Автоморфный фактор - Automorphic factor - Wikipedia

В математика, автоморфный фактор это определенный тип аналитическая функция, определенные на подгруппы из SL (2, R), появляющиеся в теории модульные формы. Общий случай для общих групп рассмотрен в статье.фактор автоморфности '.

Определение

An автоморфный фактор веса k это функция

${\displaystyle \nu :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C} }$

удовлетворяющий четырем свойствам, приведенным ниже. Здесь обозначение ${\displaystyle \mathbb {H} }$ и ${\displaystyle \mathbb {C} }$ обратитесь к верхняя полуплоскость и комплексная плоскость, соответственно. Обозначение ${\displaystyle \Gamma }$ является подгруппой SL (2, R), такой как, например, a Фуксова группа. Элемент ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ матрица 2x2

${\displaystyle \gamma =\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]}$

с а, б, c, d реальные числа, удовлетворяющие объявление−до н.э=1.

Автоморфный фактор должен удовлетворять:

1. Для фиксированного ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$, функция ${\displaystyle \nu (\gamma ,z)}$ это голоморфная функция из ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$.

2. Для всех ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ и ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$, надо

${\displaystyle \vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}$

для фиксированного действительного числа k.

3. Для всех ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ и ${\displaystyle \gamma ,\delta \in \Gamma }$, надо

${\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)}$

Здесь, ${\displaystyle \delta z}$ это дробно-линейное преобразование из ${\displaystyle z}$ к ${\displaystyle \delta }$.

4.Если ${\displaystyle -I\in \Gamma }$, то для всех ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ и ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$, надо

${\displaystyle \nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)}$

Здесь, я обозначает единичная матрица.

Характеристики

Каждый автоморфный фактор можно записать как

${\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}}$

с

${\displaystyle \vert \upsilon (\gamma )\vert =1}$

Функция ${\displaystyle \upsilon :\Gamma \to S^{1}}$ называется система умножения. Четко,

${\displaystyle \upsilon (I)=1}$,

в то время как, если ${\displaystyle -I\in \Gamma }$, тогда

${\displaystyle \upsilon (-I)=e^{-i\pi k}}$

что равно ${\displaystyle (-1)^{k}}$ когда k целое число.

Рекомендации

• Роберт Рэнкин, Модульные формы и функции, (1977) Издательство Кембриджского университета ISBN  0-521-21212-X. (Глава 3 полностью посвящена автоморфным факторам модулярной группы.)