Автоморфный фактор - Automorphic factor - Wikipedia
В математика, автоморфный фактор это определенный тип аналитическая функция, определенные на подгруппы из SL (2, R), появляющиеся в теории модульные формы. Общий случай для общих групп рассмотрен в статье.фактор автоморфности '.
Определение
An автоморфный фактор веса k это функция
![{ displaystyle nu: Gamma times mathbb {H} to mathbb {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f8871e7832c87b8cc102671721e7cc27622e23)
удовлетворяющий четырем свойствам, приведенным ниже. Здесь обозначение
и
обратитесь к верхняя полуплоскость и комплексная плоскость, соответственно. Обозначение
является подгруппой SL (2, R), такой как, например, a Фуксова группа. Элемент
матрица 2x2
![{ displaystyle gamma = left [{ begin {matrix} a & b c & d end {matrix}} right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0461ebceddd9313f7edd2541aacad2a9ba9fc1c7)
с а, б, c, d реальные числа, удовлетворяющие объявление−до н.э=1.
Автоморфный фактор должен удовлетворять:
- 1. Для фиксированного
, функция
это голоморфная функция из
.
- 2. Для всех
и
, надо![{ Displaystyle верт ню ( гамма, г) верт = верт cz + d верт ^ {к}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06fa86ba6c8633aa3b9df3147e8e71a5b040776)
- для фиксированного действительного числа k.
- 3. Для всех
и
, надо
![{ Displaystyle ню ( гамма дельта, г) = ню ( гамма, дельта г) ню ( дельта, г)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e252016bab91d9cf210fe1d167049b212efbd2)
- Здесь,
это дробно-линейное преобразование из
к
.
- 4.Если
, то для всех
и
, надо
![{ Displaystyle ню (- гамма, г) = ню ( гамма, г)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a355f755e44c87f63fbf863af09d9513fd025e1e)
- Здесь, я обозначает единичная матрица.
Характеристики
Каждый автоморфный фактор можно записать как
![{ Displaystyle Nu ( gamma, z) = upsilon ( gamma) (cz + d) ^ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485d5161a3bccd89266809af572843b51cc9e7fd)
с
![{ Displaystyle верт ипсилон ( гамма) верт = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80150eea1cfc9d8ba58aa99f870874572c666a7)
Функция
называется система умножения. Четко,
,
в то время как, если
, тогда
![{ displaystyle upsilon (-I) = e ^ {- i pi k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3d24883dc2550262c7e35cfa120fdf288e0792)
что равно
когда k целое число.
Рекомендации
- Роберт Рэнкин, Модульные формы и функции, (1977) Издательство Кембриджского университета ISBN 0-521-21212-X. (Глава 3 полностью посвящена автоморфным факторам модулярной группы.)