Автоморфная форма - Automorphic form

В Эта-функция Дедекинда является автоморфной формой на комплексной плоскости.

В гармонический анализ и теория чисел, автоморфная форма это хорошо управляемая функция из топологическая группа грамм к комплексным числам (или комплексным векторное пространство ), инвариантного относительно действие из дискретная подгруппа ${ displaystyle Gamma subset G}$ топологической группы. Автоморфные формы являются обобщением идеи периодические функции в евклидовом пространстве на общие топологические группы.

Модульные формы - автоморфные формы, определенные над группами SL (2, р) или же PSL (2, р) с дискретной подгруппой модульная группа, или один из подгруппы конгруэнции; в этом смысле теория автоморфных форм является расширением теории модулярных форм. В более общем плане можно использовать аделик подход как способ работы со всей семьей подгруппы конгруэнции однажды. С этой точки зрения автоморфная форма над группой грамм(А_F), для алгебраической группы грамм и поле алгебраических чисел F, - комплексная функция на грамм(А_F), который остается инвариантным относительно грамм(F) и удовлетворяет определенным условиям гладкости и роста.

Пуанкаре впервые обнаружил автоморфные формы как обобщения тригонометрический и эллиптические функции. Сквозь Гипотезы Ленглендса автоморфные формы играют важную роль в современной теории чисел.^[1]

Формулировка

Автоморфная форма - это функция F на грамм (со значениями в некоторых фиксированных конечномерных векторное пространство V, в векторнозначном случае) при соблюдении трех видов условий:

преобразовывать при переводе по элементам ${ displaystyle gamma in Gamma}$ согласно данному фактор автоморфности j;
быть собственная функция определенных Операторы Казимира на грамм; и
чтобы удовлетворить асимптотическому условию "умеренного роста" a функция высоты.^[2]

Это первое из них, что делает F автоморфный, то есть удовлетворить интересный функциональное уравнение относящийся F(грамм) с F(γg) за ${ displaystyle gamma in Gamma}$ . В векторнозначном случае спецификация может включать конечномерную групповое представительство ρ действует на компоненты, чтобы «скрутить» их. Условие оператора Казимира говорит, что некоторые Лапласиане^{[нужна цитата ]} имеют F как собственная функция; это гарантирует, что F обладает превосходными аналитическими свойствами, но действительно ли это комплексно-аналитическая функция, зависит от конкретного случая. Третье условие - обрабатывать случай, когда грамм/ Γ не является компактный но имеет куспиды.

Формулировка требует общего понятия фактор автоморфности j для Γ, который является типом 1-коцикл на языке групповые когомологии. Ценности j могут быть комплексными числами или на самом деле комплексными квадратными матрицами, соответствующими возможности векторных автоморфных форм. Условие коцикла, наложенное на фактор автоморфности, можно регулярно проверять, когда j происходит от Матрица якобиана, с помощью Правило цепи.

История

До того, как была предложена эта очень общая установка (около 1960 г.), уже были значительные разработки автоморфных форм, отличных от модульных. Случай Γ a Фуксова группа уже привлекали внимание до 1900 года (см. ниже). В Модульные формы Гильберта (также называемые формами Гильберта-Блюменталя) были предложены вскоре после этого, хотя полная теория еще долго ждала. В Модульные формы Siegel, для которого грамм это симплектическая группа, естественно возникла из рассмотрения пространства модулей и тета-функции. Послевоенный интерес к нескольким комплексным переменным сделал естественным продолжение идеи автоморфной формы в тех случаях, когда формы действительно комплексно-аналитические. Была проделана большая работа, в частности Илья Пятецкий-Шапиро примерно в 1960 году при создании такой теории. Теория Формула следа Сельберга, применяемый другими, показал значительную глубину теории. Роберт Лэнглендс показал, как (в общем, известно много частных случаев) Теорема Римана – Роха может применяться для расчета размеров автоморфных форм; это своего рода постфактум проверить правильность представления. Он также разработал общую теорию Серия Эйзенштейна, что соответствует тому, что в спектральная теория термины были бы «непрерывным спектром» для этой проблемы, оставляя куспид или отдельная часть для расследования. С точки зрения теории чисел формы возврата были признаны, поскольку Шриниваса Рамануджан, как суть дела.

Автоморфные представления

Последующее понятие «автоморфное представление» оказалось очень полезным при работе с грамм ан алгебраическая группа рассматривается как адельная алгебраическая группа. Он не полностью включает идею автоморфной формы, представленную выше, в которой аделик подход - это способ иметь дело со всей семьей подгруппы конгруэнции однажды. Внутри L² пространство для частного адельной формы грамм, автоморфное представление - это представление, которое является бесконечным тензорное произведение представительств p-адические группы, с конкретными обволакивающая алгебра представительства для бесконечное простое число (s). Один из способов выразить смещение акцента - это Операторы Гекке здесь фактически поставлены на один уровень с операторами Казимира; что естественно с точки зрения функциональный анализ^{[нужна цитата ]}, хотя для теории чисел не так очевидно. Именно эта концепция лежит в основе формулировки Философия Ленглендса.

Пуанкаре об открытии и его работе над автоморфными функциями

Один из Пуанкаре Первые открытия в математике, относящиеся к 1880-м годам, были автоморфными формами. Он назвал их фуксовыми функциями в честь математика Лазарь Фукс, потому что Фукс был известен как хороший учитель и занимался исследованиями по дифференциальным уравнениям и теории функций. Фактически Пуанкаре разработал концепцию этих функций в рамках своей докторской диссертации. По определению Пуанкаре автоморфная функция - это функция, аналитическая в своей области определения и инвариантная относительно дискретной бесконечной группы дробно-линейных преобразований. Затем автоморфные функции обобщают оба тригонометрический и эллиптические функции.

Пуанкаре объясняет, как он открыл фуксовы функции:

Пятнадцать дней я пытался доказать, что не может быть никаких функций, подобных тем, которые я с тех пор назвал фуксовыми функциями. Я тогда был очень невежественным; Каждый день я садился за рабочий стол, задерживался на час или два, пробовал множество комбинаций и не достигал результата. Однажды вечером, вопреки своему обычаю, я пил черный кофе и не мог уснуть. Идеи росли толпами; Я чувствовал, как они сталкиваются, пока пары не сцепятся, так сказать, образуя стабильную комбинацию. На следующее утро я установил существование класса фуксовых функций, которые происходят из гипергеометрический ряд; Мне оставалось только записать результаты, что заняло всего несколько часов.

Смотрите также

Примечания

^ Фридберг, Соломон. «Автоморфные формы: краткое введение» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 6 июня 2013 г.. Получено 10 февраля 2014.
^ Ударяться (2002 )

внешняя ссылка

Котировки, связанные с Автоморфная форма в Викицитатнике

[Freidberg2013-1] Фридберг, Соломон. «Автоморфные формы: краткое введение» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 6 июня 2013 г.. Получено 10 февраля 2014.

[2] Ударяться (2002 )

[1]

[2]