Мнемоника в тригонометрии - Mnemonics in trigonometry

В тригонометрия, обычно используют мнемоника чтобы помочь вспомнить тригонометрические тождества и отношения между различными тригонометрические функции.

SOH-CAH-TOA

Мнемоника изображения, помогающая запомнить соотношение сторон прямоугольного треугольника

В синус, косинус, и касательная соотношения в прямоугольном треугольнике можно запомнить, представив их в виде цепочек букв, например SOH-CAH-TOA на английском языке:

Sine = Оpposite ÷ ЧАСипотенуза

Cосин = Аdjacent ÷ ЧАСипотенуза

Тangent = Оpposite ÷ Аdjacent

Один из способов запомнить буквы - это произнести их фонетически (т.е. /ˌsoʊkəˈтoʊ.ə/ SOH-kə-TOH-ə ).

Другой метод - преобразовать буквы в предложение, например: «Некоторые старые лошади счастливо жуют яблоки в старости», «Какой-то старый хиппи поймал еще одного хиппи, который спотыкался о кислоте» или «Изучение домашней работы всегда может помочь достичь успеха». Порядок может быть изменен, как в «Томми на своем корабле поймал селедку» (касательная, синус, косинус) или «Полковник старой армии и его сын часто икоты» (касательная, косинус, синус).^[1][2] Сообщества в китайских кругах могут запомнить его как TOA-CAH-SOH, что также означает «широконогая женщина» (Китайский : 大腳 嫂; Peh-e-jī : ta-kha-só) в Хоккиен.

Альтернативный способ запомнить буквы для Sin, Cos и Tan - это запомнить бессмысленные слоги Oh, Ah, Oh-Ah (т.е. /oʊəˈoʊ.ə/) для O / H, A / H, O / A. Или, чтобы запомнить все шесть функций: Sin, Cos, Tan, Cot, Sec и Csc, запомните слоги O / H, A / H, Oh / Ah, Ah / Oh, H / A, H / O (т.е. /oʊəˈoʊ.əəˈoʊчасəˈчасoʊ/). Более длинные мненмоники для этих писем включают «Оскар держит Энджи» и «У Оскара была куча яблок».^[1]

Все студенты сдают расчет

Знаки тригонометрических функций в каждом квадранте.

Все Sученики Твозьми Calculus - это мнемонический для знака каждого тригонометрические функции в каждом квадрант самолета. Буквы ASTC обозначают, какая из тригонометрических функций положительна, начиная с правого верхнего 1-го квадранта и двигаясь вперед. против часовой стрелки через квадранты 2-4.

• Квадрант I (углы от 0 до 90 градусов или от 0 до π / 2 радиан): Все тригонометрические функции положительны в этом квадранте.
• Квадрант II (углы от 90 до 180 градусов или от π / 2 до π радиан): SВ этом квадранте функции прямой и косеканс положительны.
• Квадрант III (углы от 180 до 270 градусов или от π до 3π / 2 радиан): Тфункции углов и котангенса положительны в этом квадранте.
• Квадрант IV (углы от 270 до 360 градусов, или от 3π / 2 до 2π радиан): Cфункции осина и секанса положительны в этом квадранте.

Другая мнемоника включает:

• Все Sтации То CEntral^[3]
• Все Sглупый Том Cатс^[3]
• Адд Sугар То Cштраф^[3]
• Все Sнаука Тeachers (есть) Cбезумный^[4]
• А Sмагазин Тбуровая установка Cдевушка^[5]

Другая легко запоминающаяся мнемоника - это АКТЫ и В РОЛЯХ законы. У них есть недостатки, заключающиеся в том, что они не переходят последовательно от квадрантов 1 к 4 и не усиливают соглашение о нумерации квадрантов.

• В РОЛЯХ по-прежнему идет против часовой стрелки, но начинается с квадранта 4, проходя через квадранты 4, 1, 2, затем 3.
• АКТЫ по-прежнему начинается в квадранте 1, но идет по часовой стрелке через квадранты 1, 4, 3, затем 2.

Синусы и косинусы особых углов

Синусы и косинусы общих углов 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 ° следуют шаблону ${\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{2}}}$ с п = 0, 1, ..., 4 для синуса и п = 4, 3, ..., 0 для косинуса соответственно:^[6]

${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \tan \theta =\sin \theta {\Big /}\cos \theta }$
0 ° = 0 радиан	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {blue}{0}} }}{2}}=\;\;0}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {red}{4}} }}{2}}=\;\;1}$	${\displaystyle \;\;0\;\;{\Big /}\;\;1\;\;=\;\;0}$
30° = π/6 радианы	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {teal}{1}} }}{2}}=\;\,{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {orange}{3}} }}{2}}}$	${\displaystyle \;\,{\frac {1}{2}}\;{\Big /}{\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$
45° = π/4 радианы	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {green}{2}} }}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {green}{2}} }}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big /}{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\;\;1}$
60° = π/3 радианы	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {orange}{3}} }}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {teal}{1}} }}{2}}=\;{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}{\Big /}\;{\frac {1}{2}}\;\,={\sqrt {3}}}$
90° = π/2 радианы	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {red}{4}} }}{2}}=\;\,1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathbf {\color {blue}{0}} }}{2}}=\;\,0}$	${\displaystyle \;\;1\;\;{\Big /}\;\;0\;\;=}$ неопределенный

Шестиугольная диаграмма

Мнемоника тригонометрических тождеств

Другая мнемоника позволяет быстро считывать все основные идентификаторы. Хотя словесная часть мнемоники, используемой для построения диаграммы, в английском языке отсутствует.^{[требуется разъяснение ]}, саму диаграмму довольно легко восстановить, немного подумав. Функции без "co" отображаются слева, ко-функции справа, 1 идет посередине, треугольники указывают вниз, и весь рисунок выглядит как убежище от радиоактивных осадков трилистник.^[7]

Начиная с любого угла шестиугольника:

• Стартовый угол равен единице над противоположным углом.
• Если двигаться по часовой стрелке или против часовой стрелки, начальный угол равен следующему углу, разделенному на угол, следующий за ним.
• Начальный угол равен произведению двух ближайших соседей.
• Сумма квадратов каждого элемента вверху треугольника равна квадрату элемента внизу. Эти тригонометрические пифагорейские тождества:

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }$

${\displaystyle 1+\cot ^{2}A=\csc ^{2}A\ }$

${\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }$

Помимо последнего маркера, в этой таблице приведены конкретные значения для каждого идентификатора:

Функция запуска	... равно единице по сравнению с противоположной	... равняется первому над вторым по часовой стрелке	... равняется первому по второму, если идти против часовой стрелки	... равняется произведению двух ближайших соседей
${\displaystyle \tan A}$	${\displaystyle ={1/\cot A}}$	${\displaystyle ={\sin A/\cos A}}$	${\displaystyle ={\sec A/\csc A}}$	${\displaystyle =\sin A\cdot \sec A}$
${\displaystyle \sin A}$	${\displaystyle ={1/\csc A}}$	${\displaystyle ={\cos A/\cot A}}$	${\displaystyle ={\tan A/\sec A}}$	${\displaystyle =\cos A\cdot \tan A}$
${\displaystyle \cos A}$	${\displaystyle ={1/\sec A}}$	${\displaystyle ={\cot A/\csc A}}$	${\displaystyle ={\sin A/\tan A}}$	${\displaystyle =\sin A\cdot \cot A}$
${\displaystyle \cot A}$	${\displaystyle ={1/\tan A}}$	${\displaystyle ={\csc A/\sec A}}$	${\displaystyle ={\cos A/\sin A}}$	${\displaystyle =\cos A\cdot \csc A}$
${\displaystyle \csc A}$	${\displaystyle ={1/\sin A}}$	${\displaystyle ={\sec A/\tan A}}$	${\displaystyle ={\cot A/\cos A}}$	${\displaystyle =\cot A\cdot \sec A}$
${\displaystyle \sec A}$	${\displaystyle ={1/\cos A}}$	${\displaystyle ={\tan A/\sin A}}$	${\displaystyle ={\csc A/\cot A}}$	${\displaystyle =\csc A\cdot \tan A}$

Смотрите также

• Список тригонометрических тождеств

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. "СОХЧАХТОА". MathWorld.
2. Фостер, Джонатан К. (2008). Память: очень краткое введение. Оксфорд. п. 128. ISBN  0-19-280675-0.
3. «Синус, косинус и тангенс в четырех квадрантах». Архивировано из оригинал на 2015-01-18. Получено 2015-01-18.
4. Хэн, Ченг и Тальберт, «Дополнительная математика», стр. 228
5. «Математическая мнемоника и песни для тригонометрии». Получено 2019-10-17.
6. Рон Ларсон, Предварительное вычисление с ограничениями: графический подход, Техасское издание
7. "Магический шестиугольник для триггерных идентичностей". Математика - это весело.