Регула фальси - Regula falsi

В математика, то Regula Falsi, метод ложного положения, или метод ложной позиции это очень старый метод решения уравнения с одним неизвестным, который в модифицированном виде все еще используется. Говоря простым языком, метод - это методом проб и ошибок метод использования тестовых («ложных») значений для переменной с последующей корректировкой тестового значения в зависимости от результата. Иногда это также называют «угадать и проверить». Версии этого метода предшествовали появлению алгебра и использование уравнения.

В качестве примера рассмотрим задачу 26 в Папирус Ринда, который требует решения (записанного в современных обозначениях) уравнения Икс + Икс/4 = 15. Это решается ложной позицией.^[1] Сначала угадайте, что Икс = 4 чтобы получить слева, 4 + 4/4 = 5. Это предположение является хорошим выбором, поскольку оно дает целочисленное значение. Однако число 4 не является решением исходного уравнения, поскольку дает значение, которое в три раза меньше. Чтобы компенсировать, умножьте Икс (в настоящее время установлено 4) на 3 и снова замените, чтобы получить 12 + 12/4 = 15, проверяя, что решение Икс = 12.

Современные версии этого метода используют систематические способы выбора новых тестовых значений и связаны с вопросами о том, можно ли получить приближение к решению, и, если возможно, как быстро можно найти приближение.

Два исторических типа

Исторически можно выделить два основных типа метода ложного положения: простая ложная позиция и двойная ложная позиция.

Простая ложная позиция направлен на решение задач, связанных с прямой пропорциональностью. Такие задачи алгебраически можно записать в виде: определить Икс такой, что

${\displaystyle ax=b,}$

если а и б известны. Метод начинается с использования тестового входного значения Икс′, и нахождение соответствующего выходного значения б′ умножением: топор′ = б′. Затем правильный ответ находится путем пропорциональной регулировки, Икс = б/ б′ Икс′.

Двойная ложная позиция направлен на решение более сложных задач, которые алгебраически можно записать в виде: определить Икс такой, что

${\displaystyle f(x)=ax+c=0,}$

если известно, что

${\displaystyle f(x_{1})=b_{1},\qquad f(x_{2})=b_{2}.}$

Двойное ложное положение математически эквивалентно линейная интерполяция. Используя пару тестовых входов и соответствующую пару выходов, результат этого алгоритм данный,^[2]

${\displaystyle x={\frac {b_{1}x_{2}-b_{2}x_{1}}{b_{1}-b_{2}}},}$

будет запоминаться и выполняться наизусть. В самом деле, правило, данное Роберт Рекорд в его Земля Артес (ок. 1542 г.):^[2]

Гессе на этой работе, как оказалось, ведет.
По правде говоря, вы можете продолжить.
И первое дело по вопросу,
Хотя никакой правды в этом нет.
Такой фальшоде такой хороший землянин,
Эта истина скоро будет утрачена.
От многих бате до многих месяцев,
От к немногим возьмите и к немногим.
С кучей ioyne к немногим снова,
К меньшему добавляем к манье равнине.
В кроссвейнах размножаются противоположные роды,
Все верно ложным путем для поиска.

Для аффинного линейная функция,

${\displaystyle f(x)=ax+c,}$

двойное ложное положение обеспечивает точное решение, а для нелинейный функция ж он обеспечивает приближение что может быть последовательно улучшено итерация.

История

Простая техника ложного положения находится в клинопись таблички из древних Вавилонская математика, И в папирусы из древних Египетская математика.^[3][1]

Двойная ложная позиция возникла в поздней античности как чисто арифметический алгоритм. В древнем Китайский математический текст называется Девять глав математического искусства (九章 算術),^[4] Датируемая с 200 г. до н.э. по 100 г. н.э., большая часть главы 7 была посвящена алгоритму. Там процедура была обоснована конкретными арифметическими аргументами, а затем творчески применена к широкому кругу задач рассказа, в том числе к той, которая связана с тем, что мы бы назвали секущие линии на коническая секция. Более типичный пример - это проблема «совместной покупки»:^[5]

Теперь товар покупается совместно; каждый вносит 8 [монет], избыток - 3; каждый вносит 7, дефицит - 4. Скажите: количество людей, цена товара, что за каждый? Ответ: 7 человек, цена позиции 53.^[6]

Между 9 и 10 веками Египтянин математик Абу Камил написал ныне утерянный трактат об использовании двойной ложной позиции, известный как Книга двух ошибок (Китаб аль-Хатанаин). Самое старое из сохранившихся сочинений о двойной ложной позиции из Средний Восток это из Куста ибн Лука (10 век), Араб математик из Баальбек, Ливан. Он обосновал эту технику формальным, Геометрическое доказательство в евклидовом стиле. В традициях средневековая мусульманская математика, двойная ложная позиция была известна как хисаб аль-хатанаин («Расплата двумя ошибками»). Он веками использовался для решения практических задач, таких как коммерческие и юридические вопросы (раздел поместья по правилам Кораническое наследование ), а также чисто рекреационные проблемы. Алгоритм часто запоминали с помощью мнемоника, например, стих, приписываемый Ибн аль-Ясамин и диаграммы весов, объясненные аль-Хассар и Ибн аль-Банна, все трое - математики Марокканский происхождение.^[7]

Леонардо Пизанский (Фибоначчи ) посвятил 13 главе своей книги Liber Abaci (1202 г. н.э.) для объяснения и демонстрации использования двойного ложного положения, назвав метод регулис эльчатайн после аль-ханадайн метод, которому он научился Араб источники.^[7] В 1494 г. Пачоли использовал термин Эль Катайм в его книге Summa de arithmetica, вероятно, взяв термин из Фибоначчи. Другие европейские писатели следовали Пачоли и иногда переводили его на латынь или другие языки. Например, Тарталья переводит латинизированную версию термина Пачоли на просторечие «ложные позиции» в 1556 году.^[8] Термин Пачоли почти исчез в европейских работах 16-го века, а техника получила различные названия, такие как «Правило ложного», «Правило положения» и «Правило ложного положения». Регула Фальси появляется как латинизированная версия правила ложных еще в 1690 году.^[2]

Некоторые европейские авторы XVI века сочли необходимым извиниться за название метода в науке, которая стремится найти истину. Например, в 1568 году Хамфри Бейкер говорит:^[2]

Правило фальшивой ловушки названо так не потому, что она учит всякому обману или ложному ходу, а потому, что по вычисленным числам, взятым на всех мероприятиях, она учит определять истинное число, которое подвергается разоблачению, и это из всех вульгарных правил, которые действуют на практике. ) является y^е высочайшее качество.

Численный анализ

Метод ложного положения обеспечивает точное решение для линейных функций, но более прямые алгебраические методы вытеснили его использование для этих функций. Однако в численный анализ, двойная ложная позиция стала алгоритм поиска корней используется в итерационных методах численной аппроксимации.

Многие уравнения, включая большинство наиболее сложных, могут быть решены только с помощью итерационного численного приближения. Это метод проб и ошибок, при котором проверяются различные значения неизвестной величины. Этим методом проб и ошибок можно руководствоваться, вычисляя на каждом этапе процедуры новую оценку решения. Есть много способов получить расчетную оценку и Regula Falsi предоставляет один из них.

Для данного уравнения переместите все его члены в одну сторону так, чтобы оно имело вид ж (Икс) = 0, где ж некоторая функция неизвестной переменной Икс. Ценность c который удовлетворяет этому уравнению, то есть ж (c) = 0, называется корень или нуль функции ж и является решением исходного уравнения. Если ж это непрерывная функция и существуют две точки а₀ и б₀ такой, что ж (а₀) и ж (б₀) имеют противоположные знаки, то по теорема о промежуточном значении, функция ж имеет корень в интервале (а₀, б₀).

Есть много алгоритмы поиска корней которые можно использовать для получения приближений к такому корню. Один из самых распространенных - Метод Ньютона, но он может не найти корень при определенных обстоятельствах и может быть дорогостоящим в вычислительном отношении, поскольку требует вычисления функции производная. Необходимы другие методы, и один общий класс методов - это методы двухточечного брекетинга. Эти методы основаны на создании последовательности интервалов сокращения [а_k, б_k], на k-й шаг, такой что (а_k, б_k) содержит корень ж.

Методы двухточечного брекетинга

Эти методы начинаются с двух Икс-значения, первоначально найденные методом проб и ошибок, при которых ж (Икс) имеет противоположные признаки. В предположении непрерывности корень ж гарантированно находится между этими двумя значениями, то есть эти значения «заключают в скобки» корень. Затем выбирается точка строго между этими двумя значениями и используется для создания меньшего интервала, который по-прежнему ограничивает корень. Если c выбрана точка, то меньший интервал идет от c до конечной точки, где ж (Икс) имеет знак противоположный знаку ж (c). В невероятном случае ж (c) = 0, корень найден, и алгоритм останавливается. В противном случае процедура повторяется столько раз, сколько необходимо для получения приближения к корню с любой желаемой точностью.

Точку, выбранную в любом текущем интервале, можно рассматривать как оценку решения. Различные варианты этого метода включают разные способы вычисления этой оценки решения.

Сохранение брекетинга и обеспечение того, чтобы оценки решения лежали внутри интервалов брекетинга, гарантирует, что оценки решения будут сходиться к решению, а это гарантия недоступна с другими методами поиска корня, такими как Метод Ньютона или секущий метод.

Самый простой вариант, называемый метод деления пополам, вычисляет оценку решения как середина интервала брекетинга. То есть, если на шаге k, текущий интервал брекетинга [а_k, б_k], то новая оценка решения c_k получается

${\displaystyle c_{k}={\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}.}$

Это гарантирует, что c_k между а_k и б_k, тем самым гарантируя сходимость к решению.

Так как длина интервала брекетинга уменьшается вдвое на каждом шаге, ошибка метода деления пополам в среднем уменьшается вдвое с каждой итерацией. Метод получает примерно один десятичный знак точности на каждые 3 итерации.^{[нужна цитата ]}

В Regula Falsi (ложное положение) метод

Первые две итерации метода ложного положения. Красная кривая показывает функцию ж а синие линии - это секущие.

Скорость сходимости метода деления пополам можно было бы улучшить, используя другую оценку решения.

В Regula Falsi метод вычисляет новую оценку решения как Икс-перехват из отрезок соединение конечных точек функции в текущем интервале брекетинга. По сути, корень аппроксимируется путем замены фактической функции отрезком линии на интервале брекетинга, а затем с использованием классической формулы двойного ложного положения на этом отрезке линии.^[9]

Точнее, предположим, что в k-й итерации интервал брекетинга равен (а_k, б_k). Постройте линию через точки (а_k, ж (а_k)) и (б_k, ж (б_k)), как показано. Эта линия секущий или хорда графика функции ж. В точечно-наклонная форма, его уравнение имеет вид

${\displaystyle y-f(b_{k})={\frac {f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}}(x-b_{k}).}$

Теперь выберите c_k быть Икс-перехват этой строки, то есть значение Икс для которого у = 0, и подставим эти значения, чтобы получить

${\displaystyle f(b_{k})+{\frac {f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}}(c_{k}-b_{k})=0.}$

Решение этого уравнения для c_k дает:

${\displaystyle c_{k}=b_{k}-f(b_{k}){\frac {b_{k}-a_{k}}{f(b_{k})-f(a_{k})}}={\frac {a_{k}f(b_{k})-b_{k}f(a_{k})}{f(b_{k})-f(a_{k})}}.}$

Эта последняя симметричная форма имеет вычислительное преимущество:

По мере приближения к решению, а_k и б_k будут очень близко друг к другу и почти всегда одного знака. Такое вычитание может привести к потере значащих цифр. Потому что ж (б_k) и ж (а_k) всегда имеют противоположный знак, «вычитание» в числителе улучшенной формулы фактически является сложением (как и вычитание в знаменателе).

По номеру итерации k, число c_k вычисляется, как указано выше, а затем, если ж (а_k) и ж (c_k) иметь такой же знак, установить а_{k + 1} = c_k и б_{k + 1} = б_k, иначе положим а_{k + 1} = а_k и б_{k + 1} = c_k. Этот процесс повторяется до тех пор, пока корень не будет достаточно хорошо аппроксимирован.

Вышеупомянутая формула также используется в методе секанса, но метод секанса всегда сохраняет две последние вычисленные точки, и поэтому, хотя он немного быстрее, он не сохраняет скобки и может не сходиться.

Дело в том, что Regula Falsi всегда сходится, и у него есть версии, которые позволяют избежать замедления, что делает его хорошим выбором, когда требуется скорость. Однако скорость его сходимости может быть ниже, чем у метода деления пополам.

Анализ

Поскольку начальные конечные точкиа₀ и б₀ выбраны так, что ж (а₀) и ж (б₀) имеют противоположные знаки, на каждом шаге одна из конечных точек будет приближаться к корню ж.Если вторая производная от ж имеет постоянный знак (поэтому нет точка перегиба ) в интервале, затем одна конечная точка (та, где ж также имеет тот же знак) останется фиксированным для всех последующих итераций, пока конвергентная конечная точка будет обновлена. В результате, в отличие от метод деления пополам, ширина скобки не стремится к нулю (если только ноль не находится в точке перегиба, вокруг которой знак(ж ) = −sign (ж ")). Как следствие, линейное приближение к ж (Икс), который используется для выбора ложной позиции, не улучшается настолько быстро, насколько это возможно.

Одним из примеров этого явления является функция

${\displaystyle f(x)=2x^{3}-4x^{2}+3x}$

на исходной скобке [−1,1]. Левый конец, −1, никогда не заменяется (сначала он не меняется, а после первых трех итераций ж " отрицательна на интервале), и, следовательно, ширина скобки никогда не опускается ниже 1. Следовательно, правая конечная точка приближается к 0 с линейной скоростью (количество точных цифр растет линейно с скорость сходимости из 2/3).^{[нужна цитата ]}

Для прерывных функций можно ожидать, что этот метод найдет только точку, в которой функция меняет знак (например, в Икс = 0 для 1/Икс или функция знака ). Помимо изменения знака, метод также может сходиться к точке, где предел функции равен нулю, даже если функция не определена (или имеет другое значение) в этой точке (например, в Икс = 0 для функции, заданной ж (Икс) = абс (Икс) − Икс² когда Икс ≠ 0 и по ж (0) = 5, начиная с интервала [-0,5, 3,0]). Математически возможно с разрывными функциями, чтобы метод не сходился к нулевому пределу или изменению знака, но на практике это не проблема, поскольку для этого потребуется бесконечная последовательность совпадений для обеих конечных точек, чтобы застрять, сходясь к разрывам, где знак не меняется, например, в Икс = ±1 в

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}.}$

В метод деления пополам позволяет избежать этой гипотетической проблемы сходимости.

Улучшения в Regula Falsi

Хотя Regula Falsi всегда сходится, обычно значительно быстрее, чем деление пополам; бывают ситуации, которые могут замедлить его схождение - иногда до недопустимой степени. Эта проблема не уникальна для Regula Falsi: Кроме деления пополам, все численных методов решения уравнений может иметь при некоторых условиях проблему медленной сходимости или отсутствия сходимости. Иногда метод Ньютона и метод секущей расходиться вместо того, чтобы сходиться - и часто это происходит в тех же условиях, которые замедляют Регула Фальси конвергенция.

Но, хотя Regula Falsi является одним из лучших методов, и даже в исходной неулучшенной версии часто оказывается лучшим выбором; например, когда Ньютон не используется, потому что производная требует слишком много времени для вычисления, или когда Ньютона и Последовательные замены не смогли сойтись.

Регула фальси Режим отказа легко обнаружить: одна и та же конечная точка сохраняется дважды подряд. Проблема легко решается путем выбора измененной ложной позиции, выбранной для предотвращения замедления из-за этих относительно необычных неблагоприятных ситуаций. Ряд таких улучшений Regula Falsi Были предложены; два из них, алгоритм Иллинойса и алгоритм Андерсона – Бьорка, описаны ниже.

Алгоритм Иллинойса

Алгоритм Иллинойса вдвое уменьшает у-значение сохраненной конечной точки при следующем вычислении оценки, когда новая у-значение (то есть ж (c_k)) имеет тот же знак, что и предыдущий (ж (c_{k − 1})), то есть конечная точка предыдущего шага будет сохранена. Отсюда:

${\displaystyle c_{k}={\frac {{\frac {1}{2}}f(b_{k})a_{k}-f(a_{k})b_{k}}{{\frac {1}{2}}f(b_{k})-f(a_{k})}}}$

или

${\displaystyle c_{k}={\frac {f(b_{k})a_{k}-{\frac {1}{2}}f(a_{k})b_{k}}{f(b_{k})-{\frac {1}{2}}f(a_{k})}},}$

снижение веса одного из значений конечной точки, чтобы заставить следующее c_k происходить на этой стороне функции.^[10] Коэффициент ½, использованный выше, выглядит произвольным, но он гарантирует сверхлинейную сходимость (асимптотически алгоритм будет выполнять два обычных шага после любого модифицированного шага и имеет порядок сходимости 1,442). Есть и другие способы выбора масштабирования, которые обеспечивают еще лучшую скорость сверхлинейной сходимости.^[11]

Вышеуказанная корректировка Regula Falsi называется Алгоритм Иллинойса некоторыми учеными.^[10][12] Форд (1995) обобщает и анализирует этот и другие подобные суперлинейные варианты метода ложного положения.^[11]

Алгоритм Андерсона – Бьорка

Предположим, что в k-й итерации интервал брекетинга равен [а_k, б_k] и что функциональное значение новой расчетной оценки c_k имеет тот же знак, что и ж (б_k). В этом случае новый интервал брекетинга [а_{k + 1}, б_{k + 1}] = [а_k, c_k] а левая конечная точка была сохранена (пока что это то же самое, что и обычный алгоритм Regula Falsi и алгоритм Иллинойса).

Но в то время как алгоритм Иллинойса умножает ж (а_k) от 1/2, Алгоритм Андерсона – Бьорка умножает его на м, где м имеет одно из двух следующих значений:

${\displaystyle m=1-{\frac {f(c_{k})}{f(b_{k})}}}$ если это значение м положительный,

в противном случае пусть ${\displaystyle m={\frac {1}{2}}}$.

Для простых корней Андерсон-Бьорк был явным победителем в численных тестах Галдино.^[13][14]

Для множественных корней нет метода быстрее, чем деление пополам. Фактически, единственными методами, которые были так же быстры, как деление пополам, были три новых метода, введенных Галдино, но даже они были лишь немного быстрее, чем деление пополам.

Практические соображения

При решении одного или нескольких уравнений с помощью компьютера метод деления пополам является адекватным выбором. Хотя деление пополам не так быстро, как другие методы - когда они в лучшем виде и не имеют проблем - тем не менее, деление пополам гарантированно сходится с полезной скоростью, примерно вдвое уменьшая ошибку с каждой итерацией - получая примерно десятичную дробь. место точности через каждые 3 итерации.

Для ручного расчета с помощью калькулятора обычно используются более быстрые методы, и они обычно, но не всегда, сходятся быстрее, чем деление пополам. Но компьютер, даже используя деление пополам, решит уравнение с желаемой точностью так быстро, что нет необходимости пытаться сэкономить время, используя менее надежный метод - и каждый метод менее надежен, чем деление пополам.

Исключение было бы, если бы компьютерной программе приходилось решать уравнения очень много раз во время своего выполнения. Тогда время, сэкономленное более быстрыми методами, может быть значительным.

Затем программа может начать с метода Ньютона и, если метод Ньютона не сходится, переключиться на Regula Falsi, возможно, в одной из его улучшенных версий, например в версиях Иллинойса или Андерсона – Бьорка. Или, если даже это не сходится так хорошо, как деление пополам, переключитесь на деление пополам, которое всегда сходится с полезной, если не впечатляющей, скоростью.

Когда изменение у стал очень маленьким, и Икс тоже очень мало меняется, то метод Ньютона, скорее всего, не столкнется с проблемами и сойдется. Таким образом, при этих благоприятных условиях можно было бы переключиться на метод Ньютона, если бы вы хотели, чтобы ошибка была очень маленькой и хотелось очень быстрой сходимости.

Пример кода

Этот пример программы, написанной на Язык программирования C, является примером алгоритма Иллинойса. Чтобы найти положительное число Икс где cos (Икс) = Икс³, уравнение преобразуется к корневому виду ж (Икс) = cos (Икс) - Икс³ = 0.

#включают <stdio.h>#включают <math.h>двойной ж(двойной Икс){   вернуть потому что(Икс) - Икс*Икс*Икс;}/ * s, t: конечные точки интервала, в котором мы ищем   e: половина верхней границы относительной ошибки   m: максимальное количество итераций * /двойной FalsiMethod(двойной s, двойной т, двойной е, int м){   двойной р,fr;   int п, сторона=0;   / * начальные значения в конечных точках интервала * /   двойной фс = ж(s);   двойной футов = ж(т);   для (п = 0; п < м; п++)   {       р = (фс*т - футов*s) / (фс - футов);       если (фабрики(т-s) < е*фабрики(т+s)) перерыв;       fr = ж(р);       если (fr * футов > 0)       {         / * fr и ft имеют одинаковый знак, скопируйте r в t * /         т = р; футов = fr;         если (сторона==-1) фс /= 2;         сторона = -1;       }       еще если (фс * fr > 0)       {         / * fr и fs имеют одинаковый знак, скопируйте r в s * /         s = р;  фс = fr;         если (сторона==+1) футов /= 2;         сторона = +1;       }       еще       {         / * fr * f_ очень маленький (выглядит как ноль) * /         перерыв;       }     }    вернуть р;}int основной(пустота){    printf("% 0.15f п", FalsiMethod(0, 1, 5E-15, 100));    вернуть 0;}

После запуска этого кода окончательный ответ будет примерно 0,865474033101614.

Смотрите также

• Метод Риддерса, еще один метод поиска корней, основанный на методе ложного положения
• Метод Брента

использованная литература

1. Кац, Виктор Дж. (1998), История математики (2-е изд.), Эддисон Уэсли Лонгман, стр.15, ISBN  978-0-321-01618-8
2. Смит, Д. Э. (1958) [1925], История математики, II, Dover, pp. 437–441, ISBN  978-0-486-20430-7
3. Жан-Люк Шабер, изд., История алгоритмов: от гальки до микрочипа (Берлин: Springer, 1999), стр. 86-91.
4. Джозеф Нидхэм (1 января 1959 г.). Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о небесах и Земле. Издательство Кембриджского университета. С. 147–. ISBN  978-0-521-05801-8.
5. «Девять глав». www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Получено 2019-02-16.
6. Шен Каншен, Джон Н. Кроссли и Энтони В.-К. Лунь, 1999. Девять глав по математическому искусству: компаньоны и комментарии. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, стр. 358.
7. Шварц, Р. К. (2004). Проблемы происхождения и развития Хисаб аль-Хатаайн (расчет двойным ложным положением). Восьмое Североафриканское совещание по истории арабской математики. Радес, Тунис. Доступно в Интернете по адресу: http://facstaff.uindy.edu/~oaks/Biblio/COMHISMA8paper.doc и «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-05-16. Получено 2012-06-08.
8. Генерал Траттато, я, Венеция, 1556, стр. фол. 238, в, Регола Хелкатайм (словарь арабо) Che in nostra lingua vuol dire delle false Positioni
9. Конте, С. Д. (1965), Элементарный численный анализ / алгоритмический подход, Макгроу-Хилл, стр. 40
10. Дальквист, Гермунд; Бьорк, Оке (2003) [1974]. Численные методы. Дувр. С. 231–232. ISBN  978-0486428079.
11. Форд, Дж. А. (1995), Улучшенные алгоритмы типа Иллинойса для численного решения нелинейных уравнений, Технический отчет, Университет Эссекса Press, CiteSeerX  10.1.1.53.8676, CSM-257
12. Dowell, M .; Джаррат, П. (1971). «Модифицированный метод regula falsi для вычисления корня уравнения». НЕМНОГО. 11 (2): 168–174. Дои:10.1007 / BF01934364.
13. Галдино, Сержио (2011). «Семейство методов поиска корней regula falsi». Материалы Всемирного конгресса по технике и технологиям 2011 г.. 1. Получено 9 сентября 2016.
14. Галдино, Сержио (2011). «Семейство методов поиска корней regula falsi». Получено 11 июля 2017.

дальнейшее чтение

• Ричард Л. Берден, Дж. Дуглас Фейрес (2000). Численный анализ, 7-е изд. Брукс / Коул. ISBN  0-534-38216-9.
• L.E. Сиглер (2002). Liber Abaci Фибоначчи, Книга расчетов Леонардо Пизано. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN  0-387-40737-5.