Comodule - Comodule

В математика, а комодуль или corepresentation - это концепция двойной к модуль. Определение комодуля над коалгебра формируется путем дуализации определения модуля над ассоциативная алгебра.

Формальное определение

Позволять K быть поле, и C быть коалгебра над K. А (справа) комодуль над C это K-векторное пространство M вместе с линейная карта

${\displaystyle \rho \colon M\to M\otimes C}$

такой, что

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \rho =(\rho \otimes \mathrm {id} )\circ \rho }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \rho =\mathrm {id} }$,

где Δ - коумножение для C, ε - счетчик.

Обратите внимание, что во втором правиле мы определили ${\displaystyle M\otimes K}$ с ${\displaystyle M\,}$.

Примеры

• Коалгебра - это комодуль над собой.
• Если M является конечномерным модулем над конечномерным K-алгебра А, то набор линейные функции из А к K образует коалгебру, а набор линейных функций из M к K образует комодуль над этой коалгеброй.
• А градуированное векторное пространство V можно превратить в комодуль. Позволять я быть набор индексов для градуированного векторного пространства, и пусть ${\displaystyle C_{I}}$ - векторное пространство с базисом ${\displaystyle e_{i}}$ за ${\displaystyle i\in I}$. Мы поворачиваем ${\displaystyle C_{I}}$ в коалгебру и V в ${\displaystyle C_{I}}$-комодуль, а именно:

1. Пусть коумножение на ${\displaystyle C_{I}}$ быть предоставленным ${\displaystyle \Delta (e_{i})=e_{i}\otimes e_{i}}$.
2. Пусть счет на ${\displaystyle C_{I}}$ быть предоставленным ${\displaystyle \varepsilon (e_{i})=1\ }$.
3. Пусть карта ${\displaystyle \rho }$ на V быть предоставленным ${\displaystyle \rho (v)=\sum v_{i}\otimes e_{i}}$, куда ${\displaystyle v_{i}}$ это я-й однородный кусок ${\displaystyle v}$.

Рациональный комодуль

Если M является (правым) комодулем над коалгеброй C, тогда M является (левым) модулем над дуальной алгеброй C^∗, но в общем случае обратное неверно: модуль над C^∗ не обязательно является комодулем над C. А рациональный комодуль это модуль над C^∗ который становится комодулем над C естественным образом.

Рекомендации

• Гомес-Торресильяс, Хосе (1998), "Коалгебры и комодули над коммутативным кольцом", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées, 43: 591–603
• Монтгомери, Сьюзен (1993). Алгебры Хопфа и их действия на кольцах. Серия региональных конференций по математике. 82. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0738-2. Zbl  0793.16029.
• Свидлер, Мосс (1969), Алгебры Хопфа, Нью-Йорк: В. А. Бенджамин