Матье группа М23 - Mathieu group M23

Для общего фона и истории спорадических групп Матье см. Группа Матье.

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Матье M₂₃ это спорадическая простая группа из порядок

   2⁷ · 3² · 5 · 7 · 11 · 23 = 10200960

≈ 1×10⁷.

История и свойства

M₂₃ является одной из 26 спорадических групп и была введена Матье  (1861, 1873 ). Это 4-кратный переходный группа перестановок на 23 объектах. В Множитель Шура и группа внешних автоморфизмов оба банальный.

Милгрэм (2000) вычислили интегральные когомологии и, в частности, показали, что M₂₃ обладает необычным свойством: все первые четыре группы целочисленных гомологий обращаются в нуль.

В обратная задача Галуа кажется нерешенным для M₂₃. Другими словами, кажется, что ни один многочлен от Z [x] не имеет M₂₃ как его группа Галуа. Обратная задача Галуа решена для всех остальных спорадических простых групп.

Построение с использованием конечных полей

Позволять F_2¹¹ - конечное поле с 2¹¹ элементы. В своей группе подразделений порядок 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 · 89, поэтому в нем есть циклическая подгруппа C порядка 23.

Группа Матье M₂₃ можно отождествить с группой F₂-линейные автоморфизмы F_2¹¹ что стабилизирует C. Точнее, действие этой группы автоморфизмов на C можно отождествить с 4-кратным транзитивным действием M₂₃ на 23 объектах.

Представления

M₂₃ точечный стабилизатор действия Матье группа М24 на 24 точках, давая ему 4-транзитивное перестановочное представление на 23 точках со стабилизатором точки Группа Матье М22.

M₂₃ имеет 2 разных действия 3-го ранга на 253 балла. Один - действие на неупорядоченные пары с размерами орбит 1 + 42 + 210 и точечный стабилизатор M₂₁.2, а другой - действие на гептады с размерами орбит 1 + 112 + 140 и точечным стабилизатором 2.⁴.A₇.

Интегральное представление, соответствующее действию перестановки на 23 точках, распадается на тривиальное представление и 22-мерное представление. 22-мерное представление неприводимо над любым полем характеристики, отличной от 2 или 23.

Над полем порядка 2 оно имеет 2 11-мерных представления, ограничения соответствующих представлений Матье группа М24.

Максимальные подгруппы

Всего существует 7 классов сопряженности максимальных подгрупп группы M₂₃ следующее:

• M₂₂, заказ 443520
• PSL (3,4): 2, порядок 40320, орбиты 21 и 2
• 2⁴: А₇, порядок 40320, орбиты 7 и 16

Стабилизатор Вт₂₃ блокировать

• А₈, порядок 20160, орбиты 8 и 15
• M₁₁, порядок 7920, орбиты 11 и 12
• (2⁴: А₅): S₃ или M₂₀: S₃, порядок 5760, орбиты 3 и 20 (5 блоков по 4)

Одноточечный стабилизатор группы секстета

• 23:11, порядок 253, просто переходный

Классы сопряженности

Заказ	Кол-во элементов	Структура цикла
1 = 1	1	1^23
2 = 2	3795 = 3 · 5 · 11 · 23	1^72^8
3 = 3	56672 = 2^5 · 7 · 11 · 23	1^53^6
4 = 2^2	318780 = 2^2 · 3^2 · 5 · 7 · 11 · 23	1^32^24^4
5 = 5	680064 = 2^7 · 3 · 7 · 11 · 23	1^35^4
6 = 2 · 3	850080 = 2^5 · 3 · 5 · 7 · 11 · 23	1·2^23^26^2
7 = 7	728640 = 2^6 · 3^2 · 5 · 11 · 23	1^27^3	эквивалент мощности
	728640 = 2^6 · 3^2 · 5 · 11 · 23	1^27^3
8 = 2^3	1275120 = 2^4 · 3^2 · 5 · 7 · 11 · 23	1·2·4·8^2
11 = 11	927360= 2^7 · 3^2 · 5 · 7 · 23	1·11^2	эквивалент мощности
	927360= 2^7 · 3^2 · 5 · 7 · 23	1·11^2
14 = 2 · 7	728640= 2^6 · 3^2 · 5 · 11 · 23	2·7·14	эквивалент мощности
	728640= 2^6 · 3^2 · 5 · 11 · 23	2·7·14
15 = 3 · 5	680064= 2^7 · 3 · 7 · 11 · 23	3·5·15	эквивалент мощности
	680064= 2^7 · 3 · 7 · 11 · 23	3·5·15
23 = 23	443520= 2^7 · 3^2 · 5 · 7 · 11	23	эквивалент мощности
	443520= 2^7 · 3^2 · 5 · 7 · 11	23

Рекомендации

• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-65378-7
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-60300-1, МИСТЕР  0075938
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» в Powell, M. B .; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы, Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, МИСТЕР  0338152 Перепечатано в Конвей и Слоан (1999), 267–298)
• Конвей, Джон Хортон; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Curtis, R.T .; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, МИСТЕР  0827219
• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, МИСТЕР  0920369
• Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
• Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок, Тексты для выпускников по математике, 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN  978-0-387-94599-6, МИСТЕР  1409812
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, МИСТЕР  1707296
• Матье, Эмиль (1861), "Mémoire sur l'etude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменные", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
• Матье, Эмиль (1873 г.), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 Quantités", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), 18: 25–46, JFM  05.0088.01^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Милграм, Р. Джеймс (2000), "Когомологии группы Матьё M₂₃", Журнал теории групп, 3 (1): 7–26, Дои:10.1515 / jgth.2000.008, ISSN  1433-5883, МИСТЕР  1736514
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок до сферических упаковок и простых групп, Математические монографии Каруса, 21, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-023-7, МИСТЕР  0749038
• Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, Дои:10.1007 / BF02948948, ISSN  0025-5858
• Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, Дои:10.1007 / BF02948947

внешняя ссылка

• MathWorld: Группы Матье
• Атлас представлений конечных групп: M₂₃