Поток (математика) - Flow (mathematics)

Втекать фазовое пространство задается дифференциальным уравнением маятник. По оси x - положение маятника, а по оси y - его скорость.

В математика, а поток формализует представление о движении частиц в жидкости. В науке потоки встречаются повсеместно, в том числе инженерное дело и физика. Понятие потока лежит в основе изучения обыкновенные дифференциальные уравнения. Неформально поток можно рассматривать как непрерывное движение точек во времени. Более формально поток - это групповое действие из действительные числа на набор.

Идея векторный поток, то есть поток, определяемый векторное поле, встречается в областях дифференциальная топология, Риманова геометрия и Группы Ли. Конкретные примеры векторных потоков включают геодезический поток, то Гамильтонов поток, то Риччи поток, то средняя кривизна потока, и Аносовские потоки. Потоки также могут быть определены для систем случайные переменные и случайные процессы, и возникают при изучении эргодический динамические системы. Самый знаменитый из них, пожалуй, Бернулли поток.

Формальное определение

А поток на съемочной площадке $Икс$ это групповое действие из аддитивная группа из действительные числа на $Икс$ . Более точно, поток - это отображение

{ displaystyle varphi: X times mathbb {R} rightarrow X}

такое, что для всех $Икс$ ∈ $Икс$ и все реальные числа $s$ и $т$ ,

{ Displaystyle varphi (х, 0) = х;}

{ displaystyle varphi ( varphi (x, t), s) = varphi (x, s + t).}

Принято писать $φ т (Икс)$ вместо $φ (Икс, т)$ , так что приведенные выше уравнения могут быть выражены как φ⁰ = Id (функция идентичности ) и φ^s ∘ φ^т = φ^s+т (групповой закон). Тогда для всех т ∈ ℝотображение φ^т: Икс → Икс биекция с обратным φ^−t: Икс → Икс. Это следует из приведенного выше определения, а действительный параметр $т$ можно рассматривать как обобщенное функциональная сила, как в итерация функции.

Обычно требуется, чтобы потоки были совместимы с структуры обставлен на съемочной площадке $Икс$ . В частности, если $Икс$ оснащен топология, тогда $φ$ обычно требуется непрерывный. Если $Икс$ оснащен дифференцируемая структура, тогда $φ$ обычно требуется дифференцируемый. В этих случаях поток образует подгруппа с одним параметром гомеоморфизмов и диффеоморфизмов соответственно.

В определенных ситуациях можно также рассмотреть местные потоки, которые определены только в некотором подмножестве

{ displaystyle mathrm {dom} ( varphi) = {(x, t) | t in [a_ {x}, b_ {x}], a_ {x} <0

называется область потока из $φ$ . Это часто бывает с потоки векторных полей.

Альтернативные обозначения

Это очень распространено во многих областях, в том числе инженерное дело, физика и изучение дифференциальные уравнения, чтобы использовать обозначение, которое делает поток неявным. Таким образом, $Икс (т)$ написано для $φ т (Икс 0)$ , и можно сказать, что "переменная $Икс$ зависит от времени $т$ и начальное условие $Икс = Икс 0$ ". Примеры приведены ниже.

В случае поток векторного поля $V$ на гладкое многообразие $Икс$ , поток часто обозначается так, что его генератор явно указан. Например,

{ displaystyle Phi _ {V}: X times mathbb {R} to X; qquad (x, t) mapsto Phi _ {V} ^ {t} (x).}

Орбиты

Данный $Икс$ в $Икс$ , набор ${ Displaystyle { varphi (х, т): т ин mathbb {R} }}$ называется орбита из $Икс$ под $φ$ . Неформально ее можно рассматривать как траекторию частицы, которая изначально находилась в точке $Икс$ . Если поток создается векторное поле, то его орбиты - это образы его интегральные кривые.

Примеры

Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Позволять $F : р п \to р п$ - векторное поле (не зависящее от времени) и $Икс : р \to р п$ решение начальной задачи

{ displaystyle { dot { boldsymbol {x}}} (t) = { boldsymbol {F}} ({ boldsymbol {x}} (t)), qquad { boldsymbol {x}} (0) = { boldsymbol {x}} _ {0}.}

потом $φ (Икс 0, т) = Икс (т)$ это поток векторного поля F. Это четко определенный локальный поток при условии, что векторное поле $F : р п \to р п$ является Липшицево-непрерывный. потом $φ : р п \times р \to р п$ также липшицево-непрерывно, где бы оно ни было определено. В общем, может быть трудно показать, что поток $φ$ глобально определено, но один простой критерий состоит в том, что векторное поле F является компактно поддерживается.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, зависящие от времени

В случае зависящих от времени векторных полей $F : р п \times р \to р п$ , один означает $φ т, т 0 (Икс 0) = Икс (т + т 0)$ , куда $Икс : р \to р п$ это решение

{ displaystyle { dot { boldsymbol {x}}} (t) = { boldsymbol {F}} ({ boldsymbol {x}} (t), t), qquad { boldsymbol {x}} ( t_ {0}) = { boldsymbol {x}} _ {0}.}

потом $φ т, т 0 (Икс 0)$ это зависящий от времени поток F. Это не «поток» по определению, приведенному выше, но его легко можно рассматривать как единое целое, переставив аргументы. А именно отображение

{ displaystyle varphi: ( mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R}) times mathbb {R} to mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R}; qquad varphi (({ boldsymbol {x}} _ {0}, t_ {0}), t) = ( varphi ^ {t, t_ {0}} ({ boldsymbol {x}} _ {0 }), t + t_ {0})}

действительно удовлетворяет групповому закону для последней переменной:

{ displaystyle varphi ( varphi (({ boldsymbol {x}} _ {0}, t_ {0}), t), s) = varphi (( varphi ^ {t, t_ {0}} ( { boldsymbol {x}} _ {0}), t + t_ {0}), s) = ( varphi ^ {s, t + t_ {0}} ( varphi ^ {t, t_ {0}}) ({ boldsymbol {x}} _ {0})), s + t + t_ {0}) = ( varphi ^ {s, t + t_ {0}} ({ boldsymbol {x}} (t + t_ {0})), s + t + t_ {0}) = ({ boldsymbol {x}} (s + t + t_ {0}), s + t + t_ {0}) = ( varphi ^ {s + t, t_ {0}} ({ boldsymbol {x}} _ {0}), s + t + t_ {0}) = varphi (({ boldsymbol {x}} _ {0}, t_ {0}), s + t).}

Можно увидеть зависящие от времени потоки векторных полей как частные случаи не зависящих от времени с помощью следующей уловки. Определять

{ displaystyle { boldsymbol {G}} ({ boldsymbol {x}}, t): = ({ boldsymbol {F}} ({ boldsymbol {x}}, t), 1), qquad { boldsymbol {y}} (t): = ({ boldsymbol {x}} (t + t_ {0}), t + t_ {0}).}

потом у(т) является решением "не зависящей от времени" начальной задачи

{ displaystyle { dot { boldsymbol {y}}} (s) = { boldsymbol {G}} ({ boldsymbol {y}} (s)), qquad { boldsymbol {y}} (0) = ({ boldsymbol {x}} _ {0}, t_ {0})}

если и только если $Икс (т)$ является решением исходной зависящей от времени начальной задачи. Кроме того, тогда отображение $φ$ это в точности поток "не зависящего от времени" векторного поля грамм.

Потоки векторных полей на многообразиях

Потоки не зависящих от времени и зависящих от времени векторных полей определены на гладких многообразиях точно так же, как они определены на евклидовом пространстве. $ℝ п$ и их локальное поведение такое же. Однако глобальная топологическая структура гладкого многообразия сильно проявляется в том, какие глобальные векторные поля оно может поддерживать, и потоки векторных полей на гладких многообразиях действительно являются важным инструментом в дифференциальной топологии. Основная часть исследований динамических систем проводится на гладких многообразиях, которые в приложениях рассматриваются как «пространства параметров».

Решения уравнения теплопроводности

Позволять $Ω$ - подобласть (ограниченная или нет) в ℝ^п (с $п$ целое число). Обозначим через $Γ$ его граница (предполагаемая гладкой). Рассмотрим следующие Уравнение тепла на $Ω$ × (0, $Т$ ), за $Т$ > 0,

{ displaystyle { begin {array} {rcll} u_ {t} - Delta u & = & 0 & { mbox {in}} Omega times (0, T), u & = & 0 & { mbox {on} } Gamma times (0, T), end {array}}}

со следующим начальным краевым условием $ты (0) = ты 0$ в $Ω$ .

Уравнение $ты$ = 0 на $Γ \times (0, Т)$ соответствует однородному граничному условию Дирихле. Математической постановкой этой проблемы может быть полугрупповой подход. Чтобы использовать этот инструмент, мы вводим неограниченный оператор $Δ D$ определено на ${ Displaystyle L ^ {2} ( Omega)}$ по своей области

{ Displaystyle D ( Delta _ {D}) = H ^ {2} ( Omega) cap H_ {0} ^ {1} ( Omega)}

(см. классический Соболевские пространства с ${ Displaystyle Н ^ {к} ( Omega) = W ^ {k, 2} ( Omega)}$ и

{ Displaystyle H_ {0} ^ {1} ( Omega) = { overline {C_ {0} ^ { infty} ( Omega)}} ^ {H ^ {1} ( Omega)}}

является замыканием бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в $Ω$ для ${ Displaystyle Н ^ {1} ( Омега) -}$ норма).

Для любого ${ displaystyle v in D ( Delta _ {D})}$ , у нас есть

{ displaystyle Delta _ {D} v = Delta v = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {i} ^ {2}} } v ~.}

С этим оператором уравнение теплопроводности принимает вид ${ Displaystyle и '(т) = Дельта _ {D} и (т)}$ и $ты (0) = ты 0$ . Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, равен (см. Обозначения выше)

{ displaystyle varphi (u ^ {0}, t) = { mbox {e}} ^ {t Delta _ {D}} u ^ {0}}

куда $ехр (tΔ D)$ - (аналитическая) полугруппа, порожденная $Δ D$ .

Решения волнового уравнения

Опять же, пусть $Ω$ - подобласть (ограниченная или нет) в ℝ^п (с $п$ целое число). Обозначим через $Γ$ его граница (предполагается гладкой). Рассмотрим следующие Волновое уравнение на ${ displaystyle Omega times (0, T)}$ (за $Т$ > 0),

{ displaystyle { begin {array} {rcll} u_ {tt} - Delta u & = & 0 & { mbox {in}} Omega times (0, T), u & = & 0 & { mbox {on} } Gamma times (0, T), end {array}}}

со следующим начальным условием $ты (0) = ты 1,0$ в ${ displaystyle Omega}$ и ${ Displaystyle и_ {т} (0) = и ^ {2,0} { mbox {in}} Omega}$ .

Используя тот же полугрупповой подход, что и в случае уравнения тепла выше. Запишем волновое уравнение как уравнение в частных производных первого порядка по времени, введя следующий неограниченный оператор:

{ displaystyle { mathcal {A}} = left ({ begin {array} {cc} 0 & Id Delta _ {D} & 0 end {array}} right)}

с доменом ${ Displaystyle D ({ mathcal {A}}) = H ^ {2} ( Omega) cap H_ {0} ^ {1} ( Omega) times H_ {0} ^ {1} ( Omega )}$ на ${ displaystyle H = H_ {0} ^ {1} ( Omega) times L ^ {2} ( Omega)}$ (Оператор ${ displaystyle Delta _ {D}}$ определено в предыдущем примере).

Введем векторы-столбцы

{ Displaystyle U = left ({ begin {array} {c} u ^ {1} u ^ {2} end {array}} right)}

(куда ${ displaystyle u ^ {1} = u}$ и ${ Displaystyle и ^ {2} = и_ {т}}$ ) и

{ Displaystyle U ^ {0} = left ({ begin {array} {c} u ^ {1,0} u ^ {2,0} end {array}} right)}

.

С этими понятиями волновое уравнение принимает вид ${ Displaystyle U '(т) = { mathcal {A}} U (т)}$ и ${ Displaystyle U (0) = U ^ {0}}$ .

Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, есть ${ displaystyle varphi (U ^ {0}, t) = { mbox {e}} ^ {t { mathcal {A}}} U ^ {0}}$ куда ${ displaystyle { mbox {e}} ^ {т { mathcal {A}}}}$ - (унитарная) полугруппа, порожденная ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ .

Бернулли поток

Эргодичный динамические системы, то есть системы, демонстрирующие случайность, также демонстрируют потоки. Самый знаменитый из них, пожалуй, Бернулли поток. В Теорема об изоморфизме Орнштейна заявляет, что для любого данного энтропия $ЧАС$ , существует поток $φ (х, т)$ , называемый потоком Бернулли, такой, что поток во время $т$ =1, т.е. $φ (Икс,1)$ , это Сдвиг Бернулли.

Более того, этот поток уникален вплоть до постоянного масштабирования времени. То есть, если $ψ (х, т)$ , - другой поток с той же энтропией, то $ψ (х, т) = φ (х, т)$ , для некоторой постоянной $c$ . Понятие единственности и изоморфизма здесь - это понятие изоморфизм динамических систем. Многие динамические системы, в том числе Бильярд Синая и Аносовские потоки изоморфны сдвигам Бернулли.