Оператор Гекке - Hecke operator

В математика, в частности в теории модульные формы, а Оператор Гекке, изученный Гекке (1937 ), представляет собой своего рода «усредняющий» оператор, играющий существенную роль в структуре векторные пространства модульных форм и более общего автоморфные представления.

История

Морделл (1917 ) использовали операторы Гекке на модульных формах в работе по специальному куспид из Рамануджан, опережая общую теорию, данную Гекке (1937). Морделл доказал, что Рамануджан тау функция, выражая коэффициенты формы Рамануджана,

{ displaystyle Delta (z) = q left ( prod _ {n = 1} ^ { infty} (1-q ^ {n}) right) ^ {24} = sum _ {n = 1 } ^ { infty} tau (n) q ^ {n}, quad q = e ^ {2 pi iz},}

это мультипликативная функция:

{ Displaystyle tau (mn) = tau (m) tau (n) quad { text {for}} (m, n) = 1.}

Идея восходит к более ранней работе Адольф Гурвиц, кто лечил алгебраические соответствия между модульные кривые реализующие отдельные операторы Гекке.

Математическое описание

Операторы Гекке могут быть реализованы в различных контекстах. Простейший смысл - комбинаторный, а именно: взятие для данного целого числа п некоторая функция ж(Λ), определенная на решетки фиксированного ранга до

{ Displaystyle сумма е ( Лямбда ')}

с суммой, взятой по всем Λ ′, подгруппы индекса Λ п. Например, с п = 2 и двух измерений, таких Λ ′ три. Модульные формы являются частными видами функций решетки при соблюдении условий, делающих их аналитические функции и однородный относительно гомотетии, а также умеренный рост на бесконечности; эти условия сохраняются суммированием, поэтому операторы Гекке сохраняют пространство модулярных форм данного веса.

Другой способ выразить операторы Гекке - использовать двойные классы в модульная группа. В современном аделик подход, это переводится в двойные классы смежности по некоторым компактным подгруппам.

Явная формула

Позволять M_м - набор целочисленных матриц 2 × 2 с детерминант м и Γ = M₁ быть полным модульная группа SL(2, Z). Учитывая модульную форму ж(z) веса k, то м-й оператор Гекке действует по формуле^{[требуется дальнейшее объяснение ]}

{ displaystyle T_ {m} е (z) = m ^ {k-1} sum _ { left ({ begin {smallmatrix} a & b c & d end {smallmatrix}} right) in Gamma обратная косая черта M_ {m}} (cz + d) ^ {- k} f left ({ frac {az + b} {cz + d}} right),}

куда z находится в верхняя полуплоскость и нормировочная постоянная м^k−1 гарантирует, что изображение формы с целыми коэффициентами Фурье имеет целые коэффициенты Фурье. Это можно переписать в виде

{ Displaystyle T_ {m} е (z) = m ^ {k-1} sum _ {a, d> 0, ad = m} { frac {1} {d ^ {k}}} sum _ {b { pmod {d}}} f left ({ frac {az + b} {d}} right),}

что приводит к формуле для коэффициентов Фурье Т_м(ж(z)) = ∑ б_пq^п через коэффициенты Фурье ж(z) = ∑ а_пq^п:

{ displaystyle b_ {n} = sum _ {r> 0, r | (m, n)} r ^ {k-1} a_ {mn / r ^ {2}}.}

Из этой явной формулы видно, что операторы Гекке с разными индексами коммутируют и что если а₀ = 0, тогда б₀ = 0, поэтому подпространство S_k куспидных форм веса k сохраняется операторами Гекке. Если (ненулевая) форма возврата ж это одновременная собственная форма всех операторов Гекке Т_м с собственными значениями λ_м тогда а_м = λ_ма₁ и а₁ ≠ 0. Собственные формы Гекке равны нормализованный так что а₁ = 1, тогда

{ displaystyle T_ {m} f = a_ {m} f, quad a_ {m} a_ {n} = sum _ {r> 0, r | (m, n)} r ^ {k-1} a_ {mn / r ^ {2}}, m, n geq 1.}

Таким образом, для нормализованных каспидальных собственных форм Гекке с целым весом их коэффициенты Фурье совпадают с их собственными значениями Гекке.

Алгебры Гекке

Алгебры операторов Гекке называются «алгебрами Гекке» и являются коммутативные кольца. В классическом эллиптическая модульная форма теории, операторы Гекке Т_п с п взаимно просты с уровнем, действующим на пространстве параболических форм данного веса, являются самосопряженный с уважением к Внутренний продукт Петерсона. Следовательно спектральная теорема подразумевает наличие основы модульных форм, которые собственные функции для этих операторов Гекке. Каждая из этих основных форм обладает Произведение Эйлера. Точнее, его Преобразование Меллина это Серия Дирихле который имеет Продукты Эйлера с локальным множителем для каждого простого числа п это обратное^{[требуется разъяснение ]} из Полином Гекке, квадратичный многочлен от п^−s. В случае, рассмотренном Морделлом, пространство параболических форм веса 12 относительно полной модулярной группы одномерно. Отсюда следует, что форма Рамануджана имеет эйлерово произведение и устанавливает мультипликативность τ(п).

Другие связанные математические кольца также называются «алгебрами Гекке», хотя иногда связь с операторами Гекке не совсем очевидна. Эти алгебры включают определенные факторы групповые алгебры из группы кос. Наличие этой коммутативной операторной алгебры играет важную роль в гармонический анализ модульных форм и обобщений.

Смотрите также

Соотношение конгруэнтности Эйхлера – Шимуры