Форма куспида - Cusp form

В теория чисел, филиал математика, а куспид это особый вид модульная форма с нулевым постоянным коэффициентом в разложении в ряд Фурье.

Вступление

Куспид выделяется в случае модульных форм для модульная группа обращением в нуль постоянного коэффициента а₀ в Ряд Фурье расширение (см. q-расширение )

${\displaystyle \sum a_{n}q^{n}.}$

Это разложение Фурье существует как следствие наличия у модулярной группы действия на верхняя полуплоскость через преобразование

${\displaystyle z\mapsto z+1.}$

Для других групп возможен некоторый перенос через несколько единиц, и в этом случае разложение Фурье выполняется в терминах другого параметра. Однако во всех случаях предел как q → 0 - предел в верхней полуплоскости, поскольку мнимая часть из z → ∞. Если взять фактор по модулярной группе, этот предел соответствует куспид из модульная кривая (в смысле добавленного балла за компактификация ). Итак, определение сводится к утверждению, что куспид - это модульная форма, которая исчезает в куспиде. В случае других групп может быть несколько точек возврата, и определение становится модулярной формой, исчезающей в точке все бугорки. Это может включать несколько расширений.

Измерение

Размерности пространств параболических форм, в принципе, вычисляются с помощью Теорема Римана – Роха. Например, Рамануджан тау функция τ(п) возникает как последовательность коэффициентов Фурье касп-формы веса 12 для модулярной группы с а₁ = 1. Пространство таких форм имеет размерность 1, значит такое определение возможно; и это объясняет действие Операторы Гекке на космосе скалярное умножение (Доказательство Морделлом личности Рамануджана). Явно это модульный дискриминант

${\displaystyle \Delta (z,q),}$

который представляет (с точностью до нормализующая константа ) дискриминант кубики в правой части Уравнение Вейерштрасса из эллиптическая кривая; и 24-я степень Функция Дедекинда эта. Коэффициенты Фурье здесь записываются

${\displaystyle \tau (n)}$

и позвонил 'Тау-функция Рамануджана ', с нормализацией τ(1) = 1.

Связанные понятия

В более широкой картине автоморфные формы, формы возврата являются дополнительными к Серия Эйзенштейна, в дискретный спектр/непрерывный спектр, или же представление дискретной серии/индуцированное представление различие, характерное для разных частей спектральная теория. То есть ряд Эйзенштейна может быть «спроектирован» так, чтобы принимать заданные значения на порогах. Существует большая общая теория, хотя и зависящая от довольно сложной теории параболические подгруппы, и соответствующие куспидальные представления.

Рекомендации

• Серр, Жан-Пьер, Курс арифметики, Тексты для выпускников по математике, № 7, Springer-Verlag, 1978. ISBN  0-387-90040-3
• Шимура, Горо, Введение в арифметическую теорию автоморфных функций, Princeton University Press, 1994. ISBN  0-691-08092-5
• Гелбарт, Стивен, Автоморфные формы на группах аделей, Анналы математических исследований, № 83, Princeton University Press, 1975. ISBN  0-691-08156-5