Логарифмическая система счисления - Logarithmic number system - Wikipedia

А логарифмическая система счисления (LNS) - арифметическая система, используемая для представления действительные числа в компьютере и цифровое оборудование, особенно для цифровая обработка сигналов.

Обзор

В LNS число, ${\displaystyle X}$, представлен логарифм, ${\displaystyle x}$, из его абсолютная величина следующее:

${\displaystyle X\rightarrow \{s,x=\log _{b}(|X|)\},}$

куда ${\displaystyle s}$ немного обозначает знак ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle s=0}$ если ${\displaystyle X>0}$ и ${\displaystyle s=1}$ если ${\displaystyle X<0}$).

Номер ${\displaystyle x}$ представлен двоичным словом, которое обычно находится в два дополнения формат. LNS можно рассматривать как плавающая точка номер с значимое всегда равняется 1 и не целое число показатель степени. Эта формулировка упрощает операции умножения, деления, степеней и корней, поскольку они сводятся к сложению, вычитанию, умножению и делению соответственно.

С другой стороны, операции сложения и вычитания сложнее и рассчитываются по формуле:

${\displaystyle \log _{b}(|X|+|Y|)=x+s_{b}(y-x)}$

${\displaystyle \log _{b}(||X|-|Y||)=x+d_{b}(y-x),}$

где функция "сумма" определяется как ${\displaystyle s_{b}(z)=\log _{b}(1+b^{z})}$, а функция "разница" - ${\displaystyle d_{b}(z)=\log _{b}(|1-b^{z}|)}$. Эти функции ${\displaystyle s_{b}(z)}$ и ${\displaystyle d_{b}(z)}$ также известны как Гауссовские логарифмы.

Упрощение умножения, деления, корней и степеней уравновешивается стоимостью оценки этих функций для сложения и вычитания. Эта дополнительная стоимость оценки может не быть критичной при использовании LNS в первую очередь для повышения точности математических операций с плавающей запятой.

История

Логарифмические системы счисления были независимо изобретенный и опубликовано не менее трех раз в качестве альтернативы фиксированная точка и плавающая точка системы счисления.^[1]

Николас Кингсбери и Питер Рейнер ввели «логарифмическую арифметику» для цифровая обработка сигналов (DSP) в 1971 году.^[2]

Подобная система LNS, названная «логарифмической системой счисления со знаком» (SLNS), была описана в 1975 году Эрлом Шварцлендером и Аристидесом Алексопулосом; вместо использования дополнения до двух логарифмов, они компенсировать их (масштабируйте представленные числа), чтобы избежать отрицательных журналов.^[3]

Самуэль Ли и Альберт Эдгар описали аналогичную систему, которую они назвали системой счисления «Фокус» в 1977 году.^[4][1][5][6]

Математические основы сложения и вычитания в LNS восходят к Зеккини Леонелли и Карл Фридрих Гаусс в начале 1800-х гг.^{[7][8][9][10][11]}

Приложения

LNS использовался в Гравитационная труба (ВИНОГРАД-5 ) суперкомпьютер специального назначения^[12] который выиграл Приз Гордона Белла в 1999 году.

Существенные усилия по исследованию применимости LNS в качестве жизнеспособной альтернативы плавающей запятой для универсальной обработки вещественных чисел с одинарной точностью описаны в контексте Европейский логарифмический микропроцессор (ELM).^[13][14] Изготовленный прототип процессора, который имеет 32-битную LNS на основе котрансформации. арифметико-логическое устройство (ALU) продемонстрировал LNS как «более точную альтернативу плавающей запятой» с улучшенной скоростью. Дальнейшее улучшение конструкции LNS на основе архитектуры ELM показало ее способность обеспечивать значительно более высокую скорость и точность, чем с плавающей запятой.^[15]

LNS иногда используются в FPGA приложения, в которых большинство арифметических операций - это умножение или деление.^[16]

Смотрите также

• Денормальное число
• Коническая плавающая точка (TFP)
• Арифметика индекса уровня (LI) и симметричная арифметика индекса уровня (SLI)
• Гауссовский логарифм
• Логарифм Заха
• ITU-T G.711
• Алгоритм A-law
• алгоритм μ-закона

Рекомендации

1. Ли, Сэмюэл С .; Эдгар, Альберт Д. (сентябрь 1979 г.). «Дополнение» к системе счисления фокусов"". Транзакции IEEE на компьютерах. IEEE. С-28 (9): 693. Дои:10.1109 / TC.1979.1675442. ISSN  0018-9340. (NB. Имя Николаса Кингсбери неправильно написано в этой цитате.)
2. Кингсбери, Николас Г .; Рейнер, Питер Дж. У. (1971-01-28). «Цифровая фильтрация с использованием логарифмической арифметики». Письма об электронике. Институт инженерии и технологий (ИЭПП). 7 (2): 56–58. Дои:10.1049 / el: 19710039. ISSN  0013-5194. Также перепечатано в: Шварцлендер младший, Эрл Э., изд. (1990). Компьютерная арифметика. я. Лос-Аламитос, Калифорния, США: Пресса IEEE Computer Society.
3. Swartzlander, Jr., Earl E .; Алексопулос, Аристидес Г. (декабрь 1975 г.). «Знаковая / логарифмическая система счисления». Транзакции IEEE на компьютерах. IEEE. С-24 (12): 1238–1242. Дои:10.1109 / T-C.1975.224172. ISSN  0018-9340. Также перепечатано в: Шварцлендер младший, Эрл Э., изд. (1990). Компьютерная арифметика. я. Лос-Аламитос, Калифорния, США: Пресса IEEE Computer Society.
4. Ли, Сэмюэл С .; Эдгар, Альберт Д. (ноябрь 1977 г.). «Система счисления фокуса». Транзакции IEEE на компьютерах. IEEE. С-26 (11): 1167–1170. Дои:10.1109 / TC.1977.1674770. ISSN  0018-9340.
5. Ли, Сэмюэл С .; Эдгар, Альберт Д. (1977). «Глава I.1: Дизайн микрокомпьютера - Система счисления микрокомпьютера Focus». В Ли, Сэмюэл С. (ред.). Дизайн и применение микрокомпьютеров. Academic Press, Inc. С. 1–40. Дои:10.1016 / B978-0-12-442350-3.50005-5. ISBN  0-12-442350-7. [1]
6. Эдгар, Альберт Д .; Ли, Сэмюэл С. (март 1979 г.). «Система счисления микрокомпьютеров FOCUS». Коммуникации ACM. ACM Press. 22 (3): 166–177. Дои:10.1145/359080.359085.
7. Леонелли, Зеккини (1803) [1802]. Дополнение логарифмическое. Théorie des logarithmes addels et diductifs (На французском). Бордо: Бросье. (NB. 1802/1803 - год XI. Французский республиканский календарь.)
8. Леонхарди, Готфрид Вильгельм (1806). LEONELLIs logarithmische Supplemente, als ein Beitrag, Mängel der gewöhnlichen Logarithmentafeln zu ersetzen. Aus dem Französischen nebst einigen Zusätzen von GOTTFRIED WILHELM LEONHARDI, Souslieutenant beim kurfürstlichen sächsischen Feldartilleriecorps (на немецком). Дрезден: Walther'sche Hofbuchhandlung. (NB. Расширенный перевод книги Зеккини Леонелли Дополнение логарифмическое. Théorie des logarithmes addels et diductifs.)
9. Гаус, Иоганн Карл Фридрих (1808-02-12). "LEONELLI, Logarithmische Supplemente". Allgemeine Literaturzeitung (на немецком). Галле-Лейпциг (45): 353–356.
10. «Логарифм: сложение и вычитание, или гауссовские логарифмы». Британская энциклопедия, одиннадцатое издание.
11. Даннингтон, Гай Уолдо (2004) [1955]. Грей, Джереми; Dohse, Фриц-Эгберт (ред.). Карл Фридрих Гаусс - Титан науки. Серия "Спектрум" (переработанная ред.). Математическая ассоциация Америки (МАА). ISBN  978-0-88385-547-8.
12. Макино, Дзюнъитиро; Тайцзи, Макото (1998). Научное моделирование на специальных компьютерах: системы GRAPE. Джон Уайли и сыновья. Bibcode:1998sssc.book ..... M. ISBN  978-0-471-96946-4.
13. Коулман, Джон Николас; Софтли, Кристофер I .; Кадлец, Иржи; Матоусек, Рудольф; Личко, Мирослав; Поль, Зденек; Херманек, Антонин (2002-08-07) [2001-11-04]. «Европейский логарифмический микропроцессор - приложение QR RLS». Отчет о тридцать пятой конференции Asilomar по сигналам, системам и компьютерам (каталожный номер 01CH37256). 1. Монтерей, Калифорния, США: IEEE. С. 155–159. Дои:10.1109 / ACSSC.2001.986897. ISBN  0-7803-7147-X. ISSN  1058-6393.
14. Коулман, Джон Николас; Софтли, Кристофер I .; Кадлец, Иржи; Матоусек, Рудольф; Тихи, Милан; Поль, Зденек; Германек, Антонин; Беншоп, Нико Ф. (апрель 2008 г.) [2008-02-26]. «Европейский логарифмический микропроцессор». Транзакции IEEE на компьютерах. IEEE. 57 (4): 532–546. Дои:10.1109 / TC.2007.70791. ISSN  0018-9340.
15. Исмаил, Р. Че; Коулман, Джон Николас (2011-08-18) [2011-07-25]. "ROM-less LNS". 2011 20-й симпозиум IEEE по компьютерной арифметике. IEEE. С. 43–51. Дои:10.1109 / ARITH.2011.15. ISBN  978-1-4244-9457-6. ISSN  1063-6889.
16. Фу, Хаохуань; Менсер, Оскар; Лук, Уэйн (2007-01-02) [2006-12-13]. «Сравнение представлений с плавающей запятой и логарифмических чисел для реконфигурируемого ускорения». 2006 Международная конференция IEEE по программируемым технологиям. IEEE. С. 337–340. Дои:10.1109 / FPT.2006.270342. ISBN  978-0-7803-9728-6.

дальнейшее чтение

• Мюллер, Жан-Мишель; Щербина, Александр; Тиссеран, Арно (февраль 1998 г.). «Полулогарифмические системы счисления» (PDF). Транзакции IEEE на компьютерах. 47 (2): 145–151. Дои:10.1109/12.663760. ISSN  0018-9340. В архиве (PDF) из оригинала на 2018-07-13. Получено 2018-07-11. Ранее опубликовано в: Мюллер, Жан-Мишель; Щербина, Александр; Тиссеран, Арно (июль 1995 г.). «Полулогарифмические системы счисления». Материалы 12-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике (АРИТА 12 ). Бат, Великобритания.
• Карс, Марк; Бранденбург, Карлхайнц, ред. (2002) [1998]. Применение цифровой обработки сигналов в аудио и акустике (PDF). Kluwer Academic Publishing. ISBN  0-7923-8130-0. В архиве (PDF) из оригинала на 2018-07-07. Получено 2018-07-07. (NB. Описывает 13-битный LNS, используемый в Ямаха музыкальные синтезаторы в течение 1980-х гг.)
• Кремер, Германн (2002-08-29). "Gauss'sche Additionslogarithmen feiern 200. Geburtstag". de.sci.mathematik (на немецком). В архиве из оригинала на 2018-07-07. Получено 2018-07-07.
• Зехенднер, Эберхард (лето 2008 г.). "Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme" (PDF) (Сценарий лекции) (на немецком языке). Фридрих-Шиллер-Университет Йены. В архиве (PDF) из оригинала 2018-07-09. Получено 2018-07-09. [2]
• Хейс, Брайан (сентябрь – октябрь 2009 г.). «Высшая арифметика». Американский ученый. 97 (5): 364–368. Дои:10.1511/2009.80.364. В архиве из оригинала 2018-07-09. Получено 2018-07-09. [3]. Также перепечатано в: Хейс, Брайан (2017). «Глава 8: Высшая арифметика». Защита от дурака и другие математические медитации (1-е изд.). MIT Press. С. 113–126. ISBN  978-0-26203686-3. ISBN  0-26203686-X.

внешняя ссылка

• Сайт, на котором перечислены документы LNS
• esprit - Европейский логарифмический микропроцессор (ранее проект High Speed ​​Logarithmic Arithmetic (HSLA))
• Библиотека VHDL для генерации оборудования LNS