Матьё группа М11 - Mathieu group M11

Для общего фона и истории спорадических групп Матье см. Группа Матье.

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Матье M₁₁ это спорадическая простая группа из порядок

   2⁴ · 3² · 5 · 11 = 7920.

История и свойства

M₁₁ является одной из 26 спорадических групп и была введена Матье  (1861, 1873 ). Это самая маленькая спорадическая группа и, наряду с другими четырьмя группами Матье, обнаруженная первой. В Множитель Шура и группа внешних автоморфизмов оба банальный.

M₁₁ это резко 4-переходный группа перестановок на 11 объектах и ​​может быть определен некоторым набором перестановок, например парой (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11), (3,7,11,8) (4,10,5,6) перестановок, используемых Система компьютерной алгебры GAP.

Представления

M₁₁ имеет точно 4-транзитивное перестановочное представление на 11 точках, стабилизатор точки которого иногда обозначается через M₁₀, и является нерасщепляемым расширением вида A₆.2 (расширение группы порядка 2 знакопеременной группой A₆). Это действие является группой автоморфизмов Система Штейнера S (4,5,11). Индуцированное действие на неупорядоченные пары точек дает действие 3 ранга на 55 баллов.

M₁₁ имеет 3-транзитивное перестановочное представление на 12 точках со стабилизатором точки PSL₂(11). Представления перестановок в 11 и 12 точках можно увидеть внутри Матьё группа М12 как два разных вложения M₁₁ в M₁₂, замененный внешним автоморфизмом.

Перестановочное представление в 11 точках дает сложное неприводимое представление в 10 измерениях. Это наименьшее возможное измерение точного комплексного представления, хотя есть также два других таких представления в 10 измерениях, образующих комплексно сопряженную пару.

M₁₁ имеет два 5-мерных неприводимых представления над полем из 3 элементов, связанных с ограничениями 6-мерных представлений двойного покрытия M₁₂. Они имеют наименьшую размерность среди любых точных линейных представлений M₁₁ над любым полем.

Максимальные подгруппы

Всего существует 5 классов сопряженности максимальных подгрупп группы M₁₁ следующее:

• M₁₀, порядок 720, одноточечный стабилизатор в представлении степени 11
• PSL (2,11), порядок 660, одноточечный стабилизатор в представлении степени 12
• M₉: 2, заказ 144, стабилизатор 9 и 2 перегородки.
• S₅, порядок 120, орбиты 5 и 6

Стабилизатор блока в системе Штейнера S (4,5,11)

• Q: S₃, порядок 48, орбиты 8 и 3

Центратор четверного транспонирования

Изоморфен GL (2,3).

Классы сопряженности

Максимальный порядок любого элемента в M₁₁ равно 11. Циклические структуры показаны для представлений как степени 11, так и 12.

Заказ	Кол-во элементов	Степень 11	Степень 12
1 = 1	1 = 1	1^11·	1^12·
2 = 2	165 = 3 · 5 · 11	1^3·2^4	1^4·2^4
3 = 3	440 = 2^3 · 5 · 11	1^2·3^3	1^3·3^3
4 = 2^2	990 = 2 · 3^2 · 5 · 11	1^3·4^2	2^2·4^2
5 = 5	1584 = 2^4 · 3^2 · 11	1·5^2	1^2·5^2
6 = 2 · 3	1320 = 2^3 · 3 · 5 · 11	2·3·6	1·2·3·6
8 = 2^3	990 = 2 · 3^2 · 5 · 11	1·2·8	4·8	эквивалент мощности
	990 = 2 · 3^2 · 5 · 11	1·2·8	4·8
11 = 11	720 = 2^4 · 3^2 · 5	11	1·11	эквивалент мощности
	720 = 2^4 · 3^2 · 5	11	1·11

Рекомендации

• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-65378-7
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-60300-1, МИСТЕР  0075938
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» в Powell, M. B .; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы, Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, МИСТЕР  0338152 Перепечатано в Конвей и Слоан (1999), 267–298)
• Конвей, Джон Хортон; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Curtis, R.T .; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, МИСТЕР  0827219
• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, МИСТЕР  0920369
• Кертис, Р. Т. (1984), «Система Штейнера S (5, 6, 12), группа Матье M₁₂ и« котенок »"", в Аткинсоне, Майкл Д. (ред.), Вычислительная теория групп. Труды симпозиума Лондонского математического общества, проходившего в Дареме 30 июля - 9 августа 1982 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 353–358, ISBN  978-0-12-066270-8, МИСТЕР  0760669
• Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
• Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок, Тексты для выпускников по математике, 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN  978-0-387-94599-6, МИСТЕР  1409812
• Джилл, Ник; Хьюз, Сэм (2019), "Таблица характеров резко 5-транзитивной подгруппы знакопеременной группы степени 12", Международный журнал теории групп, Дои:10.22108 / IJGT.2019.115366.1531
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, МИСТЕР  1707296
• Хьюз, Сэм (2018), Теория представлений и характеров малых групп Матье (PDF)
• Матье, Эмиль (1861), "Mémoire sur l'etude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменные", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
• Матье, Эмиль (1873), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 Quantités", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), 18: 25–46, JFM  05.0088.01^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок до сферических упаковок и простых групп, Математические монографии Каруса, 21, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-023-7, МИСТЕР  0749038
• Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, Дои:10.1007 / BF02948948, ISSN  0025-5858
• Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, Дои:10.1007 / BF02948947

внешняя ссылка

• MathWorld: Группы Матье
• Атлас представлений конечных групп: M₁₁