Рекомендации

• Басс, Хайман; Любоцкий, Александр (2001). Решетки деревьев с приложениями Х. Басса, Л. Карбоне, А. Любоцкого, Г. Розенберга и Дж. Титса.. Успехи в математике. Birkhäuser Verlag. ISBN  0-8176-4120-3.
• Маргулис, Григорий (1991). Дискретные подгруппы полупростых групп Ли. Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag. с. x + 388. ISBN  3-540-12179-Х. МИСТЕР  1090825.
• Платонов Владимир; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел. (Перевод с русского оригинала 1991 г. Рэйчел Роуэн.). Чистая и прикладная математика. 139. Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc. ISBN  0-12-558180-7. МИСТЕР  1278263.
• Рагхунатан, М.С. (1972). Дискретные подгруппы групп Ли. Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag. МИСТЕР  0507234.
• Витте-Моррис, Дэйв (2015). Введение в арифметические группы. Дедуктивный пресс. п. 492. ISBN  978-0-9865716-0-2.