Логарифмическая линейка - Slide rule

Для использования в других целях см. Слайд-линейка (значения).
Типичная 10-дюймовая студенческая логарифмическая линейка (симплексный триггер Pickett N902-T)

В логарифмическая линейка, также известный в Соединенных Штатах как скользящая палка,[1][2] механический аналоговый компьютер.[3][4][5][6][7] Как графические аналоговые калькуляторы, правила слайдов тесно связаны с номограммы, но первые используются для общих вычислений, а вторые - для вычислений для конкретных приложений.

Логическая линейка используется в основном для умножение и разделение, а также для таких функций, как экспоненты, корни, логарифмы, и тригонометрия, но обычно не для сложения или вычитания. Хотя линейка похожа по названию и внешнему виду на стандартную линейку, она не предназначена для измерения длины или рисования прямых линий.

Правила слайдов существуют в различных стилях и обычно имеют линейную или круговую форму со стандартизированным набором закончил отметки (шкалы), необходимые для выполнения математических вычислений. Скользящие правила, разработанные для специализированных областей, таких как авиация или финансы, обычно имеют дополнительные шкалы, которые помогают в расчетах, характерных для этих областей.

В простейшем случае каждое умножаемое число представлено длиной на скользящей линейке. Поскольку каждая линейка имеет логарифмическую шкалу, их можно выровнять, чтобы считать сумму логарифмов и, следовательно, вычислить произведение двух чисел.

Преподобный Уильям Отред и другие разработали логарифмическую линейку в 17 веке на основе новых работ по логарифмы к Джон Напье. До появления электронный калькулятор, это был наиболее часто используемый расчетный инструмент в науке и инженерное дело.[8] Использование логарифмических линейок продолжало расти в течение 1950-х и 1960-х годов, даже когда постепенно вводились компьютеры; но примерно в 1974 году портативный электронный научный калькулятор сделал их в значительной степени устаревшими.[9][10][11][12] и большинство поставщиков ушли из бизнеса.

Базовые концепты

Курсор на линейке

В своей основной форме логарифмическая линейка использует два логарифмические шкалы для быстрого умножения и деления чисел. Эти стандартные операции могут занять много времени и привести к ошибкам, если они выполняются на бумаге. Более сложные правила слайдов позволяют выполнять другие вычисления, например квадратные корни, экспоненты, логарифмы, и тригонометрические функции.

Шкалы могут быть сгруппированы по декадам, которые представляют собой числа от 1 до 10 (т. Е. 10п до 10п + 1). Таким образом, шкалы с одной декадой C и D находятся в диапазоне от 1 до 10 по всей ширине логарифмической линейки, в то время как двойные декады A и B находятся в диапазоне от 1 до 100 по ширине логической линейки.

Как правило, математические вычисления выполняются путем совмещения метки на скользящей центральной полосе с меткой на одной из закрепленных полос и последующего наблюдения за относительным положением других отметок на полосах. Числа, совмещенные с метками, дают приблизительное значение товар, частное, или другой расчетный результат.

Пользователь определяет положение десятичной точки в результате на основе мысленной оценки. Научная нотация используется для отслеживания десятичной точки в более формальных вычислениях. Шаги сложения и вычитания в вычислениях обычно выполняются мысленно или на бумаге, а не на логической линейке.

Большинство правил слайдов состоит из трех частей:

  • Рама или основание, две линейные полосы одинаковой длины, удерживаемые параллельно с зазором между ними.
  • Слайд, центральная полоса, сцепленная с рамой, которая может перемещаться в продольном направлении относительно рамки.
  • Runner или Glass, внешняя скользящая деталь с линией роста волос.

Некоторые правила скольжения («дуплексные» модели) имеют шкалы с обеих сторон линейки и полосы скольжения, другие - с одной стороны внешних полос и обеих сторон полосы скольжения (которую обычно можно вытащить, перевернуть и снова вставить для удобства. ), а другие - только с одной стороны («симплексные» правила). Скольжение курсор с вертикальной линией выравнивания используется для поиска соответствующих точек на шкалах, которые не примыкают друг к другу или, в дуплексных моделях, находятся на другой стороне линейки. Курсор также может записывать промежуточный результат на любой из шкал.

Операция

Эта логарифмическая линейка предназначена для получения нескольких значений: от шкалы C до шкалы D (умножить на 2), от шкалы D до шкалы C (разделить на 2), шкал A и B (умножить и разделить на 4), шкалы A и D. (квадраты и квадратные корни).

Умножение

Логарифм преобразует операции умножения и деления в сложение и вычитание по правилам и .Перемещение верхней шкалы вправо на расстояние , сопоставив начало верхней шкалы с меткой внизу выравнивает каждое число , в позиции на верхней шкале, с числом в позиции по нижней шкале. Потому что , это положение на нижней шкале дает , продукт и . Например, чтобы вычислить 3 × 2, 1 на верхней шкале перемещается на 2 на нижней шкале. Ответ, 6, читается по нижней шкале, а 3 по верхней шкале. Как правило, 1 сверху перемещается к коэффициенту снизу, и ответ считывается снизу, тогда как другой коэффициент находится сверху. Это работает, потому что расстояния от «1» пропорциональны логарифмам отмеченных значений:

Пример 2 правила слайда с label.svg

Операции могут «зашкаливать»; например, диаграмма выше показывает, что линейка не поместила цифру 7 на верхней шкале над любым числом на нижней шкале, поэтому она не дает никакого ответа для 2 × 7. В таких случаях пользователь может сдвинуть верхнюю шкалу влево до тех пор, пока ее правый индекс не выровняется с 2, эффективно разделив на 10 (вычитая полную длину шкалы С), а затем умножив на 7, как на иллюстрации ниже. :

Слайд-правило example3.svg

Здесь пользователь логарифмической линейки должен не забыть отрегулировать десятичную точку соответствующим образом, чтобы исправить окончательный ответ. Мы хотели найти 2 × 7, но вместо этого вычислили (2/10) × 7 = 0,2 × 7 = 1,4. Так что истинный ответ - не 1,4, а 14. Сброс слайда - не единственный способ справиться с умножением, которое приведет к результатам за пределами шкалы, например 2 × 7; некоторые другие методы:

  1. Используйте шкалы двух декад A и B.
  2. Используйте сложенные весы. В этом примере установите левую 1 из C напротив 2 из D. Переместите курсор на 7 на CF и прочтите результат из DF.
  3. Используйте перевернутую шкалу CI. Поместите 7 на шкале CI над 2 на шкале D, а затем прочтите результат по шкале D под 1 на шкале CI. Поскольку 1 встречается в двух местах шкалы CI, одно из них всегда будет на шкале.
  4. Используйте как инвертированную шкалу CI, так и шкалу C. Совместите 2 CI с 1 D и прочтите результат от D ниже 7 на шкале C.
  5. Используя круговую логарифмическую линейку.

Метод 1 прост для понимания, но влечет за собой потерю точности. Преимущество метода 3 состоит в том, что он включает только две шкалы.

Разделение

На рисунке ниже показано вычисление 5,5 / 2. 2 на верхней шкале помещается над 5,5 на нижней шкале. 1 на верхней шкале находится над частным 2,75. Существует более одного метода для выполнения деления, но метод, представленный здесь, имеет то преимущество, что конечный результат не может быть зашкаливающим, потому что у каждого есть выбор использовать 1 на любом конце.

Слайд-правило example4.svg

Прочие операции

В дополнение к логарифмической шкале некоторые линейки имеют другие математические функции закодировано на других вспомогательных шкалах. Самыми популярными являются тригонометрический, обычно синус и касательная, десятичный логарифм (бревно10) (для записи значения по шкале множителя), натуральный логарифм (ln) и экспоненциальный (еИкс) напольные весы. Некоторые правила включают Пифагорейский ("P") шкала для обозначения сторон треугольников и шкала для обозначения кругов. В других есть шкалы для расчета гиперболические функции. В линейных правилах шкалы и их маркировка в высшей степени стандартизированы, причем вариации обычно возникают только в отношении того, какие шкалы включены и в каком порядке:

А, Бдвухдесятичные логарифмические шкалы, две секции, каждая из которых составляет половину длины шкал C и D, используемые для нахождения квадратных корней и квадратов чисел
CDдесятичные логарифмические шкалы, отдельные секции одинаковой длины, используемые вместе для умножения и деления, и обычно одна из них сочетается с другой шкалой для других вычислений
Kтрехдесятичная логарифмическая шкала, три секции, каждая из которых составляет одну треть длины шкал C и D, используемая для нахождения кубических корней и кубов чисел
CF, DF«сложенные» версии гамм C и D, начинающиеся с π а не из единства; это удобно в двух случаях. Сначала, когда пользователь догадывается, что продукт будет близок к 10, но не уверен, будет ли оно немного меньше или немного больше 10, сложенные весы исключают возможность отклонения от шкалы. Во-вторых, если использовать начало π, а не квадратный корень из 10, умножение или деление на π (как это принято в научных и инженерных формулах) упрощается.
CI, DI, CIF, DIF«перевернутые» шкалы, идущие справа налево, используются для упрощения 1 /Икс шаги
Sиспользуется для поиска синусов и косинусов по шкале C (или D)
Т, Т1, Т2используется для поиска тангенсов и котангенсов на шкалах C и CI (или D и DI)
СТ, СТОиспользуется для синусов и тангенсов малых углов и преобразования градус в радиан
Lлинейная шкала, используемая вместе со шкалами C и D для нахождения логарифмов по основанию 10 и степеней 10
LLnнабор логарифмических шкал, используемых для нахождения логарифмов и экспонент чисел
Lnлинейная шкала, используемая вместе со шкалами C и D для нахождения натуральных (основание e) логарифмов и
Шкала линейки front.jpgСлайд линейка масштабируется назад.jpg
Чешуя на передней и задней части Койфель и Эссер (K&E) 4081-3 логарифмическая линейка

Бинарное правило скольжения, созданное Гильсоном в 1931 году, выполняло функцию сложения и вычитания, ограниченную дробями.[13]

Корни и силы

Существуют шкалы с одной декадой (C и D), двойной декадой (A и B) и тройной декадой (K). Вычислить , например, найдите x на шкале D и прочитайте его квадрат на шкале A. Обращение этого процесса позволяет находить квадратные корни, аналогично для степеней 3, 1/3, 2/3 и 3/2. Следует проявлять осторожность, когда основание x находится более чем в одном месте на своей шкале. Например, на шкале A две девятки; чтобы найти квадратный корень из девяти, используйте первый; второй дает квадратный корень из 90.

За проблемы, используйте шкалы LL. При наличии нескольких шкал LL используйте шкалу с Икс в теме. Сначала совместите крайнюю левую 1 на шкале C с x на шкале LL. Затем найдите у по шкале C и опуститесь до шкалы LL с помощью Икс в теме. Эта шкала укажет ответ. Если у "зашкаливает", найдите и возведите его в квадрат, используя шкалы A и B, как описано выше. Как вариант, используйте крайнюю правую единицу шкалы C и прочтите ответ по следующей более высокой шкале LL. Например, если выровнять крайнюю правую 1 на шкале C с 2 на шкале LL2, 3 на шкале C совпадут с 8 на шкале LL3.

Чтобы извлечь кубический корень с помощью логарифмической линейки только со шкалами C / D и A / B, выровняйте 1 на курсоре B с базовым числом на шкале A (как всегда, стараясь различать нижнюю и верхнюю половины шкалы A шкала). Сдвиньте ползунок до тех пор, пока число на шкале D, которое находится напротив 1 на курсоре C, не станет таким же, как число на курсоре B, которое совпадает с числом основания на шкале A. (Примеры: A 8, B 2, C 1, D 2; A 27, B 3, C 1, D 3.)

Корни квадратных уравнений

Квадратные уравнения формы можно решить, сначала приведя уравнение к виду (куда и ), а затем сдвинув индекс C масштабировать до значения на D шкала. Затем курсор перемещается по правилу, пока не будет найдено положение, в котором числа на CI и D весы составляют . Эти два значения являются корнями уравнения.

Тригонометрия

Шкалы S, T и ST используются для триггерных функций и кратных триггерных функций для углов в градусах.

Для углов от 5,7 до 90 градусов синусы находятся путем сравнения шкалы S со шкалой C (или D); хотя во многих правилах закрытого тела шкала S вместо этого относится к шкале A, и все, что следует ниже, необходимо соответствующим образом отрегулировать. Шкала S имеет второй набор углов (иногда другого цвета), которые идут в противоположном направлении и используются для косинусов. Касательные находятся путем сравнения шкалы Т со шкалой С (или D) для углов менее 45 градусов. Для углов больше 45 градусов используется шкала CI. Общие формы, такие как можно прочитать прямо из Икс по шкале S к результату по шкале D, когда индекс шкалы C установлен наk. Для углов ниже 5,7 градусов синусы, касательные и радианы примерно равны и находятся в шкале ST или SRT (синусы, радианы и тангенсы) или просто делятся на 57,3 градуса /радиан. Обратные тригонометрические функции находятся в обратном порядке.

Многие слайд-линейки имеют шкалы S, T и ST, отмеченные градусами и минутами (например, некоторые модели Койффеля и Эссера (например, дуплексные 5-дюймовые модели Doric), правила типа Мангейма поздней модели Teledyne-Post). Так называемые децитриг вместо этого в моделях используются десятичные дроби градусов.

Логарифмы и экспоненты

Логарифмы и экспоненты по основанию 10 находятся с использованием линейной шкалы L. Некоторые правила слайдов имеют шкалу Ln, которая соответствует основанию e. Логарифмы к любому другому основанию можно вычислить, изменив порядок вычисления степеней числа. Например, значения log2 могут быть определены путем совмещения крайнего левого или крайнего правого 1 на шкале C с 2 на шкале LL2, нахождения числа, логарифм которого должен быть вычислен на соответствующей шкале LL, и считывания значения log2 на шкале C. шкала.

Сложение и вычитание

Правила слайдов обычно не используются для сложения и вычитания, но, тем не менее, это можно сделать, используя два разных метода.[14]

Первый метод сложения и вычитания C и D (или любых сопоставимых шкал) требует преобразования задачи в задачу деления. Кроме того, частное двух переменных плюс один, умноженное на делитель, равно их сумме:

Для вычитания частное двух переменных минус один, умноженное на делитель, равно их разности:

Этот метод похож на метод сложения / вычитания, используемый для высокоскоростных электронных схем с логарифмическая система счисления в специализированных компьютерных приложениях, таких как Гравитационная труба (ВИНОГРАД) суперкомпьютер и скрытые марковские модели.

Второй метод использует скользящую линейную шкалу L, доступную на некоторых моделях. Сложение и вычитание выполняются перемещением курсора влево (для вычитания) или вправо (для сложения) с последующим возвратом слайда на 0 для чтения результата.

Обобщения

Квадратичная и обратная шкалы

Используя (почти) любое строго монотонные шкалы, другие расчеты также можно производить одним движением.[15][16] Например, обратные шкалы можно использовать для равенства (расчет параллельные сопротивления, гармоническое среднее и т. д.), а квадратичные шкалы могут использоваться для решения .

Физический дизайн

Стандартные линейные правила

Обучающая логарифмическая линейка длиной 2,1 м по сравнению с моделью нормального размера

Ширина линейки указана исходя из номинальной ширины шкалы. Весы на наиболее распространенных «10-дюймовых» моделях на самом деле составляют 25 см, поскольку они были сделаны по метрическим стандартам, хотя некоторые правила предлагают слегка увеличенные масштабы, чтобы упростить манипуляции, когда результат выходит за пределы. Карманные правила обычно 5 дюймов. Модели шириной в пару метров предназначались для развешивания в учебных классах.[17]

Обычно деления обозначают шкалу с точностью до двух. значимые фигуры, а пользователь оценивает третью цифру. Некоторые линейки высокого класса имеют курсоры-лупы, которые упрощают просмотр маркировки. Такие курсоры могут эффективно удвоить точность показаний, позволяя использовать 10-дюймовую линейку так же, как 20-дюймовую модель.

Были разработаны различные другие удобства. Тригонометрические шкалы иногда имеют двойную маркировку: черный и красный, с дополнительными углами, так называемый «дармштадский» стиль. Дуплексные скользящие линейки часто дублируют некоторые шкалы на обратной стороне. Для большей точности весы часто «разделяют».[требуется дальнейшее объяснение ]

Круговые линейки скольжения

Круглые скользящие линейки бывают двух основных типов: один с двумя курсорами, а другой со свободным блюдом и одним курсором. Версии с двумя курсорами выполняют умножение и деление, удерживая быстрый угол между курсорами, когда они вращаются вокруг шкалы. Версия с однократным курсором работает больше как стандартная логарифмическая линейка за счет соответствующего выравнивания шкал.

Основное преимущество круговой логарифмической линейки состоит в том, что самый широкий размер инструмента был уменьшен примерно в 3 раза (т.е. π ). Например, круг 10 см будет иметь максимальную точность, примерно равную 31,4 см обычной логарифмической линейки. Круговые скользящие линейки также исключают «выходящие за пределы шкалы» вычисления, потому что шкалы предназначены для «обхода»; их никогда не нужно переориентировать, когда результаты близки к 1,0 - правило всегда в масштабе. Однако для нециклических неспиральных шкал, таких как S, T и LL, ширина шкалы сужается, чтобы освободить место для конечных полей.[18]

Круглые скользящие линейки механически более прочные и более плавные, но их точность выравнивания шкалы чувствительна к центрированию центральной оси; смещение на 0,1 мм от центра оси может привести к ошибке центровки 0,2 мм в худшем случае. Однако шарнир предотвращает появление царапин на лице и курсорах. Шкалы максимальной точности размещены на наружных кольцах. Вместо «разделенных» шкал, в высококлассных круговых правилах используются спиральные шкалы для более сложных операций, таких как шкалы журнала регистрации. У одного восьмидюймового кругового линейки премиум-класса была 50-дюймовая спиральная шкала бревна. Примерно в 1970 году недорогая модель от B.C.Boykin (модель 510) имела 20 шкал, в том числе 50-дюймовые шкалы C-D (умножение) и логарифмические шкалы. RotaRule имеет фрикционный тормоз для курсора.

Основными недостатками круговых логарифмических линейок являются сложность размещения фигур вдоль тарелки и ограниченное количество шкал. Еще один недостаток круговых скользящих линейок состоит в том, что менее важные шкалы расположены ближе к центру и имеют меньшую точность. Большинство студентов научились пользоваться линейкой на линейных линейках и не нашли причин для перехода.

Одна логарифмическая линейка, остающаяся в повседневном использовании во всем мире, - это E6B. Это круговая логарифмическая линейка, впервые созданная в 1930-х годах для пилотов самолетов, чтобы помочь с счисление. С помощью шкалы, напечатанной на раме, он также помогает с такими разными задачами, как преобразование значений времени, расстояния, скорости и температуры, ошибок компаса и расчета расхода топлива. Так называемое «молитвенное колесо» до сих пор продается в летных мастерских и по-прежнему широко используется. Пока GPS сократил использование точного счисления для воздушной навигации, и портативные калькуляторы взяли на себя многие из его функций, E6B по-прежнему широко используется в качестве основного или резервного устройства, и большинство летных школ требуют, чтобы их ученики имели определенную степень владения им. использовать.

Пропорциональные колеса - это простые круговые скользящие линейки, используемые в графическом дизайне для расчета соотношение сторон. Выравнивание значений исходного и желаемого размера на внутреннем и внешнем колесах отобразит их соотношение в процентах в небольшом окне. Они не так распространены с момента появления компьютеризированной верстки, но все еще производятся и используются.[нужна цитата ]

В 1952 году швейцарская часовая компания Breitling представила наручные часы для пилотов со встроенной круговой линейкой, специально предназначенные для расчетов полета: Breitling Navitimer. Круговая линейка Navitimer, которую Breitling называет «навигационным компьютером», показала скорость полета, ставка / время набора высоты / спуска, время полета, расстояние и функции расхода топлива, а также километр—морская миля и функции преобразования количества топлива из галлонов в литры.

  • Простая круговая логарифмическая линейка производства Concise Co., Ltd., Токио, Япония, только с перевернутой, квадратной и кубической шкалами. На реверсе - удобный список из 38 метрика /имперский коэффициенты пересчета.

  • Российская круговая логарифмическая линейка, похожая на карманные часы, которая работает как логарифмическая линейка с одним курсором, поскольку две иглы соединены вместе

  • Линейка с двумя шкалами, встроенная в кольцо

  • Круглая логарифмическая линейка Пикетта с двумя курсорами. (Ширина 10,9 см / 4,25 дюйма) Реверс имеет дополнительную шкалу и один курсор.

  • Breitling Навитимер наручные часы с круговой линейкой

  • RotaRule 510 Передний

    Лицевая сторона бойкина RotaRule Model 510

  • RotaRule 510 задняя сторона

    Задняя сторона модели Boykin RotaRule 510

Цилиндрические скользящие линейки

Есть два основных типа цилиндрических скользящих линейок: линейки со спиральной шкалой, такие как Фуллера и линейки. Отис Кинг и Линейка Bygrave, и те, у которых есть решетки, такие как Thacher и некоторые модели Loga. В любом случае преимуществом является гораздо более длинная шкала и, следовательно, потенциально более высокая точность, чем у прямой или круговой линейки.

  • Отис Кинг Модель К

  • Логарифмическая линейка Thacher, около 1890 г.

Материалы

Традиционно правила слайдов изготавливались из твердых пород дерева, таких как красное дерево или самшит, с курсорами из стекла и металла. По крайней мере, один высокоточный инструмент был сделан из стали.

В 1895 году японская фирма Hemmi начала изготавливать логарифмические линейки из бамбука, которые обладали стабильностью размеров, прочностью и естественной самосмазкой. Эти бамбуковые правила скольжения были представлены в Швеции в сентябре 1933 года.[19] и, наверное, чуть раньше в Германии. Весы были сделаны из целлулоид, пластик или окрашенный алюминий. Позже курсоры были акрил или же поликарбонаты скольжение по Тефлон подшипники.

На всех правилах слайдов премиум-класса были выгравированы числа и шкалы, которые затем были заполнены краской или другим предметом. смола. Окрашенные или отпечатанные линейки слайдов считались плохими, потому что маркировка могла стираться. Тем не менее Пикетт, вероятно, самый успешный в Америке[нужна цитата ] Компания по производству слайд-линейки изготовила все напечатанные весы. Премиальные правила слайдов включали в себя умные фиксаторы, чтобы правило не развалилось случайно, и бамперы для защиты весов и курсора от трения о поверхность стола.

История

Уильям Отред (1575–1660), изобретатель логарифмической линейки
1763 Иллюстрация логарифмической линейки

Логарифмическая линейка была изобретена примерно в 1620–1630 годах, вскоре после Джон Напье публикация концепции логарифм. В 1620 г. Эдмунд Гюнтер из Оксфорда разработали вычислительное устройство с единой логарифмической шкалой; с дополнительными измерительными инструментами его можно было использовать для умножения и деления.[20] В c. 1622, г. Уильям Отред Кембриджа объединил два портативных Правила Гюнтера сделать устройство, которое узнаваемо является современной логарифмической линейкой.[21] Отред был вовлечен в яростную полемику по поводу приоритет, со своим однокурсником Ричард Деламен и предыдущие претензии Wingate. Идеи Отреда были обнародованы только в публикациях его ученика Уильяма Форстера в 1632 и 1653 годах.

В 1677 году Генри Коггесхолл создал двухфутовую складную линейку для измерения древесины, названную Логарифмическая линейка Coggeshall, расширяя возможности использования логарифмической линейки за пределы математических исследований.

В 1722 году Уорнер ввел двух- и трехдесятилетнюю шкалу, а в 1755 году Эверард ввел перевернутую шкалу; логарифмическая линейка, содержащая все эти шкалы, обычно известна как «многофазное» правило.

В 1815 г. Питер Марк Роже изобрел логарифм логарифма, который включал шкалу, отображающую логарифм логарифма. Это позволяло пользователю напрямую выполнять вычисления с использованием корней и показателей степени. Это было особенно полезно для дробных степеней.

В 1821 г. Натаниэль Боудич, описанный в Американский практический навигатор «скользящее правило», которое содержало тригонометрические функции шкалы на фиксированной части и строку лог-синусов и лог-значений на ползунке, используемом для решения задач навигации.

В 1845 году Пол Кэмерон из Глазго представил морскую логарифмическую линейку, способную отвечать на вопросы навигации, в том числе прямое восхождение и склонение солнца и главных звезд.[22]

Современная форма

Инженер использует логарифмическую линейку на фоне механического калькулятора, середина 20 века.

Более современная форма логарифмической линейки была создана в 1859 году французским лейтенантом артиллерии. Амеде Мангейм, «которому повезло, что его правление установила фирма с национальной репутацией и приняла его французская артиллерия». Примерно в это же время инженерия стала признанной профессией, что привело к широкому распространению логарифмической линейки в Европе, но не в Соединенных Штатах. Там цилиндрическая линейка Эдвина Тэчера утвердилась после 1881 года. Дуплексная линейка была изобретена Уильямом Коксом в 1891 году и была произведена Койфель и Эссер Ко. Нью-Йорка.[23][24]

Астрономические работы также требовали точных вычислений, и в Германии XIX века в одной обсерватории использовалась стальная линейка длиной около двух метров. К нему был прикреплен микроскоп, обеспечивающий точность до шести десятичных знаков.[нужна цитата ].

В 1920-е годы писатель и инженер Невил Шут Норвегия (он назвал свою автобиографию Логарифмическая линейка ) был Главный калькулятор по дизайну британцев R100 дирижабль для Vickers Ltd. с 1924 года. Для расчета напряжений для каждой поперечной рамы потребовались расчеты с помощью пары калькуляторы (люди), использующие цилиндрические скользящие линейки Фуллера в течение двух или трех месяцев. Одновременное уравнение содержало до семи неизвестных величин, на решение уходило около недели, и его приходилось повторять с другим выбором провисания проволоки, если предположение о том, какой из восьми радиальных проволок провисает, было неверным и один из проводов предполагал слабина не была слабиной. После нескольких месяцев работы, заполнившей около пятидесяти листов с расчетами истина открылась »(и) вызвала удовлетворение, почти равное религиозному опыту.[25]

На протяжении 1950-х и 1960-х годов логарифмическая линейка была символом профессии инженера, так же как стетоскоп - символом профессии врача.[нужна цитата ]

Немецкий ученый-ракетчик Вернер фон Браун купил два Нестлер правила слайдов в 1930-е годы. Десять лет спустя он привез их с собой, когда после Второй мировой войны переехал в США, чтобы работать над американскими космическими проектами. За всю свою жизнь он никогда не использовал другую логарифмическую линейку. Он использовал своих двух птенцов, возглавляя НАСА программа, высадившая человека на Луну в июле 1969 года.[26]

Алюминий Пикетт -брендовые правила слайдов были продолжены Проект Аполлон космические миссии. Модель N600-ES принадлежит Базз Олдрин что летели с ним на Луну на Аполлон-11 был продан на аукционе в 2007 году.[27] Модель N600-ES взята с собой Аполлон-13 в 1970 году принадлежит Национальный музей авиации и космонавтики.[28]

Некоторые студенты-инженеры и инженеры носили десятидюймовые логарифмические линейки в поясных кобурах, что было обычным явлением в университетских городках даже в середине 1970-х годов. До появления карманного цифрового калькулятора студенты также могли придерживаться правила десяти или двадцати дюймов для точной работы дома или в офисе.[29] нося с собой пятидюймовую карманную логарифмическую линейку.

В 2004 году исследователи образования Дэвид Б. Шер и Дин С. Натаро разработали новый тип логарифмической линейки, основанный на протокаферез, алгоритм для быстрого вычисления продуктов, предшествующий логарифму. Однако практический интерес к созданию одного из них помимо первоначального прототипа был невелик.[30]

Специализированные калькуляторы

Правила слайдов часто были в разной степени специализированы для своей области использования, например, акцизных сборов, расчета пробных отпечатков, проектирования, навигации и т. Д., Но некоторые правила слайдов чрезвычайно специализированы для очень узких приложений. Например, в каталоге John Rabone & Sons 1892 г. перечислены «Измерительная лента и датчик для крупного рогатого скота», устройство для оценки веса коровы по ее измерениям.

Для фотографических приложений было много специализированных слайдов; например, актинограф из Хертер и Дриффилд представлял собой прибор из самшита, латуни и картона с двумя слайдами для оценки контакт от времени суток, времени года и широты.

Были изобретены специальные скользящие линейки для различных форм инженерии, бизнеса и банковского дела. У них часто были общие вычисления, прямо выраженные в виде специальных шкал, например, расчеты ссуды, оптимальные объемы закупок или конкретные инженерные уравнения. Например, Fisher Controls Компания распространила индивидуальные логарифмические линейки, адаптированные для решения уравнений, используемых для выбора промышленных клапанов регулирования расхода надлежащего размера.[31]

Правила скольжения пилотного шара использовались метеорологами в метеорологических службах для определения верхних скоростей ветра от восходящего пилотного шара, заполненного водородом или гелием.[32]

Во время Второй мировой войны бомбардиры и штурманы, которым требовались быстрые вычисления, часто использовали специальные правила скольжения. Одно из ведомств ВМС США разработало универсальную логарифмическую линейку «шасси» с алюминиевым корпусом и пластиковым курсором, в которую можно было поместить целлулоидные карты (напечатанные с обеих сторон) для специальных расчетов. Этот процесс был изобретен для расчета дальности полета, расхода топлива и высоты для самолетов, а затем адаптирован для многих других целей.

В E6-B круговая логарифмическая линейка, используемая пилотами и штурманами.

Круговые слайд-правила для оценки дат овуляции и фертильности известны как калькуляторы колес.[33]

  • Авиационный компьютер E6-B

  • John Rabone & Sons 1892 Датчик поголовья крупного рогатого скота

  • Криптографическая логарифмическая линейка, используемая швейцарской армией в период с 1914 по 1940 год.

Отклонить

В ТИ-30 научный калькулятор, введенный менее чем за 25 долларов США в 1976 г.

Важность логарифмической линейки стала уменьшаться по мере того, как электронные компьютеры, новый, но редкий ресурс в 1950-х годах, стали более широко доступными для технических работников в 1960-х годах. (Видеть История вычислительной техники (1960-е годы - настоящее время).)

Еще одним шагом в сторону от логарифмических линейок стало появление относительно недорогих настольных электронных научных калькуляторов. Первый включал Ван Лаборатории LOCI-2,[34][35] введен в 1965 году, в котором для умножения и деления использовались логарифмы; и Hewlett Packard HP 9100A, введен в 1968 году.[36] Оба они были программируемыми и обеспечивали экспоненциальные и логарифмические функции; у HP тригонометрические функции (синус, косинус и тангенс) и гиперболические тригонометрические функции. HP использовала КОРДИК (цифровой компьютер вращения координат) алгоритм,[37] что позволяет вычислять тригонометрические функции, используя только операции сдвига и сложения. Этот метод облегчил разработку научных калькуляторов все меньшего размера.

Как и в случае с вычислениями на мэйнфреймах, доступность этих машин не оказала существенного влияния на повсеместное использование логарифмической линейки до тех пор, пока в середине 1970-х не стали доступны дешевые ручные научные электронные калькуляторы, после чего они быстро пришли в упадок. Packard HP-35 научный калькулятор был первым портативным устройством такого типа, но стоил АМЕРИКАНСКИЙ ДОЛЛАР$ 395 в 1972 г. Это было оправдано для некоторых инженеров, но слишком дорого для большинства студентов. К 1975 г. базовые четырехфункциональные электронные калькуляторы можно было купить менее чем за 50 долларов, а к 1976 г. ТИ-30 научный калькулятор был продан менее чем за 25 долларов (112 долларов с учетом инфляции).

Сравнение с электронными цифровыми калькуляторами

Декабрь 1951 г. реклама IBM 604 Электронный расчетный пуансон явное сравнение электронных компьютеров с расчетами инженеров по логическим правилам

Большинство людей[нужна цитата ] считают правила слайдов сложными для понимания и использования. Даже в период своего расцвета они так и не завоевали популярность у широкой публики.[38] Сложение и вычитание не являются хорошо поддерживаемыми операциями на линейках слайдов, и выполнение вычислений на линейке скольжения обычно происходит медленнее, чем на калькуляторе.[39] Это побудило инженеров использовать математические уравнения, которые отдавали предпочтение операциям, которые легко выполнялись с помощью логарифмической линейки, более точным, но сложным функциям; эти приближения могут привести к неточностям и ошибкам.[40] С другой стороны, пространственное ручное управление логарифмическими линейками развивает у пользователя интуицию в отношении числовых соотношений и масштабов, которых часто не хватает людям, которые использовали только цифровые калькуляторы.[41] Слайд-линейка также отобразит все условия расчета вместе с результатом, что устранит неопределенность в отношении того, какой расчет был фактически выполнен.

Слайд-линейка требует, чтобы пользователь отдельно вычислял порядок величины ответа, чтобы поставить десятичную точку в результатах. Например, 1,5 × 30 (что равно 45) покажет тот же результат, что и 1 500 000 x 0,03 (что равно 45 000). Этот отдельный расчет с меньшей вероятностью приведет к экстремальным ошибкам вычислений, но заставляет пользователя отслеживать величину в краткосрочной памяти (которая подвержена ошибкам), вести записи (что является громоздким) или рассуждать об этом на каждом этапе ( что отвлекает от других требований к расчету).

Типичный арифметическая точность линейки около трех значащие цифры, по сравнению со многими цифрами на цифровых калькуляторах. Поскольку порядок величины приобретает наибольшее значение при использовании логарифмической линейки, пользователи с меньшей вероятностью будут совершать ошибки ложная точность.

При выполнении последовательности умножений или делений на одно и то же число ответ часто можно определить, просто взглянув на логарифмическую линейку без каких-либо манипуляций. Это может быть особенно полезно при расчете процентов (например, для результатов тестов) или при сравнении цен (например, в долларах за килограмм). С помощью логарифмической линейки можно быстро выполнить несколько вычислений скорости, времени и расстояния без помощи рук. Другие полезные линейные преобразования, такие как фунты в килограммы, можно легко пометить на линейке и использовать непосредственно в расчетах.

Будучи полностью механической, логарифмическая линейка не зависит от электросеть или батарейки. Однако механическая неточность правил скольжения, которые были плохо сконструированы или деформированы из-за тепла или использования, приведет к ошибкам.

Многие моряки хранят правила скольжения в качестве резервных копий для навигации на случай отключения электроэнергии или разрядки аккумулятора на длинных участках маршрута. Скользящие линейки по-прежнему широко используются в авиации, особенно для небольших самолетов. Их заменяют только интегрированные, специальные и дорогие бортовые компьютеры, а не универсальные вычислители. В E6B Круглая логарифмическая линейка, используемая пилотами, находится в непрерывном производстве и остается доступной в различных моделях. В некоторых наручных часах, предназначенных для использования в авиации, все еще есть шкала с логарифмической линейкой для быстрых вычислений. Citizen Skyhawk AT и Seiko Flightmaster SNA411 - два ярких примера.[42]

Современное использование

Faber Castell логарифмическая линейка с мешочком

Даже в 2000-х некоторые люди предпочитали логарифмическую линейку электронному калькулятору как практическому вычислительному устройству. Другие сохранили свои старые правила слайдов из чувства ностальгии или собрали их в качестве хобби.[43]

Популярной коллекционной моделью является Койфель и Эссер Деци-Лон, научная и инженерная логарифмическая линейка премиум-класса, доступная в десятидюймовых (25 см) "обычных" (Деци-Лон 10) и пятидюймовый «карман» (Деци-Лон 5) вариант. Еще одна ценная американская модель - восьмидюймовая (20 см) круговая линейка Scientific Instruments. Европейских правил, Faber Castell Высококлассные модели пользуются наибольшей популярностью у коллекционеров.

Хотя на рынке циркулирует очень много правил скольжения, образцы в хорошем состоянии, как правило, дороги. Многие правила продаются на сайты онлайн-аукционов повреждены или в них отсутствуют детали, и продавец может не знать достаточно, чтобы предоставить соответствующую информацию. Запасные части редки, дороги и обычно доступны только для отдельной покупки на веб-сайтах отдельных коллекционеров. Правила Койфеля и Эссера периода примерно до 1950 года представляют особую проблему, потому что наконечники курсоров, сделанные из целлулоида, со временем имеют тенденцию к химическому разрушению.

Есть еще несколько источников для новых правил слайдов. The Concise Company of Tokyo, которая начинала как производитель круговых логарифмических линейок в июле 1954 года,[44] продолжает производить и продавать их сегодня. В сентябре 2009 г. интернет-магазин ThinkGeek представила свою собственную марку прямых слайдов, описываемых как «точные копии», которые «обрабатываются индивидуально».[45] Они больше не доступны в 2012 году.[46] Кроме того, до середины 2018 года у Faber-Castell было несколько правил слайдов в инвентаре, которые можно было купить за рубежом в их интернет-магазине.[47] Пропорциональные колеса все еще используются в графическом дизайне.

Для смартфонов и планшетов на базе Android и iOS доступны различные приложения-симуляторы логических правил.

Специализированные правила скольжения, такие как E6B, используемые в авиации, и правила скольжения для стрельбы, используемые в постановка артиллерии все еще используются, но уже не на регулярной основе. Эти правила используются как часть процесса обучения и инструктажа, так как при обучении их использованию студент также узнает о принципах, лежащих в основе вычислений, это также позволяет студенту использовать эти инструменты в качестве резервной копии в случае, если современная электроника вообще не работает.

Коллекции

В Музей Массачусетского технологического института в Кембридж, Массачусетс, содержит сотни правил слайдов, номограммы, и механические калькуляторы. В Койфель и Эссер Коллекция фирменных логарифмических линейок от производителя логарифмических линейок, ранее находившегося в Бруклин, Нью-Йорк был подарен MIT примерно в 2005 году.[48] Избранные предметы из коллекции обычно выставляются в музее.[49][50]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Берри, Лестер В .; ван ден Барк, Мелвин (1953). Американский тезаурус сленга: полный справочник разговорной речи (2-е изд.). Кроуэлл. OCLC  319462.
  2. ^ Петроски, Генри (2011). Инженерный алфавит: научные выводы из более мягкой стороны профессии. Издательство Кембриджского университета. С. 46–47. ISBN  9781139505307. Получено 21 марта 2017.
  3. ^ Роджер Р. Флинн (июнь 2002 г.). Компьютерные науки. 1. Макмиллан. п. 175. ISBN  978-0-02-865567-3. Получено 30 марта 2013. Логарифмическая линейка - это пример механического аналогового компьютера ...
  4. ^ Сведин, Эрик Г.; Ферро, Дэвид Л. (24 октября 2007 г.). Компьютеры: история жизни технологии. JHU Press. п. 26. ISBN  978-0-8018-8774-1. Получено 30 марта 2013. Другие аналоговые механические компьютеры включали линейки, дифференциальный анализатор, построенный Ванневаром Э. Бушем (1890–1974) в ...
  5. ^ Питер Грего (2009). Астрономический кибер набросок. Springer. п. 12. Bibcode:2009acod.book ..... G. ISBN  978-0-387-85351-2. Получено 30 марта 2013. Удивительно думать, что большая часть рутинной математической работы, которая выводила людей на орбиту вокруг Земли и высадила астронавтов на Луну в 1960-х годах, была выполнена с использованием скромного маленького механического аналогового компьютера - «скромной» логарифмической линейки.
  6. ^ Эрнст Блейлер; Роберт Озиас Хэксби (21 сентября 2011 г.). Электронные методы. Академическая пресса. п. 638. ISBN  978-0-08-085975-0. Получено 30 марта 2013. Например, линейки - это механические аналоговые компьютеры.
  7. ^ Гарри Хендерсон (1 января 2009 г.). Энциклопедия компьютерных наук и технологий, исправленное издание. Публикация информационной базы. п. 13. ISBN  978-1-4381-1003-5. Получено 30 марта 2013. Другой аналоговый компьютер, логарифмическая линейка, стал постоянным спутником ученых, инженеров и студентов, пока его не заменили ... логарифмические пропорции, позволяющие быстро умножать, делить, извлекать квадратные корни, а иногда и вычислять тригонометрические функции.
  8. ^ «Правила слайдов». Музей Массачусетского технологического института. Массачусетский Институт Технологий. Получено 2019-05-01.
  9. ^ Беренс, Лоуренс; Розен, Леонард Дж. (1982). Письмо и чтение в рамках учебной программы. Маленький, коричневый. п. 273. Затем, всего десять лет назад, изобретение карманного калькулятора сделало логарифмическую линейку устаревшей почти в мгновение ока ...
  10. ^ Маор, Эли (2009). д: История числа. Издательство Принстонского университета. п. 16. ISBN  978-0-691-14134-3. Затем, в начале 1970-х, на рынке появились первые электронные портативные калькуляторы, и через десять лет логарифмическая линейка устарела.
  11. ^ Каслден, Родни (2007). Изобретения, которые изменили мир. Futura. п. 157. ISBN  978-0-7088-0786-6. С изобретением калькулятора логарифмическая линейка мгновенно устарела.
  12. ^ Деннинг, Питер Дж.; Меткалф, Роберт М. (1998). За гранью вычислений: следующие пятьдесят лет вычислений. Springer. п. xiv. ISBN  978-0-387-98588-6. Калькулятор из первых рук появился в 1972 году и в одночасье сделал логарифмическую линейку устаревшей.
  13. ^ "руководство пользователя". сфера.bc.ca. стр. 7–8. Получено 14 марта, 2007.
  14. ^ «AntiQuark: хитрости с использованием правила скольжения». antiquark.com.
  15. ^ Иштван, Шалкаи (2016). «Общие функции с двумя переменными в правиле скольжения». Журнал Oughtred общества. 27 (1): 14–18. arXiv:1612.03955. Bibcode:2016arXiv161203955S.
  16. ^ Иштван, Шалкаи (2016). «Общие функции двух переменных на линейке скольжения». arXiv:1612.03955 [math.HO ].
  17. ^ «Правила слайдов». Tbullock.com. 2009-12-08. Архивировано из оригинал на 2013-02-03. Получено 2010-02-20.
  18. ^ По крайней мере, одно круговое правило, модель Гильсона 1931 года, принесло в жертву некоторые шкалы, обычно присутствующие в линейках для слайдов, чтобы получить дополнительное разрешение при умножении и делении. Он функционировал за счет использования спиральной шкалы C, которая, как утверждается, составляла 50 футов и читалась до пяти значащих цифр. Видеть http://www.sphere.bc.ca/test/gilson/gilson-manual2.jpg. Фото можно посмотреть на http://www.hpmuseum.org/srcirc.htm. Инструкцию по эксплуатации устройства, продаваемого Dietzgen, можно найти по адресу http://www.sliderulemuseum.com/SR_Library_General.htm. Все получено 14 марта 2007 года.
  19. ^ «336 (Teknisk Tidskrift / 1933. Allmänna avdelningen)». Runeberg.org. Получено 2010-02-20.
  20. ^ Смит, Дэвид Э. (1958). История математики. Курьерская корпорация. п. 205. ISBN  9780486204307.
  21. ^ Эпплбаум, Уилбур (2003-12-16). "Логарифмическая линейка". Энциклопедия научной революции: от Коперника до Ньютона. Рутледж. Bibcode:2000esrc.book ..... A. ISBN  9781135582555.
  22. ^ "Морское правило скольжения Кэмерона", Журнал "Практический механик и инженер", Апрель 1845 г., стр. 187 и пластина XX-B
  23. ^ Kells, Lyman M .; Керн, Уиллис Ф .; Блэнд, Джеймс Р. (1943). Правило скольжения для децитрига Log-Log Duplex № 4081: Руководство. Койфель и Эссер. п. 92. Архивировано с оригинал 14 февраля 2009 г.
  24. ^ Правило скольжения для полифазной дуплексной печати, самообучающееся руководство, Брекенридж, 1922, стр. 20.
  25. ^ Норвегия, Невил Шут (1954). Логарифмическая линейка. Лондон: Уильям Хайнеманн. С. 76–78.
  26. ^ Первый карманный калькулятор, который заменить логарифмическую линейку был HP35 введен в 1972 г.
  27. ^ "Лот 25368 Слайд-правило Базза Олдрина" Аполлон-11 "- полет на Луну. ... Сентябрь 2007 г. Аукцион авиакосмической отрасли большого формата №669". Аукционы наследия. Получено 3 сентября 2013.
  28. ^ "Линейка скольжения, 5 дюймов, Pickett N600-ES, Apollo 13". Смитсоновский национальный музей авиации и космонавтики. Получено 3 сентября 2013.
  29. ^ Чарльз Овертон Харрис, Слайд-линейка упрощена, Американское техническое общество, 1961, стр. 5.
  30. ^ «Правило скольжения для простафеэрета: механическое устройство для умножения, основанное на тригонометрических идентичностях, | Математическое и компьютерное образование | Найти статьи в Bnet». Findarticles.com. 2009-06-02. Архивировано из оригинал на 2005-05-10. Получено 2010-02-20.
  31. ^ «Правила калибровки Фишера». natgasedu.com. Архивировано из оригинал 6 января 2010 г.. Получено 2009-10-06.
  32. ^ "Правила скольжения с воздушным шаром пилота". www.pilotballoon.com. Архивировано из оригинал на 2016-09-28. Получено 28 сентября 2016.
  33. ^ Росс, М. Г. (2003). «Круг времени: ошибки в использовании колеса беременности». Журнал материнско-фетальной и неонатальной медицины. 14 (6): 370–372. Дои:10.1080/14767050412331312200. PMID  15061314. S2CID  20101166.
  34. ^ "Ван ЛОКИ-2". oldcalculatormuseum.com.
  35. ^ Wang Laboratories (декабрь 1966 г.). «Теперь вы можете определить состав сополимера за несколько минут на своем столе». Аналитическая химия. 38 (13): 62A – 63A. Дои:10.1021 / ac50155a005.
  36. ^ Лейбсон, Стивен (2010). «Проект HP 9100: экзотермическая реакция». Получено 2016-01-02.[постоянная мертвая ссылка ]
  37. ^ Волдер, Джек Э. (июнь 2000 г.). «Рождение КОРДИК» (PDF). Журнал обработки сигналов СБИС. 25 (2): 101–105. Дои:10.1023 / а: 1008110704586. ISSN  0922-5773. S2CID  112881. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2016-01-02.
  38. ^ Столл, Клифф. «Когда правила слайдов» Scientific American, Май 2006 г., стр. 80–87. «Трудность научиться пользоваться правилами скольжения препятствовала их использованию среди простых людей. Да, случайный менеджер продуктового магазина рассчитывал скидки на скользкой палочке, и этот автор однажды поймал своего школьного учителя английского языка, который подсчитывал статистику победителей трехкратных скачек. логарифмическая линейка в учебном зале. Но логарифмические линейки никогда не вошли в повседневную жизнь, потому что с ними нельзя было выполнять простое сложение и вычитание, не говоря уже о сложности отслеживания десятичной точки. Правила скольжения оставались инструментами для технарей ».
  39. ^ Уотсон, Джордж Х. «Проблемно-ориентированное обучение и три составляющих технологии», Сила проблемно-ориентированного обучения, Барбара Дач, Сьюзан Гро, Дебора Аллен, ред., Stylus Publishing, LLC, 2001. «Численные вычисления в физике и химии для первокурсников были мучительны; однако это, похоже, не так для тех студентов, которым посчастливилось уже владеть Я хорошо помню, что в конце 1974 года студентам, которые все еще использовали логарифмические линейки, давали дополнительные 15 минут на заключительный экзамен, чтобы компенсировать вычислительное преимущество, предоставляемое калькулятором, что вряд ли является адекватной компенсацией по мнению оставшихся практиков логарифмических правил ".
  40. ^ Столл, Клифф. «Когда правила слайдов» Scientific American, Май 2006 г., стр. 80–87. «С расчетами, выполняемыми буквально за руку, и отсутствием точности, как данности, математики работали над упрощением сложных задач. Поскольку линейные уравнения были более удобны для скользящих правил, чем более сложные функции, ученые изо всех сил пытались линеаризовать математические отношения, часто охватывая высокие уровни. или менее значимые термины под вычислительным ковром. Таким образом, конструктор автомобилей может рассчитать потребление газа, глядя в основном на мощность двигателя, игнорируя, как трение воздуха зависит от скорости. Инженеры разработали ярлыки и практические правила. В лучшем случае эти меры привели к экономия времени, понимание и понимание. С другой стороны, эти приближения могут скрыть ошибки и привести к грубым ошибкам ».
  41. ^ Столл, Клифф. "Когда правила слайдов", Scientific American, Май 2006 г., стр. 80–87. "Одним из следствий было то, что пользователи чувствовали себя близкими к цифрам, зная об ошибках округления и систематических неточностях, в отличие от пользователей сегодняшних программ компьютерного дизайна. Пообщайтесь с инженером из 1950-х, и вы, скорее всего, услышите жалобы на те дни когда вычисления идут рука об руку с более глубоким пониманием. Вместо того, чтобы вставлять числа в компьютерную программу, инженер понимал бы тонкости нагрузок и напряжений, напряжений и токов, углов и расстояний. Числовые ответы, составленные вручную, означали проблему решение через знания и анализ, а не просто вычисление чисел ".
  42. ^ "Компания Citizen Watch Company - Citizen Eco-Drive / США, Канада, Великобритания, Ирландия. Citizen Watch". Citizenwatch.com. Архивировано из оригинал на 2014-04-22. Получено 2014-04-21.
  43. ^ «Правила слайдов Грега - ссылки на сборщики правил слайдов». Sliderule.ozmanor.com. 2004-07-29. Получено 2010-02-20.
  44. ^ «О КОНСИЗ». Concise.co.jp. Архивировано из оригинал на 2012-03-12. Получено 2010-02-20.
  45. ^ "Логарифмическая линейка". ThinkGeek. Архивировано из оригинал on 2010-03-27. Получено 2015-04-08.
  46. ^ "Логарифмическая линейка". ThinkGeek. Архивировано из оригинал 15 апреля 2012 г.. Получено 2015-04-08.
  47. ^ «Рехеншибер». Faber Castell. Архивировано из оригинал 21 ноября 2013 г.. Получено 2012-01-17. Считается, что у них все еще есть правила слайдов, но на их новом веб-сайте и в интернет-магазине их нет.
  48. ^ «Музей MIT соответствует требованиям». Новости MIT. Массачусетский Институт Технологий. 11 января 2005 г.. Получено 2019-05-01.
  49. ^ «Правила слайдов». Музей Массачусетского технологического института. Массачусетский Институт Технологий. Получено 2019-05-01.
  50. ^ «Музей Массачусетского технологического института - Правила слайдов». proundesign.com. Проун Дизайн. Получено 2019-05-01.

внешняя ссылка

Общая информация, история