Наброски алгебраических структур - Outline of algebraic structures
| Алгебраические структуры |
|---|
В математика, есть много типов алгебраические структуры которые изучаются. Абстрактная алгебра в первую очередь изучение конкретных алгебраических структур и их свойств. Алгебраические структуры можно рассматривать по-разному, однако общая отправная точка текстов по алгебре состоит в том, что алгебраический объект включает в себя один или несколько наборы с одним или несколькими бинарные операции или унарные операции удовлетворение коллекции аксиомы.
Другой раздел математики, известный как универсальная алгебра изучает алгебраические структуры в целом. С точки зрения универсальной алгебры, большинство структур можно разделить на разновидности и квазимногообразия в зависимости от используемых аксиом. Немного аксиоматический формальные системы которые не являются ни разновидностями, ни квазимногообразиями, называемыми неразнообразие, иногда по традиции включаются в состав алгебраических структур.
Конкретные примеры каждой структуры можно найти в перечисленных статьях.
Сегодня алгебраических структур так много, что эта статья неизбежно будет неполной. В дополнение к этому, иногда существует несколько имен для одной и той же структуры, а иногда одно имя будет определяться несовпадающими аксиомами разных авторов. Большинство структур, представленных на этой странице, будут обычными, с чем согласны большинство авторов. Другие веб-списки алгебраических структур, организованные более или менее в алфавитном порядке, включают Jipsen и PlanetMath. Эти списки упоминают многие структуры, не включенные ниже, и могут содержать больше информации о некоторых структурах, чем представлено здесь.
Изучение алгебраических структур
Алгебраические структуры появляются в большинстве разделов математики, и можно встретить их по-разному.
- Начало обучения: в американских университетах, группы, векторные пространства и поля обычно являются первыми структурами, встречающимися в таких предметах, как линейная алгебра. Обычно они вводятся как наборы с определенными аксиомами.
- Углубленное изучение:
- Абстрактная алгебра изучает свойства конкретных алгебраических структур.
- Универсальная алгебра изучает алгебраические структуры абстрактно, а не конкретные типы структур.
- Теория категорий изучает взаимосвязь между различными структурами, алгебраическими и неалгебраическими. Чтобы изучить неалгебраический объект, часто бывает полезно использовать теорию категорий, чтобы связать объект с алгебраической структурой.
- Пример: фундаментальная группа из топологическое пространство дает информацию о топологическом пространстве.
Типы алгебраических структур
Вообще говоря, алгебраическая структура может использовать любое количество множеств и любое количество аксиом в своем определении. Однако наиболее часто изучаемые структуры обычно включают только один или два набора и один или два бинарные операции. Приведенные ниже структуры организованы по тому, сколько наборов задействовано и сколько бинарных операций используется. Увеличенный отступ предназначен для обозначения более экзотической структуры, а уровни с наименьшим отступом являются самыми основными.
Одна бинарная операция на одном наборе
| Групповые структуры | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Тотальностьα | Ассоциативность | Идентичность | Обратимость | Коммутативность | |
| Полугрупоидный | Ненужный | необходимые | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
| Малая категория | Ненужный | необходимые | необходимые | Ненужный | Ненужный |
| Группоид | Ненужный | необходимые | необходимые | необходимые | Ненужный |
| Магма | необходимые | Ненужный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
| Квазигруппа | необходимые | Ненужный | Ненужный | необходимые | Ненужный |
| Единичная магма | необходимые | Ненужный | необходимые | Ненужный | Ненужный |
| Петля | необходимые | Ненужный | необходимые | необходимые | Ненужный |
| Полугруппа | необходимые | необходимые | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
| Обратная полугруппа | необходимые | необходимые | Ненужный | необходимые | Ненужный |
| Моноид | необходимые | необходимые | необходимые | Ненужный | Ненужный |
| Коммутативный моноид | необходимые | необходимые | необходимые | Ненужный | необходимые |
| Группа | необходимые | необходимые | необходимые | необходимые | Ненужный |
| Абелева группа | необходимые | необходимые | необходимые | необходимые | необходимые |
| ^ α Закрытие, который используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной совокупности, хотя и по-другому. | |||||
Следующие структуры состоят из набора с бинарной операцией. Наиболее распространенная структура - это группа. Другие структуры включают ослабление или усиление аксиом для групп и могут дополнительно использовать унарные операции.
- Группы являются ключевыми структурами. Абелевы группы являются важным особенным типом группы.
- полугруппы и моноиды: Это как группы, за исключением того, что операция не требует обратных элементов.
- квазигруппы и петли: Это как группы, за исключением того, что операция не обязательно должна быть ассоциативной.
- Магмы: Это как группы, за исключением того, что операция не обязательно должна быть ассоциативной или иметь обратные элементы.
- Полурешетка: Это в основном «половина» решетчатой структуры (см. Ниже).
Две бинарные операции на одном наборе
Основные типы структур с одним набором, имеющим две бинарные операции: кольца и решетки. Аксиомы, определяющие многие другие структуры, являются модификациями аксиом для колец и решеток. Одно из основных различий между кольцами и решетками заключается в том, что их две операции по-разному связаны друг с другом. В кольцевых структурах две операции связаны между собой распределительный закон; в решетчатых структурах операции связаны между собой закон поглощения.
- Кольца: Эти две операции обычно называют сложением и умножением. Коммутативные кольца являются особенно важным типом колец, в котором операция умножения коммутативна. Интегральные домены и поля особенно важны типы коммутативных колец.
- Неассоциативные кольца: Они похожи на кольца, но операция умножения не обязательно должна быть ассоциативной.
- Кольца лжи и Кольца Jordan являются частными примерами неассоциативных колец.
- полукольца: Они похожи на кольца, но операция сложения не требует обратных.
- близкие: Они похожи на кольца, но операция сложения не обязательно должна быть коммутативной.
- * -кольца: Это кольца с дополнительной унарной операцией, известной как инволюция.
- Неассоциативные кольца: Они похожи на кольца, но операция умножения не обязательно должна быть ассоциативной.
- Решетки: Две операции обычно называются встретиться и присоединиться.
- Латтикоид: встретиться и присоединиться ездить но не нужно ассоциировать.
- Косая решетка: встретиться и присоединиться к партнеру, но не обязательно ездить на работу.
Две бинарные операции и два набора
Следующие структуры имеют общую черту наличия двух наборов: А и B, так что есть бинарная операция из А×А в А и еще одна операция от А×B в А.
- Векторные пространства: Набор А - абелева группа, а множество B это поле.
- Градуированные векторные пространства: Векторные пространства, снабженные прямая сумма разложение на подпространства.
- Модули: Набор А абелева группа, но B это только общее кольцо и не обязательно поле.
- Специальные типы модулей, в том числе бесплатные модули, проективные модули, инъективные модули и плоские модули изучаются в абстрактной алгебре.
- Группа с операторами: В этом случае набор А группа, а множество B это просто набор.
Три бинарных операции и два набора
Многие структуры здесь фактически являются гибридными структурами ранее упомянутых.
- Алгебра над полем: Это кольцо, которое также является векторным пространством над полем. Существуют аксиомы, регулирующие взаимодействие двух структур. Умножение обычно считается ассоциативным.
- Алгебра над кольцом: Они определены так же, как алгебры над полями, за исключением того, что теперь поле может быть любым коммутативным кольцом.
- Градуированная алгебра: Эти алгебры снабжены разложением на оценки.
- Неассоциативные алгебры: Это алгебры, для которых ассоциативность умножения колец ослаблена.
- Алгебры Ли и Йордановы алгебры являются частными примерами неассоциативных алгебр.
- Коалгебра: Эта структура имеет аксиомы, которые делают ее умножение двойной ассоциативной алгебре.
- Биалгебра: Эти структуры являются одновременно алгебрами и коалгебрами, операции которых совместимы. Фактически для этой структуры есть четыре операции.
Алгебраические структуры с дополнительной неалгебраической структурой
Есть много примеров математических структур, в которых алгебраическая структура существует наряду с неалгебраической структурой.
- Топологические векторные пространства - векторные пространства с совместимым топология.
- Группы Ли: Это топологические многообразия, которые также несут совместимую групповую структуру.
- Упорядоченные группы, заказанные кольца и упорядоченные поля имеют алгебраическую структуру, совместимую с порядок на съемочной площадке.
- Алгебры фон Неймана: это * -алгебры на Гильбертово пространство которые оснащены слабая операторная топология.
Алгебраические структуры в разных дисциплинах
Некоторые алгебраические структуры находят применение в дисциплинах за пределами абстрактной алгебры. Следующее предназначено для демонстрации некоторых конкретных приложений в других областях.
В Физика:
- Группы Ли широко используются в физике. Несколько хорошо известных включают ортогональные группы и унитарные группы.
- Алгебры Ли
- Внутренние пространства продукта
- Алгебра Каца – Муди
- В кватернионы и вообще геометрические алгебры
- Булевы алгебры оба являются кольцами и решетками относительно своих двух операций.
- Гейтинговые алгебры являются частным примером булевых алгебр.
- Арифметика Пеано
- Граничная алгебра
- MV-алгебра
В Информатика:
Смотрите также
Заметки
использованная литература
- Гаррет Биркофф, 1967. Теория решеток, 3-е изд., AMS Colloquium Publications Vol. 25. Американское математическое общество.
- ---, и Сондерс Маклейн, 1999 (1967). Алгебра2-е изд. Нью-Йорк: Челси.
- Джордж Булос и Ричард Джеффри, 1980. Вычислимость и логика2-е изд. Cambridge Univ. Нажмите.
- Даммит, Дэвид С., и Фут, Ричард М., 2004. Абстрактная алгебра, 3-е изд. Джон Уайли и сыновья.
- Гретцер, Джордж, 1978. Универсальная алгебра2-е изд. Springer.
- Дэвид К. Льюис, 1991. Часть классов. Блэквелл.
- Мишель, Энтони Н. и Херже, Чарльз Дж., 1993 (1981). Прикладная алгебра и функциональный анализ. Дувр.
- Поттер, Майкл, 2004. Теория множеств и ее философия2-е изд. Oxford Univ. Нажмите.
- Сморински, Крейг, 1991. Теория логических чисел I. Springer-Verlag.
Монография доступна бесплатно в Интернете:
- Беррис, Стэнли Н. и Х.П. Санкаппанавар, Х. П., 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
внешние ссылки
- Джипсен:
- По алфавиту список структур алгебры; включает многие, не упомянутые здесь.
- Интернет-книги и конспекты лекций.
- карта содержит около 50 структур, некоторые из которых не указаны выше. Точно так же большинство структур, представленных выше, отсутствуют на этой карте.
- PlanetMath указатель тем.
- Хазевинкель, Михиэль (2001) Энциклопедия математики. Springer-Verlag.
- Mathworld страница по абстрактной алгебре.
- Стэнфордская энциклопедия философии: Алгебра от Воан Пратт.