Теорема об изоморфизме Орнштейна - Ornstein isomorphism theorem

В математика, то Теорема об изоморфизме Орнштейна это глубокий результат для эргодическая теория. В нем говорится, что если два разных Схемы Бернулли имеют то же самое Колмогоровская энтропия, то они изоморфны.^[1][2] Результат, представленный Дональд Орнштейн в 1970 году это важно, потому что в нем говорится, что многие системы, которые ранее считались несвязанными, на самом деле изоморфны; к ним относятся все конечные стационарные случайные процессы, включая Цепи Маркова и подсдвиги конечного типа, Аносовские потоки и Бильярд Синая, эргодические автоморфизмы п-тор, а преобразование непрерывной дроби.

Обсуждение

Теорема на самом деле представляет собой набор связанных теорем. Первая теорема утверждает, что если два разных Бернулли сдвиги имеют то же самое Колмогоровская энтропия, то они изоморфны как динамические системы. Третья теорема распространяет этот результат на потоки: а именно, что существует поток ${displaystyle T_{t}}$ такой, что ${displaystyle T_{1}}$ сдвиг Бернулли. Четвертая теорема утверждает, что для данной фиксированной энтропии этот поток уникален с точностью до постоянного изменения масштаба времени. Пятая теорема утверждает, что существует единственный уникальный поток (с точностью до постоянного изменения масштаба времени), имеющий бесконечную энтропию. Фраза «до постоянного изменения масштаба времени» просто означает, что если ${displaystyle T_{t}}$ и ${displaystyle S_{t}}$ два потока с одинаковой энтропией, то ${displaystyle S_{t}=T_{ct}}$ для некоторой постоянной c.

Следствием этих результатов является то, что сдвиг Бернулли можно факторизовать произвольно: так, например, для данного сдвига Т, есть еще один сдвиг ${displaystyle {sqrt {T}}}$ что изоморфно ему.

История

Вопрос об изоморфизме восходит к фон Нейман, кто спросил, двое ли Схемы Бернулли BS (1/2, 1/2) и BS (1/3, 1/3, 1/3) были изоморфны или нет. В 1959 г. Я. Синай и Колмогоров ответил отрицательно, показывая, что две разные схемы не могут быть изоморфными, если у них разная энтропия. В частности, они показали, что энтропия схемы Бернулли BS (п₁, п₂,..., п_п) дан кем-то^[3][4]

${displaystyle H=-sum _{i=1}^{N}p_{i}log p_{i}.}$

Теорема об изоморфизме Орнштейна, доказанная Дональд Орнштейн в 1970 году утверждает, что две схемы Бернулли с одинаковой энтропией изоморфный. Результат резкий,^[5] в очень похожих, несхемных системах нет этого свойства; в частности, существуют Колмогоровские системы с той же энтропией, которые не изоморфны. Орнштейн получил Приз Бохера для этой работы.

Упрощенное доказательство теоремы об изоморфизме было дано Майклом С. Кином и М. Смородинским в 1979 г.^[6][7] Однако исходное доказательство остается более мощным, поскольку оно обеспечивает простой критерий, который можно применить, чтобы определить, являются ли две разные системы изоморфными или нет.

Рекомендации

1. Дональд Орнштейн, «сдвиги Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны», Успехи в математике. 4 (1970), стр. 337–352
2. Дональд Орнштейн, "Эргодическая теория, случайность и динамические системы" (1974) Yale University Press, ISBN  0-300-01745-6
3. Я.Г. Синай, (1959) "О понятии энтропии динамической системы", Доклады РАН 124С. 768–771.
4. Я. Г. Синай, (2007 г.) "Метрическая энтропия динамической системы. "
5. Кристофер Хоффман "K контрпримерная машина ", Пер. Амер. Математика. Soc. 351 (1999), стр. 4263–4280.
6. М. Кин и М. Смородинский "Теорема о финитарном изоморфизме для марковских сдвигов ",Бык. Амер. Математика. Soc. 1 (1979), стр. 436–438
7. М. Кин и М. Смородинский, «Схемы Бернулли с одинаковой энтропией финитно изоморфны». Анналы математики (2) 109 (1979), стр. 397–406.

дальнейшее чтение

• Стивен Каликоу, Рэндалл Маккатчеон (2010) Очерк эргодической теории, Издательство Кембриджского университета
• Д. Орнштейн (2001) [1994], "Теорема об изоморфизме Орнштейна", Энциклопедия математики, EMS Press
• Дональд Орнштейн (2008) "Теория Орнштейна "Scholarpedia, 3(3):3957.