Группа Хигмана – Симса - Higman–Sims group

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группа Хигмана – Симса HS - это спорадическая простая группа из порядок

   2⁹⋅3²⋅5³⋅7⋅11 = 44352000

≈ 4×10⁷.

В Множитель Шура имеет порядок 2, группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2, а группа 2.HS.2 выступает централизатором инволюции в Группа Харада – Нортон.

История

HS является одной из 26 спорадических групп и была обнаружена Дональд Г. Хигман и Чарльз С. Симс  (1968 ). Они присутствовали на презентации Маршалл Холл на Холл – Янко группа J₂. Бывает, что J₂ действует как группа перестановок на График Холла – Янко 100 баллов, стабилизатор одного балла подгруппа с двумя другими орбиты длины 36 и 63. Вдохновленные этим, они решили проверить другие группы перестановок ранга 3 на 100 точках. Вскоре они сосредоточились на возможном, содержащем Группа Матье M₂₂, который имеет перестановочные представления на 22 и 77 баллов. (Последнее представление возникает из-за того, что M₂₂ Система Штейнера имеет 77 блоков.) Объединив эти два представления, они нашли HS с одноточечным стабилизатором, изоморфным M₂₂.

HS - простая подгруппа группы показатель два в группе автоморфизмов График Хигмана – Симса. Граф Хигмана – Симса имеет 100 узлов, поэтому группа Хигмана – Симса HS является транзитивной группа перестановок набора из 100 элементов.

Грэм Хигман  (1969 ) независимо открыл группу как дважды транзитивная группа подстановок действуя по определенной «геометрии» по 176 точкам.

строительство

Код GAP Создание группы Higman-Sims представлено в качестве примера в самой документации GAP.^[1]

Группу Хигмана-Симса можно построить с помощью следующих двух генераторы:^[1]

${\displaystyle (1,50,65)(2,89,62,52,88,25)(3,46,57,18,74,55)(4,45,10,70,56,39)(5,97,77)(6,84,8,48,99,67)(7,26,92,28,20,100)(9,30,79,66,49,95)(11,72)(12,94,98,27,83,93)(13,31,61,59,40,47)(14,51,68,44,16,34)(15,38)(17,82,87)(19,76,73,71,63,32)(21,37,58,69,75,35)(22,53,81)(23,33,54)(24,43,80,78,29,86)(42,64)(60,90,96)(85,91)}$

и

${\displaystyle (1,65,44,13,34,57)(2,10,39,54,42,84)(3,15,69,63,37,11)(5,21,79)(6,89,49,64,46,80)(7,70,93,29,8,38)(9,81,17,23,77,59)(12,68,66,75,96,82)(14,18,95,43,76,32)(16,33,99,26,92,48)(19,50)(20,97,83)(22,88,85,53,24,56)(25,62,67)(27,98)(28,55)(30,58,71,86,94,90)(31,87,52,78,100,60)(35,61,51)(36,73,72)(40,74)(41,45,47)}$

Отношение к группам Конвея

Конвей (1968) идентифицировал группу Хигмана – Симса как подгруппу Конвей группа Co₀. В Ко₀ HS возникает как точечный стабилизатор 2-3-3 треугольник, чьи ребра (разности вершин) являются векторами типа 2 и 3. Таким образом, HS является подгруппой каждой из групп Конвея Co₀, Co₂ и Ко₃.

Уилсон (2009) (стр. 208) показывает, что группа HS определена правильно. в Решетка пиявки, предположим тип 3 точка v фиксируется экземпляром Co₃. Подсчитайте тип 2 балла ш так что внутренний продукт v·ш = 2 (и, следовательно, v-ш это тип 3). Он показывает, что их количество 11,178 = 2⋅3⁵⋅23 и что этот Co₃ транзитивен на этих ш.

| HS | = | Co₃|/11,178 = 44,352,000.

По факту, |HS| = 100|M₂₂| и есть экземпляры HS, включающие представление матрицы перестановок группы Матье M₂₂.

Если экземпляр HS в Co₀ фиксирует конкретную точку типа 3, эта точка находится в 276 треугольниках типа 2-2-3, которые эта копия HS переставляет на орбитах 176 и 100. Этот факт приводит к конструкции Грэма Хигмана, а также к конструкции Хигмана – Симса график. HS это дважды транзитивный на 176 и 3 место на 100.

Треугольник 2-3-3 определяет двумерное подпространство, поточечно зафиксированное HS. Таким образом, стандартное представление HS можно свести к 22-мерному.

График Хигмана-Симса

Уилсон (2009) (стр. 210) приводится пример графа Хигмана-Симса внутри Решетка пиявки, переставляемый представлением M₂₂ по последним 22 координатам:

• 22 точки формы (1, 1, −3, 1²¹)
• 77 точек формы (2, 2, 2⁶, 0¹⁶)
• 100 балл (4, 4, 0²²)

Отличия соседних точек 3-го типа; несмежные - типа 2.

Здесь HS фиксирует 2-3-3 треугольник с вершинами Икс = (5, 1²³), у = (1, 5, 1²²), и z Происхождение. Икс и у относятся к типу 3, а Икс-у = (4, −4, 0²²) имеет тип 2. Любая вершина графа отличается от Икс, у, и z векторами типа 2.

Два класса инволюций

Инволюция в подгруппе M₂₂ переносит 8 пар координат. Как матрица перестановок в Co₀ у него есть трасса 8. Можно показать, что он перемещает 80 из 100 вершин графа Хигмана-Симса. Никакая транспонированная пара вершин не является край в графике.

Есть еще один класс инволюций трассы 0, которые перемещают все 100 вершин.^[2] Как перестановки в знакопеременной группе A₁₀₀, будучи произведением нечетного числа (25) двойных транспозиций, эти инволюции поднимаются до элементов порядка 4 в двойная крышка 2.А₁₀₀. Таким образом, HS имеет двойную крышку. 2.HS.

Максимальные подгруппы

Магливерас (1971) нашел 12 классов сопряженности максимальных подгрупп HS следующим образом:

Подгруппа	порядок	Индекс	Орбиты на графе Хигмана-Симса
M22	443520	100	1, 22, 77	одноточечный стабилизатор на графике Хигмана-Симса
U3(5):2	252000	176	запретительный на пару Графики Хоффмана-Синглтона по 50 вершин каждая	одноточечный стабилизатор в дважды транзитивный представительство степени 176
U3(5):2	252000	176	как тип выше	плавлен в HS: 2 к классу выше
PSL (3,4) .2	40320	1100	2, 42, 56	стабилизатор края
S8	40320	1100	30, 70
2^4.S6	11520	3850	2, 6, 32, 60	стабилизатор некромочного
4^3: PSL (3,2)	10752	4125	8, 28, 64
M11	7920	5600	12, 22, 66	классы, объединенные в HS: 2
M11	7920	5600	12, 22, 66
4.2^4.S5	7680	5775	20, 80	централизатор инволюционного класса 2A, перемещающий 80 вершин графа Хигмена – Симса
2 × А6.2^2	2880	15400	40, 60	централизатор инволюционного класса 2B, перемещающий все 100 вершин
5: 4 × А5	1200	36960	импримитив на 5 блоков по 20	нормализатор 5-подгруппы, порожденный элементом класса 5B

Классы сопряженности

Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении HS. ^[3] Перечислены 2 представления перестановок: на 100 вершинах графа Хигмана – Симса и на 176 точках геометрии Грэма Хигмана.^[4]

Учебный класс	Заказ централизатора	Кол-во элементов	След	На 100	На 176
1А	44,352,000	1 = 1	24
2А	7,680	5775 = 3 · 5^2 · 7 · 11	8	1^20,2^40	1^16,2^80
2B	2,880	15400 = 2^3 · 5^2 · 5 · 7 · 11	0	2^50	1^12, 2^82
3А	360	123200 = 2^6 · 5^2 · 7 · 11	6	1^10,3^30	1^5,3^57
4А	3,840	11550 = 2 · 3 · 5^2 · 7 · 11	-4	2^104^20	1^16,4^40
4B	256	173250 = 2 · 3^2 · 5^3 · 7 · 11	4	1^8,2^6,4^20	2^8,4^40
4C	64	693000 = 2^3 · 3^2 · 5^3 · 7 · 11	4	1^4,2^8,4^20	1^4,2^6,4^40
5А	500	88704 = 2^7 · 3^2 · 7 · 11	-1	5^20	1,5^35
5B	300	147840 = 2^7 · 3 · 5 · 7 · 11	4	5^20	1^6,5^34
5C	25	1774080 = 2^9 · 3^2 · 5 · 7	4	1^5,5^19	1,5^35
6А	36	1232000 = 2^7 · 5^3 · 7 · 11	0	2^5,6^15	1^3,2,3^3,6^27
6B	24	1848000 = 2^6 · 3 · 5^3 · 7 · 11	2	1^2,2^4,3^6,6^12	1, 2^2,3^5,6^26
7А	7	6336000 = 2^9 · 3^2 · 5^3 · 11	3	1^2,7^14	1,7^25
8А	16	2772000 = 2^5 · 3^2 · 5^3 · 7 · 11	2	1^2,2^3,4^3,8^10	4^4, 8^20
8B	16	2772000 = 2^5 · 3^2 · 5^3 · 7 · 11	2	2^2,4^4,8^10	1^2,2,4^3,8^20
8C	16	2772000 = 2^5 · 3^2 · 5^3 · 7 · 11	2	2^2,4^4,8^10	1^2 2, 4^3, 8^20
10А	20	2217600 = 2^7 · 3^2 · 5^2 · 7 · 11	3	5^4,10^8	1,5^3,10^16
10B	20	2217600 = 2^7 · 3^2 · 5^2 · 7 · 11	0	10^10	1^2,2^2,5^2,10^16
11А	11	4032000 = 2^9 · 3^2 · 5^3 · 7	2	1^111^9	11^16	Эквивалент мощности
11B	11	4032000 = 2^9 · 3^2 · 5^3 · 7	2	1^111^9	11^16
12А	12	3696000 = 2^7 · 3 · 5^3 · 7 · 11	2	2^1,4^2,6^3,12^6	1,3^5,4,12^13
15А	15	2956800 = 2^9 · 3 · 5^2 · 7 · 11	1	5^2,15^6	3^2,5,15^11
20А	20	2217600 = 2^7 · 3^2 · 5^2 · 7 · 11	1	10^2,20^4	1,5^3,20^8	Эквивалент мощности
20B	20	2217600 = 2^7 · 3^2 · 5^2 · 7 · 11	1	10^2,20^4	1,5^3,20^8

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 г. предположили, что чудовищный самогон не ограничивается группа монстров, но подобные явления можно найти и для других групп. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для HS серия Маккея-Томпсона ${\displaystyle T_{10A}(\tau )}$ где можно установить а (0) = 4 (OEIS: A058097),

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{10A}(\tau )&=T_{10A}(\tau )+4\\&={\Big (}{\big (}{\tfrac {\eta (\tau )\,\eta (5\tau )}{\eta (2\tau )\,\eta (10\tau )}}{\big )}^{2}+2^{2}{\big (}{\tfrac {\eta (2\tau )\,\eta (10\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (5\tau )}}{\big )}^{2}{\Big )}^{2}\\&={\Big (}{\big (}{\tfrac {\eta (\tau )\,\eta (2\tau )}{\eta (5\tau )\,\eta (10\tau )}}{\big )}+5{\big (}{\tfrac {\eta (5\tau )\,\eta (10\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (2\tau )}}{\big )}{\Big )}^{2}-4\\&={\frac {1}{q}}+4+22q+56q^{2}+177q^{3}+352q^{4}+870q^{5}+1584q^{6}+\dots \end{aligned}}}$

Рекомендации

1. https://www.gap-system.org/Doc/Examples/co3.html
2. Уилсон (2009), стр. 213
3. Conway et al. (1985)
4. http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/spor/HS/#reps

• Конвей, Джон Хортон (1968), «Совершенная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 61 (2): 398–400, Дои:10.1073 / пнас.61.2.398, ISSN  0027-8424, Г-Н  0237634, ЧВК  225171, PMID  16591697
• Дж. С. Фрейм (1972) «Вычисления характеров группы Хигмана-Симса и ее группы автоморфизмов» Journal of Algebra, 20, 320-349
• Конвей, Джон Хортон; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Curtis, R.T .; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, Г-Н  0827219
• Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок, Тексты для выпускников по математике, 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN  978-0-387-94599-6, Г-Н  1409812
• Галлиан, Джозеф (1976), «Поиск конечных простых групп», Математический журнал, 49 (4): 163–180, Дои:10.2307/2690115, ISSN  0025-570X, JSTOR  2690115, Г-Н  0414688
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, Г-Н  1707296
• Хигман, Дональд Г.; Симс, Чарльз К. (1968), «Простая группа порядка 44 352 000» (PDF), Mathematische Zeitschrift, 105 (2): 110–113, Дои:10.1007 / BF01110435, ISSN  0025-5874, Г-Н  0227269
• Хигман, Грэм (1969), «О простой группе Д. Г. Хигмана и К. К. Симса», Иллинойсский журнал математики, 13: 74–80, Дои:10.1215 / ijm / 1256053736, ISSN  0019-2082, Г-Н  0240193
• Магливерас, Спирос С. (1971), "Подгрупповая структура простой группы Хигмана – Симса", Бюллетень Американского математического общества, 77 (4): 535–539, Дои:10.1090 / S0002-9904-1971-12743-X, ISSN  0002-9904, Г-Н  0283077
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы., Тексты для выпускников по математике 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN  978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012

внешняя ссылка

• MathWorld: Хигман – Симс
• Атлас представлений конечных групп: группа Хигмана – Симса