Формула следа Сельберга - Selberg trace formula

В математика, то Формула следа Сельберга, представлен Сельберг (1956), является выражением характера унитарное представительство из $грамм$ на пространстве $L 2 (грамм / Γ)$ из квадратично интегрируемые функции, куда $грамм$ это Группа Ли и $Γ$ cofinite дискретная группа. Характер задается следом некоторых функций на $грамм$ .

Самый простой случай - это когда $Γ$ является компактный, когда представление разбивается на дискретные слагаемые. Здесь формула следа является расширением Формула Фробениуса для персонажа индуцированное представление конечных групп. Когда $Γ$ кокомпактная подгруппа $Z$ реальных чисел $грамм = р$ , формула следа Сельберга по сути Формула суммирования Пуассона.

Случай, когда $грамм / Γ$ не компактно сложнее, потому что есть непрерывный спектр, описанный с использованием Серия Эйзенштейна. Сельберг разработал некомпактный случай, когда $грамм$ это группа $SL (2, р)$ ; расширение на группы более высокого ранга - Формула следа Артура – Сельберга.

Когда $Γ$ фундаментальная группа Риманова поверхность формула следа Сельберга описывает спектр дифференциальных операторов, таких как Лапласиан с точки зрения геометрических данных, включающих длины геодезических на римановой поверхности. В этом случае формула следа Сельберга формально аналогична формуле явные формулы соотнося нули Дзета-функция Римана к простым числам, причем дзета-нули соответствуют собственным значениям лапласиана, а простые числа соответствуют геодезическим. Руководствуясь аналогией, Сельберг ввел Дзета-функция Сельберга римановой поверхности, аналитические свойства которой кодируются формулой следа Сельберга.

Ранняя история

Особый интерес представляют случаи, в которых пространство является компактная риманова поверхность $S$ . Первоначальная публикация в 1956 г. Атле Сельберг разобрались с этим делом, его Лапласиан дифференциальный оператор и его мощности. Следы степеней лапласиана можно использовать для определения Дзета-функция Сельберга. Интерес в этом случае представляла аналогия между полученной формулой и явные формулы из простое число теория. Здесь закрытые геодезические на $S$ играют роль простых чисел.

В то же время интерес к следам Операторы Гекке был связан с Формула следа Эйхлера – Сельберга, Сельберга и Мартин Эйхлер, для оператора Гекке, действующего в векторном пространстве бугорки данного веса, для данного подгруппа конгруэнции из модульная группа. Здесь след тождественного оператора - это размерность векторного пространства, то есть размерность пространства модульных форм данного типа: величина, традиционно вычисляемая с помощью Теорема Римана – Роха.

Приложения

Формула трассировки может применяться для арифметическая геометрия^{[нужна цитата ]} и теория чисел. Например, используя теорему о следе, Эйхлер и Шимура рассчитал L-функции Хассе – Вейля связано с модульные кривые; Горо Шимура методы обходят анализ, включенный в формулу трассировки. Развитие параболические когомологии (из Когомологии Эйхлера ) предоставил чисто алгебраическую установку, основанную на групповые когомологии с учетом куспиды характеристика некомпактных римановых поверхностей и модульных кривых.

Формула следа также имеет чисто дифференциально-геометрический Приложения. Например, в результате Buser спектр длин из Риманова поверхность является изоспектральным инвариантом, по существу, по формуле следа.

Позже работа

Общая теория Серия Эйзенштейна во многом мотивировалось требованием выделить непрерывный спектр^{[нужна цитата ]}, что характерно для некомпактного случая.

Формула следа часто приводится для алгебраических групп над аделями, а не для групп Ли, потому что это делает соответствующую дискретную подгруппу $Γ$ в алгебраическую группу над полем, с которым технически проще работать.

Современные последователи теории - Формула следа Артура – Сельберга применительно к случаю общей полупростой грамм, а также многочисленные исследования формулы следа в Философия Ленглендса (решение технических вопросов, таких как эндоскопия ). Формула следа Сельберга может быть получена из формулы следа Артура – Сельберга с некоторыми усилиями.

Формула следа Сельберга для компактных гиперболических поверхностей

Компактная гиперболическая поверхность $Икс$ можно записать как пространство орбит

{ displaystyle Gamma backslash mathbf {H},}

куда $Γ$ является подгруппой $PSL (2, р)$ , и $ЧАС$ это верхняя полуплоскость, и $Γ$ действует на $ЧАС$ к дробно-линейные преобразования.

Формула следа Сельберга для этого случая проще, чем общий случай, поскольку поверхность компактна, поэтому непрерывный спектр отсутствует, а группа $Γ$ не имеет параболических или эллиптических элементов (кроме идентичности).

Тогда спектр для Оператор Лапласа – Бельтрами на $Икс$ дискретно и вещественно, поскольку оператор Лапласа самосопряжен с компактным противовоспалительное средство; то есть

{ displaystyle 0 = mu _ {0} < mu _ {1} leq mu _ {2} leq cdots}

где собственные значения $μ п$ соответствуют $Γ$ -инвариантные собственные функции $ты$ в $C \infty (ЧАС)$ лапласиана; другими словами

{ Displaystyle { begin {case} и ( gamma z) = u (z), qquad forall gamma in Gamma y ^ {2} left (u_ {xx} + u_ {yy} right) + mu _ {n} u = 0. end {case}}}

Использование подстановки переменных

{ displaystyle mu = s (1-s), qquad s = { tfrac {1} {2}} + ir}

собственные значения помечены

{ displaystyle r_ {n}, п geq 0.}

Тогда Формула следа Сельберга дан кем-то

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} h (r_ {n}) = { frac { mu (X)} {4 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} r , h (r) tanh ( pi r) , dr + sum _ { {T }} { frac { log N (T_ {0})} {N (T) ^ { frac {1} {2}} - N (T) ^ {- { frac {1} {2}}}}} g ( log N (T)).}

Правая часть представляет собой сумму по классам сопряженности группы $Γ$ , причем первый член соответствует элементу идентичности, а остальные члены образуют сумму по другим классам сопряженности ${Т}$ (которые в данном случае являются гиперболическими). Функция $час$ должен удовлетворять следующему:

быть аналитиком $| Im (р)| \leq 1 / 2 + δ$ ;
$час (- р) = час (р)$ ;
существуют положительные константы $δ$ и $M$ такой, что:

{ displaystyle vert h (r) vert leq M left (1+ vert { text {Re}} (r) vert right) ^ {- 2- delta}.}

Функция $грамм$ - преобразование Фурье $час$ , то есть,

{ displaystyle h (r) = int _ {- infty} ^ { infty} g (u) e ^ {iru} , du.}

внешняя ссылка

Страница ресурсов формулы трассировки Сельберга