Градуированное векторное пространство - Graded vector space

В математика, а градуированное векторное пространство это векторное пространство который имеет дополнительную структуру оценка или градация, которое представляет собой разложение векторного пространства на прямая сумма векторных подпространств.

ℕ-градуированные векторные пространства

Позволять ${\displaystyle \mathbb {N} }$ быть набором неотрицательных целых чисел. An ${\textstyle \mathbb {N} }$-градуированное векторное пространство, часто называемый просто градуированное векторное пространство без префикса ${\displaystyle \mathbb {N} }$, является векторным пространством V вместе с разложением в прямую сумму вида

${\displaystyle V=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}}$

где каждый ${\displaystyle V_{n}}$ - векторное пространство. Для данного п элементы ${\displaystyle V_{n}}$ затем называются однородный элементы степени п.

Часто встречаются градиентные векторные пространства. Например набор всех многочлены одной или нескольких переменных образует градуированное векторное пространство, где однородные элементы степени п являются в точности линейными комбинациями одночленов степенип.

Общий я-градуированные векторные пространства

Подпространства градуированного векторного пространства не нужно индексировать набором натуральных чисел и могут быть проиндексированы элементами любого набора. я. An я-градуированное векторное пространство V - векторное пространство вместе с разложением в прямую сумму подпространств, индексированных элементами я установить я:

${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.}$

Следовательно, ${\displaystyle \mathbb {N} }$-градуированное векторное пространство, как определено выше, является просто я-градуированное векторное пространство, где установлено я является ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (набор натуральные числа ).

Случай, когда я это звенеть ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ (элементы 0 и 1) особенно важны в физика. А ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$-градуированное векторное пространство также известно как супервекторное пространство.

Гомоморфизмы

Для общих наборов индексов я, а линейная карта между двумя я-градуированные векторные пространства ж : V → W называется градуированная линейная карта если он сохраняет градацию однородных элементов. Градуированную линейную карту также называют гомоморфизм (или же морфизм) градуированных векторных пространств, или однородная линейная карта:

${\displaystyle f(V_{i})\subseteq W_{i}}$ для всех я в я.

Для фиксированного поле и фиксированный набор индексов, градуированные векторные пространства образуют категория морфизмами которых являются линейные градуированные отображения.

Когда я коммутативный моноид (такой как натуральные числа ), то в более общем случае можно определить линейные отображения, которые однородный любой степени я в я собственностью

${\displaystyle f(V_{j})\subseteq W_{i+j}}$ для всех j в я,

где «+» обозначает операцию моноида. Если к тому же я удовлетворяет аннулирование собственности чтобы его можно было встроить в коммутативная группа А что он генерирует (например, целые числа если я - натуральные числа), то можно также определить линейные отображения, однородные степени я в А тем же свойством (но теперь "+" обозначает групповую операцию в А). В частности, для я в я линейная карта будет однородной степени -я если

${\displaystyle f(V_{i+j})\subseteq W_{j}}$ для всех j в я, пока

${\displaystyle f(V_{j})=0\,}$ если j − я не в я.

Подобно тому, как набор линейных отображений из векторного пространства в себя образует ассоциативная алгебра (алгебра эндоморфизмы векторного пространства), множества однородных линейных отображений из пространства в себя, либо ограничивая степени я или позволяя любые степени в группе А, образуют ассоциативные градуированные алгебры над этими наборами индексов.

Операции над градуированными векторными пространствами

Некоторые операции с векторными пространствами могут быть определены и для градуированных векторных пространств.

Учитывая два я-градуированные векторные пространства V и W, их прямая сумма имеет основное векторное пространство V ⊕ W с градацией

(V ⊕ W)_я = V_я ⊕ W_я .

Если я это полугруппа, то тензорное произведение из двух я-градуированные векторные пространства V и W Другой я-градуированное векторное пространство, ${\displaystyle V\otimes W}$ с градацией

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\left\{\left(j,k\right)|j+k=i\right\}}V_{j}\otimes W_{k}.}$

Смотрите также

• Оценка (математика)
• Градуированная алгебра
• Ряд Гильберта – Пуанкаре
• Comodule
• Градуированный модуль
• Правило Литтлвуда – Ричардсона

Рекомендации

• Бурбаки, Н. (1974) Алгебра I (Главы 1-3), ISBN  978-3-540-64243-5, Глава 2, Раздел 11; Глава 3.