Группа Матье М22 - Mathieu group M22

Для общего фона и истории спорадических групп Матье см. Группа Матье.

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Матье M₂₂ это спорадическая простая группа из порядок

   2⁷ · 3² · 5 · 7 · 11 = 443520

≈ 4×10⁵.

История и свойства

M₂₂ является одной из 26 спорадических групп и была введена Матье  (1861, 1873 ). Это 3-кратный переходный группа перестановок по 22 объектам. В Множитель Шура из M₂₂ является циклическим порядка 12, а группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2.

В математической литературе есть несколько неверных утверждений о 2-х частях множителя Шура. Бургойн и Фонг (1966) неверно утверждал, что множитель Шура M₂₂ имеет порядок 3, а в исправлении Бургойн и Фонг (1968) неверно утверждал, что в нем порядок 6. Это вызвало ошибку в названии статьи. Янко (1976) объявляя об открытии Янко группа J4. Мазет (1979) показал, что множитель Шура на самом деле является циклическим порядка 12.

Адем и Милгрэм (1995) вычислил 2-часть всех когомологий M₂₂.

Представления

M₂₂ имеет 3-транзитивное перестановочное представление в 22 точках, с точечным стабилизатором группа PSL₃(4), иногда называемый M₂₁. Это действие устраняет Система Штейнера S (3,6,22) с 77 гексадами, полная группа автоморфизмов которых является группой автоморфизмов M₂₂.2 из M₂₂.

M₂₂ имеет три представления перестановок ранга 3: один на 77 шестиугольниках со стабилизатором точки 2⁴: А₆, и два действия ранга 3 на 176 гептадах, сопряженных относительно внешнего автоморфизма и имеющих точечный стабилизатор A₇.

M₂₂ точечный стабилизатор действия M₂₃ на 23 точки, а также точечный стабилизатор действие 3 ранга из Группа Хигмана – Симса на 100 = 1 + 22 + 77 очков.

Тройная обложка 3.M₂₂ имеет 6-мерное точное представление над полем из 4 элементов.

6-кратная обложка M₂₂ появляется в центраторе 2¹⁺¹².3. (M₂₂: 2) инволюции Янко группа J4.

Максимальные подгруппы

Нет собственных подгрупп, транзитивных по всем 22 точкам. Всего существует 8 классов сопряженности максимальных подгрупп группы M₂₂ следующее:

• PSL (3,4) или M₂₁, заказ 20160: стабилизатор одноточечный
• 2⁴: А₆, порядок 5760, орбиты 6 и 16

Стабилизатор Вт₂₂ блокировать

• А₇, порядок 2520, орбиты 7 и 15

Имеется 2 набора простых подгрупп порядка 168 по 15 в каждом. Подгруппы одного типа имеют орбиты 1, 7 и 14; остальные имеют орбиты 7, 8 и 7.

• А₇, орбиты 7 и 15

Сопряжение с предыдущим типом в M₂₂:2.

• 2⁴: S₅, порядок 1920, орбиты 2 и 20 (5 блоков по 4)

2-х точечный стабилизатор в группе секстета

• 2³: PSL (3,2), порядок 1344, орбиты 8 и 14
• M₁₀, порядок 720, орбиты 10 и 12 (2 блока по 6)

Одноточечный стабилизатор M₁₁ (точка на орбите 11)

Неразделенный расширение группы формы A₆.2

• PSL (2,11), порядок 660, орбиты 11 и 11

Еще один одноточечный стабилизатор М₁₁ (точка на орбите 12)

Классы сопряженности

Существует 12 классов сопряженности, хотя два класса элементов порядка 11 сливаются под действием внешнего автоморфизма.

Заказ	Кол-во элементов	Структура цикла
1 = 1	1	1^22
2 = 2	1155 = 3 · 5 · 7 · 11	1^62^8
3 = 3	12320 = 2^5 · 5 · 7 · 11	1^43^6
4 = 2^2	13860 = 2^2 · 3^2 · 5 · 7 · 11	1^22^24^4
	27720 = 2^3 · 3^2 · 5 · 7 · 11	1^22^24^4
5 = 5	88704 = 2^7 · 3^2 · 7 · 11	1^25^4
6 = 2 · 3	36960 = 2^5 · 3 · 5 · 7 · 11	2^23^26^2
7 = 7	63360= 2^7 · 3^2 · 5 · 11	1 7^3	Эквивалент мощности
	63360= 2^7 · 3^2 · 5 · 11	1 7^3
8 = 2^3	55440 = 2^4 · 3^2 · 5 · 7 · 11	2·4·8^2
11 = 11	40320 = 2^7 · 3^2 · 5 · 7	11^2	Эквивалент мощности
	40320 = 2^7 · 3^2 · 5 · 7	11^2

Смотрите также

• M₂₂ график

Рекомендации

• Адем, Алехандро; Милгрэм, Р. Джеймс (1995), "Когомологии группы Матье M₂₂", Топология. Международный математический журнал, 34 (2): 389–410, Дои:10.1016 / 0040-9383 (94) 00029-К, ISSN  0040-9383, МИСТЕР  1318884
• Burgoyne, N .; Фонг, Пол (1966), «Множители Шура групп Матье», Нагойский математический журнал, 27 (2): 733–745, Дои:10.1017 / S0027763000026519, ISSN  0027-7630, МИСТЕР  0197542
• Burgoyne, N .; Фонг, Пол (1968), "Поправка к:" Множители Шура групп Матье."", Нагойский математический журнал, 31: 297–304, Дои:10.1017 / S0027763000012782, ISSN  0027-7630, МИСТЕР  0219626
• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-65378-7
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-60300-1, МИСТЕР  0075938
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» в Powell, M. B .; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы, Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, МИСТЕР  0338152 Перепечатано в Конвей и Слоан (1999), 267–298)
• Конвей, Джон Хортон; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Curtis, R.T .; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, МИСТЕР  0827219
• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, МИСТЕР  0920369
• Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
• Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок, Тексты для выпускников по математике, 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN  978-0-387-94599-6, МИСТЕР  1409812
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, МИСТЕР  1707296
• Харада, Коитиро; Соломон, Рональд (2008), «Конечные группы, имеющие стандартную компоненту L типа M₁₂ или M₂₂», Журнал алгебры, 319 (2): 621–628, Дои:10.1016 / j.jalgebra.2006.09.034, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  2381799
• Янко, З. (1976). "Новая конечная простая группа порядка 86,775,570,046,077,562,880, которая обладает M₂₄ и полная накрывающая группа M₂₂ как подгруппы ". J. Алгебра. 42: 564–596. Дои:10.1016/0021-8693(76)90115-0. (Название статьи неверно, так как полная накрывающая группа M₂₂ позже было обнаружено, что он больше: центр порядка 12, а не 6.)
• Матье, Эмиль (1861), "Mémoire sur l'etude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменные", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
• Матье, Эмиль (1873 г.), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 Quantités", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), 18: 25–46, JFM  05.0088.01^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Мазе, Пьер (1979), "Sur le multiplicateur de Schur du groupe de Mathieu M₂₂", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 289 (14): A659 – A661, ISSN  0151-0509, МИСТЕР  0560327
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок до сферических упаковок и простых групп, Математические монографии Каруса, 21, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-023-7, МИСТЕР  0749038
• Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, Дои:10.1007 / BF02948948, ISSN  0025-5858
• Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, Дои:10.1007 / BF02948947

внешняя ссылка

• MathWorld: Группы Матье
• Атлас представлений конечных групп: M₂₂