Соизмеримость (теория групп) - Commensurability (group theory)

В математика особенно в теория групп, две группы соизмеримый если они отличаются только на конечную величину в точном смысле. В соизмеритель из подгруппа еще одна подгруппа, относящаяся к нормализатор.

Соизмеримость в теории групп

Два группы грамм₁ и грамм₂ называются (абстрактно) соизмеримый если есть подгруппы ЧАС₁ ⊂ грамм₁ и ЧАС₂ ⊂ грамм₂ из конечный индекс такой, что ЧАС₁ является изоморфный к ЧАС₂.^[1] Например:

Группа конечна тогда и только тогда, когда она соизмерима с тривиальной группой.
Любые два конечно порожденные бесплатные группы по крайней мере 2 генератора соизмеримы друг с другом.^[2] Группа SL(2,Z) тоже соизмеримо с этими бесплатными группами.
Любые два поверхностные группы из род как минимум 2 соизмеримы друг с другом.

Для подгрупп данной группы используется другое, но родственное понятие. А именно, две подгруппы Γ₁ и Γ₂ группы грамм как говорят соизмеримый если пересечение Γ₁ ∩ Γ₂ имеет конечный индекс как в Γ₁ и Γ₂. Очевидно, отсюда следует, что Γ₁ и Γ₂ абстрактно соизмеримы.

Пример: для ненулевого действительные числа а и б, подгруппа р генерируется к а соизмерима с подгруппой, порожденной б тогда и только тогда, когда действительные числа а и б находятся соизмеримый, означающий, что а/б принадлежит к рациональное число Q.

В геометрическая теория групп, а конечно порожденная группа рассматривается как метрическое пространство с использованием слово метрика. Если две группы (абстрактно) соизмеримы, то они квазиизометрический.^[3] Было полезно спросить, когда верно обратное.

В линейной алгебре есть аналогичное понятие: два линейные подпространства S и Т из векторное пространство V находятся соизмеримый если перекресток S ∩ Т имеет конечный коразмерность в обоих S и Т.

В топологии

Два соединенный путём топологические пространства иногда называют соизмеримый если у них есть гомеоморфный конечнолистный покрытия пространства. В зависимости от типа рассматриваемого пространства можно использовать гомотопические эквивалентности или же диффеоморфизмы вместо гомеоморфизмов в определении. По соотношению покрывающих пространств и фундаментальная группа, соизмеримые пространства имеют соизмеримые фундаментальные группы.

Пример: Коллектор Гизекинга соизмеримо с дополнением узел восьмерка; это оба некомпактный гиперболические трехмерные многообразия конечного объема. С другой стороны, существует бесконечно много различных классов соизмеримости компактных трехмерных гиперболических многообразий, а также некомпактных трехмерных гиперболических многообразий конечного объема.^[4]

Соизмеритель

В соизмеритель подгруппы Γ группы грамм, обозначенный Comm_грамм(Γ), - множество элементов грамм из грамм что такое, что сопрягать подгруппа граммΓграмм⁻¹ соизмеримо с Γ.^[5] Другими словами,

{ displaystyle operatorname {Comm} _ {G} ( Gamma) = {g in G: g Gamma g ^ {- 1} cap Gamma { text {имеет конечный индекс в обоих}} Gamma { text {and}} g Gamma g ^ {- 1} }.}

Это подгруппа грамм который содержит нормализатор N_грамм(Γ) (а значит, содержит Γ).

Например, соизмеритель специальная линейная группа SL(п,Z) в SL(п,р) содержит SL(п,Q). В частности, соизмеритель SL(п,Z) в SL(п,р) является плотный в SL(п,р). В более общем смысле, Григорий Маргулис показал, что соизмеритель решетка Γ в полупростая группа Ли грамм плотно в грамм тогда и только тогда, когда Γ - арифметическая подгруппа из грамм.^[6]

Абстрактный соизмеритель

В абстрактный соизмеритель группы ${ displaystyle G}$ , обозначенный Comm ${ Displaystyle (G)}$ , - группа классов эквивалентности изоморфизмов ${ displaystyle phi: от H до K}$ , куда ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle K}$ - подгруппы конечного индекса в ${ displaystyle G}$ , под состав.^[7] Элементы ${ displaystyle { text {Comm}} (G)}$ называются соразмеры из ${ displaystyle G}$ .

Если ${ displaystyle G}$ это связанный полупростой Группа Ли не изоморфен ${ Displaystyle { текст {PSL}} _ {2} ( mathbb {R})}$ , с тривиальным центром и без компактных множителей, то по Теорема жесткости Мостова, абстрактный соизмеритель любого несводимого решетка ${ displaystyle Gamma leq G}$ линейно. Более того, если ${ displaystyle Gamma}$ является арифметическим, то Comm ${ displaystyle ( Gamma)}$ практически изоморфна плотной подгруппе в ${ displaystyle G}$ , иначе Comm ${ displaystyle ( Gamma)}$ практически изоморфен ${ displaystyle Gamma}$ .

Примечания

^ Другу и Капович (2018), Определение 5.13.
^ Druțu & Kapovich (2018), Предложение 7.80.
^ Другу и Капович (2018), следствие 8.47.
^ Маклахлан и Рид (2003), следствие 8.4.2.
^ Другу и Капович (2018), Определение 5.17.
^ Маргулис (1991), глава IX, теорема B.
^ Другу и Капович (2018), Раздел 5.2.