Китайская математика - Chinese mathematics

Математика в Китае возникла независимо к XI веку до нашей эры.[1] Китайцы самостоятельно разработали настоящий номер система, которая включает в себя значительно большие и отрицательные числа, больше одного система счисления (база 2 и база 10 ), алгебра, геометрия, теория чисел и тригонометрия.

в династия Хан Китайцы добились существенного прогресса в поиске n-й корень положительных чисел и решение линейная конгруэнтность уравнения.[2] Основные тексты того периода, Девять глав математического искусства и Книга о числах и вычислениях дал подробные процессы решения различных математических задач в повседневной жизни.[3] В обоих текстах все процедуры были рассчитаны с использованием счетной доски, и они включали обратные элементы а также Евклидовы деления. В текстах предусмотрены процедуры, аналогичные Гауссово исключение и Метод Хорнера за линейная алгебра и модульный метод за Диофантово уравнение, соответственно.[4] Достижения китайской алгебры достигли своего апогея в 13 веке, когда Ли Цзинчжай изобрел тиан юань шо.

Предполагается, что в результате очевидных лингвистических и географических барьеров, а также содержания, китайская математика и математика древнего средиземноморского мира развивались более или менее независимо до того времени, когда Девять глав математического искусства достигла окончательной формы, а Книга о числах и вычислениях и Хуайнаньцзы примерно современники классической греческой математики. Вероятен некоторый обмен идеями в Азии посредством известных культурных обменов, по крайней мере, с римских времен. Часто элементы математики ранних обществ соответствуют рудиментарным результатам, обнаруженным позже в таких областях современной математики, как геометрия или теория чисел. В теорема Пифагора Например, был засвидетельствован ко времени Герцог Чжоу. Знание Треугольник Паскаля также было показано, что существовали в Китае столетия назад Паскаль,[5] такие как китайцы династии Сун эрудит Шен Куо.

Человек в черной броне стоит перед ракетой, прикрепленной к палке, причем палка держится на двух X-образных деревянных скобах.
История науки и техники в Китае
По теме
По эпохе

Ранняя китайская математика

Визуальное доказательство для треугольника (3, 4, 5), как в Чжуби Суаньцзин 500–200 до н. Э.
Система счисления костяного алфавита Oracle
счетный стержень значение разряда десятичное

Простая математика на скрипт кости оракула восходит к Династия Шан (1600–1050 гг. До н.э.). Одна из старейших сохранившихся математических работ - И Цзин, которые оказали большое влияние на письменную литературу во время Династия Чжоу (1050–256 до н. Э.). Что касается математики, книга включает изощренное использование гексаграммы. Лейбниц Как отмечалось, И Цзин (И Цзин) содержал элементы двоичных чисел.

Со времен Шанского периода китайцы уже полностью развили десятичный система. С давних времен китайцы понимали основные арифметика (который доминировал в истории Дальнего Востока), алгебра, уравнения, и отрицательные числа с счетные стержни.[нужна цитата ] Хотя китайцы были больше сосредоточены на арифметике и продвинутой алгебре для астрономический использования, они также были первыми, кто разработал отрицательные числа, алгебраическая геометрия (только китайская геометрия) и использование десятичных знаков.

Математика была одним из Лиу Йи (六艺) или Шесть искусств, студенты должны были освоить Династия Чжоу (1122–256 до н. Э.). Чтобы стать идеальным джентльменом, или, в китайском смысле слова, "Человек эпохи Возрождения ". Шесть искусств уходят корнями в Конфуцианская философия.

Самая старая из существующих работ по геометрии в Китае происходит от философских Мохист канон c. 330 г. до н.э., составлено последователями Mozi (470–390 до н. Э.). В Мо Цзин описал различные аспекты многих областей, связанных с физической наукой, а также предоставил небольшой объем информации по математике. Он предоставил «атомарное» определение геометрической точки, в котором говорится, что линия разделена на части, а часть, у которой нет оставшихся частей (т.е. не может быть разделена на более мелкие части) и, таким образом, образует крайний конец линии, является точкой. .[6] Так же, как Евклид первое и третье определения и Платон 'начало строки', Мо Цзин утверждал, что «точка может стоять в конце (линии) или в ее начале, как голова при родах. (Что касается ее невидимости), нет ничего похожего на нее».[7] Подобно атомщики из Демокрит, то Мо Цзин заявил, что точка является самой маленькой единицей и не может быть разрезана пополам, поскольку «ничто» не может быть разделено пополам.[7] Он заявил, что две строки одинаковой длины всегда заканчиваются в одном и том же месте,[7] давая определения для сравнение длин и для параллели,[8] наряду с принципами пространства и ограниченного пространства.[9] В нем также описан тот факт, что плоскости без качества толщины нельзя складывать в стопку, поскольку они не могут касаться друг друга.[10] В книге представлены слова для определения окружности, диаметра и радиуса, а также определение объема.[11]

В истории развития математики отсутствуют некоторые свидетельства. До сих пор ведутся споры о некоторых математических классиках. Например, Чжуби Суаньцзин датируется примерно 1200–1000 гг. до н.э., однако многие ученые полагали, что оно было написано между 300 и 250 г. до н.э. В Чжуби Суаньцзин содержит подробное доказательство Теорема Гоугу (частный случай Теорема Пифагора ), но больше фокусируется на астрономических расчетах. Однако недавнее археологическое открытие Бамбуковые шлепанцы Tsinghua, датированный c. 305 г. до н.э., раскрыл некоторые аспекты до-Цинь математика, такая как первая известная десятичный Таблица умножения.[12]

В счеты впервые упоминается во II веке до н.э., рядом с «расчетом стержнями» (Суан Цзы), в котором маленькие бамбуковые палочки помещаются в последовательные клетки шахматной доски.[13]

Цинь математика

Мало что известно о Династия Цинь математики, или раньше, из-за сожжение книг и захоронение ученых, около 213–210 гг. до н. э. Сведения об этом периоде можно определить по гражданским проектам и историческим свидетельствам. Династия Цинь создала стандартную систему весов. Гражданские проекты династии Цинь были значительными подвигами инженерной мысли. Император Цинь Шихуан (秦始皇) приказал многим мужчинам построить большие статуи в натуральную величину для дворцовой гробницы вместе с другими храмами и святынями, и форма гробницы была разработана с учетом геометрических навыков архитектуры. Несомненно, что один из величайших подвигов в истории человечества - Великая китайская стена, потребовалось много математических методов. Во всех зданиях и грандиозных проектах династии Цинь использовались сложные формулы вычисления объема, площади и пропорции.

Бамбуковые деньги Цинь, купленные на антикварном рынке Гонконг посредством Академия Юэлу, по предварительным данным, содержит самый ранний эпиграфический образец математического трактата.

Ханьская математика

Дальнейшая информация: Наука и техника династии Хань § Математика и астрономия
Девять глав математического искусства.

Во времена династии Хань числа были преобразованы в десятичную систему счисления и использовались на счетной доске с набором счетные стержни называется Chousuan, состоящий всего из девяти символов с пустым местом на счетной доске, представляющим ноль.[2] Отрицательные числа и дроби также были включены в решения великих математических текстов того периода.[3] Математические тексты того времени Суан шу шу и Цзючжан Суаньшу решены основные арифметические задачи, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.[3] Кроме того, они предоставили процессы извлечения квадратного и кубического корня, которые в конечном итоге были применены для решения квадратных уравнений до третьего порядка.[4] Оба текста также добились значительного прогресса в линейной алгебре, а именно в решении систем уравнений с множественными неизвестными.[14] Значение пи в обоих текстах принято равным трем.[15] Однако математики Лю Синь (г. 23) и Чжан Хэн (78–139) дали более точные приближения для число Пи чем использовали китайцы предыдущих веков.[3] Математика была разработана для решения практических задач в то время, как раздел земли или проблемы, связанные с разделением оплаты.[16] Китайцы не сосредотачивались на теоретических доказательствах, основанных на геометрии или алгебре в современном смысле доказательства уравнений для определения площади или объема.[17] Книга вычислений и Девять глав математического искусства содержат многочисленные практические примеры, которые можно использовать в повседневной жизни.[17]

Суан шу шу

В Суан шу шу («Труды по расчету» или «Книга вычислений») - это древний китайский текст по математике длиной около семи тысяч знаков, написанный на 190 бамбуковых полосках.[18] Он был обнаружен вместе с другими писаниями в 1984 году, когда археологи открыл гробницу в Чжанцзяшань в Хубэй провинция. Из документальных свидетельств известно, что эта гробница была закрыта в 186 г. до н.э., в начале Западной Европы. Династия Хан.[3] Хотя его связь с «Девятью главами» все еще обсуждается учеными, некоторые из его содержания явно проходят там параллели. Текст Суан шу шу однако гораздо менее систематичен, чем Девять глав, и, кажется, состоит из ряда более или менее независимых коротких разделов текста, взятых из ряда источников.[18]

В «Книге вычислений» содержится много подробных сведений о задачах, которые будут расширены в «Девяти главах по математическому искусству».[18] Пример элементарной математики в Суан шу шу, то квадратный корень аппроксимируется с помощью метод ложной позиции который гласит: «объединить избыток и недостаток в качестве делителя; (взяв) числитель дефицита, умноженный на знаменатель избытка, и числитель избытка, умноженный на знаменатель дефицита, объедините их в качестве делимого».[18] Кроме того, The Book of Computations решает системы двух уравнений и двух неизвестных, используя один и тот же метод ложного положения.[14]

Девять глав математического искусства

Девять глав математического искусства китайский математика книга, древнейшая археологическая дата которой - 179 г. н.э. (традиционно датируется 1000 г. до н.э.), но, возможно, уже 300–200 гг. до н.э.[19] Хотя автор (ы) неизвестен, они сделали большой вклад в восточный мир. Проблемы задаются вопросами, за которыми сразу же следуют ответы и процедура.[16] В тексте нет формальных математических доказательств, только пошаговая процедура.[20] Комментарий Лю Хуэя предоставил геометрические и алгебраические доказательства проблем, поставленных в тексте.[2]

Девять глав математического искусства была одной из самых влиятельных китайских математических книг и состоит из 246 задач.[19] Позже он был включен в В Десять вычислительных канонов, который стал основой математического образования в последующие века.[16] В эту книгу вошли 246 задач по геодезии, сельскому хозяйству, партнерствам, инженерии, налогообложению, расчетам, решению уравнений и свойствам прямоугольных треугольников.[16] Девять глав внес существенные дополнения в решение квадратных уравнений аналогично Метод Хорнера.[4] Он также внес значительный вклад в «фанчэн» или то, что сейчас известно как линейная алгебра.[14] Глава седьмая решает система линейных уравнений с двумя неизвестными, используя метод ложного положения, аналогичный The Book of Computations.[14] В восьмой главе рассматривается решение определенных и неопределенных одновременных линейных уравнений с использованием положительных и отрицательных чисел, а одна задача связана с решением четырех уравнений с пятью неизвестными.[14] Девять глав решает системы уравнений, используя методы, аналогичные современным Гауссово исключение и обратная замена.[14]

Версия Девять глав который послужил основой для современных интерпретаций, был результатом усилий ученого Дай Чжэня. Расшифровка проблем прямо из Энциклопедия Юнлэ, затем он приступил к внесению исправлений в исходный текст, наряду с включением своих собственных примечаний, объясняющих его доводы, стоящие за изменениями.[21] Его законченная работа будет впервые опубликована в 1774 году, но новая редакция будет опубликована в 1776 году, чтобы исправить различные ошибки, а также включить версию Девять глав из «Южной песни», содержащей комментарии Луи Хуэя и Ли Чуньфэна. Окончательная версия работы Дай Чжэня вышла в 1777 году под названием Ripple Pavilion, причем эта окончательная версия широко распространяется и становится стандартом для современных версий Девять глав.[22] Однако эта версия подверглась тщательной проверке со стороны Го Шучэня, который утверждал, что отредактированная версия все еще содержит множество ошибок и что не все первоначальные поправки были сделаны самим Дай Чжэнем.[21]

Расчет пи

Задачи в Девяти главах математического искусства принимают число пи равным трем при вычислении задач, связанных с кругами и сферами, таких как площадь сферической поверхности.[19] В тексте нет явной формулы для вычисления числа Пи равным трем, но она используется в задачах как «Девяти глав по математическому искусству», так и «Записи мастера», которые были созданы в один и тот же период времени.[15] Историки считают, что это число Пи было вычислено с использованием соотношения 3: 1 между длиной окружности и диаметром круга.[19] Некоторые ханьские математики пытались улучшить это число, например Лю Синь, который, как полагают, оценил число Пи в 3,154.[3] Позже Лю Хуэй попытался улучшить расчет, вычислив число пи равным 314,1024 (низкая оценка числа). Лю вычислил это число, используя многоугольники внутри шестиугольника в качестве нижнего предела по сравнению с кругом.[23] Позже Цзу Чунчжи обнаружил, что число Пи составляет 3,1415926 <π <3,14159, используя многоугольники с 24 576 сторонами. Этот расчет будет открыт в Европе в 16 веке.[24]

Нет явного метода или записи того, как он рассчитал эту оценку.[3]

Деление и извлечение корня

Основные арифметические процессы, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, существовали еще до династии Хань.[3] Девять глав математического искусства воспринимайте эти базовые операции как должное и просто поручайте читателю их выполнять.[14] Математики Хань вычисляли квадратные и кубические корни аналогично делению, а задачи деления и извлечения корня встречаются в четвертой главе книги. Девять глав математического искусства.[25] Вычисление корней в квадрате и кубе чисел выполняется путем последовательного приближения, так же, как деление, и часто использует аналогичные термины, такие как делимое (ши) и делитель (фа) на протяжении всего процесса.[4] Затем этот процесс последовательного приближения был распространен на решение квадратичных уравнений второго и третьего порядка, таких как , используя метод, аналогичный Метод Хорнера.[4] Этот метод не был распространен на решение квадратичных уравнений n-го порядка во время династии Хань; однако в конечном итоге этот метод был использован для решения этих уравнений.[4]

Фанчэн на счетной доске

Линейная алгебра

Книга вычислений - первый известный текст, в котором решаются системы уравнений с двумя неизвестными.[14] Всего существует три группы проблем. Книга вычислений вовлечение решения систем уравнений с методом ложного положения, которые снова претворяются в жизнь.[14] Глава седьмая Девять глав математического искусства также занимается решением системы двух уравнений с двумя неизвестными с помощью метода ложного положения.[14] Чтобы найти большее из двух неизвестных, метод ложного положения инструктирует читателя перемножить второстепенные члены или zi (которые являются значениями, указанными для избытка и дефицита) с основными условиями му.[14] Чтобы найти меньшее из двух неизвестных, просто сложите второстепенные члены.[14]

Глава восьмая Девять глав математического искусства занимается решением бесконечных уравнений с бесконечными неизвестными.[14] Этот процесс на протяжении всей главы называется «процедурой фанчэн».[14] Многие историки предпочли оставить термин Fangcheng не переведено из-за противоречивых данных о значении этого термина. Многие историки переводят это слово как линейная алгебра сегодня. В этой главе процесс исключения Гаусса и обратной подстановки используется для решения систем уравнений со многими неизвестными.[14] Задачи были выполнены на счетной доске и включали использование отрицательных чисел, а также дробей.[14] Счетная доска была фактически матрица, где верхняя строка - это первая переменная одного уравнения, а нижняя - последняя.[14]

Комментарий Лю Хуэя к Девять глав математического искусства

Метод истощения Лю Хуэя

Лю Хуэй комментарий к Девять глав математического искусства - это самое раннее из доступных изданий оригинального текста.[19] Многие считают, что Хуэй стал математиком вскоре после династии Хань. В своем комментарии Хуэй уточнил и доказал некоторые проблемы с алгебраической или геометрической точки зрения.[17] Например, во всем Девять глав математического искусства, в задачах, касающихся кругов или сфер, значение пи принимается равным трем.[15] В своем комментарии Лю Хуэй находит более точную оценку числа Пи, используя метод истощения.[15] Метод включает создание последовательных многочленов внутри круга, так что в конечном итоге площадь многоугольника высшего порядка будет идентична площади круга.[15] Используя этот метод, Лю Хуэй утверждал, что значение пи составляет около 3,14.[3] Лю Хуэй также представил геометрическое доказательство извлечения квадратного и кубического корня, аналогичное греческому методу, который включал вырезание квадрата или куба по любой линии или сечения и определение квадратного корня посредством симметрии оставшихся прямоугольников.[25]

Математика в период разобщенности

Обзор морского острова Лю Хуэем
Алгоритм Сунзи для деления 400 г. н.э.
деление аль-Хорезми в 9 веке
Статуя Цзу Чунчжи.

В третьем веке Лю Хуэй написал свой комментарий к Девяти главам, а также написал Хайдао Суаньцзин которые касались использования теоремы Пифагора (уже известной по 9 главам) и тройной, четверной триангуляции для съемки; его достижения в области математических исследований превышали на тысячелетие достижения Запада.[26] Он был первым китайским математиком, который вычислил π= 3,1416 с его π алгоритм. Он обнаружил использование Принцип Кавальери найти точную формулу объема цилиндра, а также разработать элементы исчисление бесконечно малых в течение 3 века н.э.

дробная интерполяция для числа пи

В четвертом веке другой влиятельный математик по имени Цзу Чунчжи, представил Да Мин Ли. Этот календарь был специально рассчитан для предсказания многих космологических циклов, которые произойдут за определенный период времени. На самом деле о его жизни известно очень мало. Сегодня единственные источники находятся в Книга Суй, теперь мы знаем, что Цзу Чунчжи был одним из поколений математиков. Он использовал пи-алгоритм Лю Хуэя, примененный к 12288-угольнику, и получил значение пи с точностью до 7 десятичных знаков (от 3,1415926 до 3,1415927), что останется наиболее точным приближением π, доступным в течение следующих 900 лет. Он также применил интерполяцию Хэ Чэнтяна для приближения иррационального числа дробью в своих астрономических и математических работах, которые он получил как хорошее приближение дроби для числа пи; Ёсио Миками заметил, что ни греки, ни индусы, ни арабы не знали об этом приближении дроби к пи, пока голландский математик Адриан Антонисзум не открыл его заново в 1585 году, «поэтому китайцы обладали этим самым необычным из всех дробных значений над на целое тысячелетие раньше Европы "[27]

Вместе со своим сыном Цзу Гэном Цзу Чунчжи применил принцип Кавальери, чтобы найти точное решение для вычисления объема сферы. Помимо формул для определения объема сферы, его книга также включала формулы кубических уравнений и точное значение числа пи. Его работа, Чжуй Шу был исключен из программы математики во время династии Сун и утерян. Многие считали, что Чжуй Шу содержит формулы и методы для линейный, матричная алгебра, алгоритм расчета стоимости π, формула объема шара. Текст должен также ассоциироваться с его астрономическими методами интерполяции, которые содержали бы знания, подобные нашей современной математике.

Математическое руководство под названием Математическая классика Сунзи датированный между 200 и 400 годами нашей эры содержал наиболее подробное пошаговое описание умножение и алгоритм деления со счетными стержнями. Интересно, что Сунзи могли повлиять на развитие системы счисления и системы счисления и связанные с ними Дивизия галеры на Западе. Европейские источники узнали о методах определения места в 13 веке, из латинского перевода работы начала 9 века Аль-Хорезми. Изложение Хорезми почти идентично алгоритм деления в Сунзи даже в отношении стилистических вопросов (например, использование пробелов для представления нулей в конце); сходство предполагает, что результаты не могли быть независимым открытием. Исламские комментаторы работы Аль-Хорезми полагали, что она в первую очередь обобщает индуистские знания; Неспособность аль-Хорезми указать свои источники затрудняет определение того, узнали ли эти источники о процедуре из Китая.[28]

В V веке руководство называлось "Чжан Цюцзянь Суньцзин "обсуждали линейные и квадратные уравнения. К этому моменту у китайцев была концепция отрицательные числа.

Тан математика

Посредством династия Тан изучение математики было довольно стандартным в крупных школах. Десять вычислительных канонов представлял собой собрание десяти китайских математических работ, составленных математиком ранней династии Тан Ли Чуньфэном (李淳风 602–670), в качестве официальных математических текстов для императорских экзаменов по математике. В Династия Суй и династия Тан руководила «школой вычислений».[29]

Ван Сяотун был великим математиком в начале династия Тан, и он написал книгу: Джигу Суаньцзин (Продолжение древней математики), где численные решения, общие кубические уравнения которых появляются впервые[30]

Первые знания по математике (арифметике) тибетцы получили в Китае во время правления Нам-ри Сронг Бтсан, умерший в 630 г.[31][32]

В стол из синусы посредством Индийский математик, Арьябхата, были переведены в китайскую математическую книгу Кайюань Чжаньцзин, составленный в 718 году нашей эры во времена династии Тан.[33] Хотя китайцы преуспели в других областях математики, например в твердой геометрия, биномиальная теорема, и сложный алгебраический формулы, ранние формы тригонометрия не были так широко оценены, как в современной Индии и Исламская математика.[34]

И Син, математику и буддийскому монаху приписали расчет касательной таблицы. Вместо этого ранние китайцы использовали эмпирический заменитель, известный как Чонг Ча, в то время как практическое использование плоской тригонометрии при использовании синуса, тангенса и секанса было известно.[33] И Син был известен своим гением и, как известно, подсчитывал количество возможных позиций в настольной игре го (хотя без символа нуля ему было трудно выразить это число).

Сун и юань математика

Северная династия Сун математик Цзя Сянь разработал аддитивный мультипликативный метод извлечения квадратного корня и кубического корня, в котором реализовано правило «Горнера».[35]

Треугольник Ян Хуэй (Треугольник Паскаля ) с помощью стержневых цифр, как показано в публикации Чжу Шицзе в 1303 г.

Четыре выдающихся математика возникли во время Династия Сун и Династия Юань, особенно в двенадцатом и тринадцатом веках: Ян Хуэй, Цинь Цзюшао, Ли Чжи (Ли Е) и Чжу Шицзе. Ян Хуэй, Цинь Цзюшао, Чжу Шицзе использовали Хорнер -Руффини метод шестьсот лет назад для решения определенных типов одновременных уравнений, корней, квадратных, кубических и четвертых уравнений. Ян Хуэй также был первым человеком в истории, который обнаружил и доказал "Треугольник Паскаля ", наряду с его биномиальным доказательством (хотя самое раннее упоминание о треугольнике Паскаля в Китае существует до одиннадцатого века нашей эры). Ли Чжи, с другой стороны, исследовал форму алгебраической геометрии, основанную на тиан юань шо. Его книга; Сеюань Хайцзин произвел революцию в идее вписать круг в треугольники, превратив эту геометрическую задачу в алгебру вместо традиционного метода использования теоремы Пифагора. Го Шоуцзин того времени также работал над сферической тригонометрией для точных астрономических расчетов. На этом этапе математической истории многие современные западные математики уже были открыты китайскими математиками. На какое-то время все затихло, пока не наступил ренессанс китайской математики тринадцатого века. Это привело к тому, что китайские математики решали уравнения методами, которые Европа не знала до восемнадцатого века. Пик этой эпохи пришел с Чжу Шицзе две книги Суаньсюэ Цимэн и Сиюань юцзянь. Сообщается, что в одном случае он дал метод, эквивалентный Гаусс стержневое уплотнение.

Цинь Цзюшао (ок. 1202–1261) был первым, кто ввел нулевой символ в китайскую математику.[36] До этого нововведения в системе знаков вместо нулей использовались пробелы. счетные стержни.[37] Одним из наиболее важных вкладов Цинь Цзюшао был его метод решения числовых уравнений высокого порядка. Ссылаясь на решение Цинь уравнения 4-го порядка, Йошио Миками сказал: «Кто может отрицать факт использования выдающегося процесса Хорнера в Китае, по крайней мере, почти на шесть долгих веков раньше, чем в Европе?»[38] Цинь также решил уравнение 10-го порядка.[39]

Треугольник Паскаля был впервые проиллюстрирован в Китае Ян Хуэем в его книге Сянцзе Цзючжан Суанфа (详解 九章 算法), хотя он был описан ранее около 1100 г. Цзя Сянь.[40] Хотя Введение в вычислительные исследования (算 学 启蒙) написано Чжу Шицзе (эт. 13 век) в 1299 г. не содержал ничего нового на китайском языке алгебра, это оказало большое влияние на развитие Японская математика.[41]

Алгебра

Сеюань Хайцзин

Основная статья: Сеюань Хайцзин
Вписанный круг Ли Е в треугольнике:Схема круглого города
Ян Хуэй магические концентрические круги - числа на каждом круге и диаметре (не считая средних 9) в сумме равняются 138

Сеюань Хайцзин (Китайский : 測 圓 海 鏡; пиньинь : Сэйуан Хоицзинь), или же Морское зеркало круговых измерений, представляет собой набор из 692 формул и 170 задач, связанных с вписанной окружностью в треугольник, написанных Ли Чжи (или Ли Йе) (1192–1272 гг.). Он использовал Тянь Юань Шу для преобразования сложных задач геометрии в задачи чистой алгебры. Затем он использовал фан фа, или же Метод Хорнера, чтобы решить уравнения степени до шести, хотя он не описал свой метод решения уравнений.[42] "Ли Чжи (или Ли Йе, 1192–1279), математик из Пекина, которому Хубилай Хан предложил в 1206 году правительственный пост, но вежливо нашел предлог, чтобы отклонить его. Его Цэ-юань хай-цзин (Морское зеркало круговых измерений) включает 170 задач, [...] касающихся некоторых из задач, приводящих к полиномиальным уравнениям шестой степени. Хотя он не описал свой метод решения уравнений, похоже, что он не сильно отличался от того, который использовали Чу Ши-цзе и Хорнер. Другими, использовавшими метод Хорнера, были Цинь Цзю-шао (около 1202–1261 гг.) И Ян Хуэй (около 1261–1275 гг.).

Нефритовое зеркало четырех неизвестных

Факсимиле Чжу Шицзе Нефритовое зеркало четырех неизвестных

Си-юань юй-цзянь (四 元 玉 鑒), или Нефритовое зеркало четырех неизвестных, был написан Чжу Шицзе в 1303 г. и знаменует пик развития китайской алгебры. Четыре элемента, называемые небом, землей, человеком и материей, представляли четыре неизвестные величины в его алгебраических уравнениях. Он имеет дело с одновременными уравнениями и с уравнениями степени до четырнадцати. Автор использует метод фан фа, сегодня звонил Метод Хорнера, чтобы решить эти уравнения.[43]

Многие уравнения суммирующих рядов без доказательства приведены в Зеркало. Некоторые из суммирующих рядов:[44]

Математический трактат в девяти разделах

Шу-шу чиу-чанг, или же Математический трактат в девяти разделах, был написан богатым губернатором и министром Цинь Чиу-шао (ок. 1202 - ок. 1261 г. н.э.) и с изобретением метода решения одновременных сравнений, это знаменует высшую точку в китайском неопределенном анализе.[42]

Магические квадраты и магические круги

Самый ранний из известных магические квадраты порядка больше трех относятся к Ян Хуэй (около 1261–1275 гг.), которые работали с магическими квадратами порядка десяти.[45] Он также работал с магический круг.

Тригонометрия

Эмбриональное состояние тригонометрия в Китае медленно начали меняться и развиваться во время династии Сун (960–1279), когда китайские математики начали уделять больше внимания необходимости сферической тригонометрии в календарной науке и астрономических расчетах.[33] В эрудит Китайский ученый, математик и чиновник Шен Куо (1031–1095) использовали тригонометрические функции для решения математических задач хорд и дуг.[33] Виктор Дж. Кац пишет, что в формуле Шена «техника пересечения кругов» он создал приближение дуги круга. s к s = c + 2v2/d, куда d это диаметр, v это Версина, c это длина хорды c растягивая дугу.[46] Сал Рестиво пишет, что работа Шена о длинах дуг окружностей послужила основой для сферическая тригонометрия разработан в 13 веке математиком и астрономом Го Шоуцзин (1231–1316).[47] Как утверждают историки Л. Гоше и Джозеф Нидхэм, Го Шоуцзин использовал сферическая тригонометрия в своих расчетах по улучшению календарная система и Китайская астрономия.[33][48] Наряду с более поздней иллюстрацией математических доказательств Го на китайском языке XVII века, Нидхэм утверждает, что:

Го использовал четырехугольную сферическую пирамиду, базальный четырехугольник которой состоял из одной экваториальной и одной эклиптической дуги вместе с двумя. дуги меридианов, один из которых прошел через летнее солнцестояние точка ... С помощью таких методов он смог получить du lü (степени экватора, соответствующие степеням эклиптики), ji cha (значения хорд для данных дуг эклиптики) и cha lü (разность хордов дуг, различающихся на 1 степень).[49]

Несмотря на достижения Шэнь и Го в тригонометрии, еще одна существенная работа по китайской тригонометрии не будет опубликована снова до 1607 года, с двойной публикацией Элементы Евклида китайским чиновником и астрономом Сюй Гуанци (1562–1633) и итальянский иезуит Маттео Риччи (1552–1610).[50]

Мин математика

После свержения Династия Юань Китай с подозрением относился к монгольским знаниям. Суд отказался от математики и физики в пользу ботаника и фармакология. Имперские экзамены включали немного математики, а то немногое, что они включали, игнорировало последние разработки. Марцлофф пишет:

В конце XVI века китайская автохтонная математика, известная самим китайцам, не представляла собой почти ничего, немногим больше, чем вычисления на счетах, тогда как в XVII и XVIII веках ничто не могло сравниться с революционным прогрессом в театре европейской науки. . Более того, в тот же период никто не мог сообщить о том, что происходило в более отдаленном прошлом, поскольку сами китайцы знали об этом лишь отрывочно. Не следует забывать, что в самом Китае автохтонная математика не была широко открыта заново до последней четверти XVIII века.[51]

Соответственно, ученые уделяли меньше внимания математике; выдающиеся математики, такие как Гу Инсян и Тан Шуньчжи кажется, не знали Тянь Юань Шу (Увеличить умножение) метод.[52] Без устных собеседников, объясняющих их, тексты быстро становились непонятными; что еще хуже, большинство проблем можно было решить с помощью более элементарных методов. Итак, для среднего ученого Тяньюань казалось нумерология. Когда У Цзин соединил все математические работы предыдущих династий в Аннотации вычислений в девяти главах математического искусства, он пропустил Тянь Юань Шу и метод умножения увеличения.[53][неудачная проверка ]

Счеты.

Вместо этого математический прогресс сосредоточился на вычислительных инструментах. В 15 веке счеты начали свое существование. Суан Пан форма. Простой в использовании и переноске, быстрый и точный, он быстро обогнал стержневое исчисление в качестве предпочтительной формы вычислений. Чжусуань, арифметические вычисления на счетах вдохновили на создание множества новых работ. Суанфа Тунцзун (Общий источник вычислительных методов), 17-томная работа, опубликованная в 1592 г. Ченг Давэй, использовались более 300 лет.[54] Чжу Зайюй, принц Чжэн использовал счет на 81 позицию для вычисления квадратного корня и кубического корня с точностью от 2 до 25 цифр, что позволило ему разработать система равного темперамента.

Хотя этот переход от счетных стержней к счетам позволил сократить время вычислений, он также мог привести к стагнации и упадку китайской математики. Богатое узором расположение цифр счетных стержней на счетных досках вдохновило китайцев на многие изобретения в математике, такие как принцип перекрестного умножения дробей и методы решения линейных уравнений. Точно так же японские математики испытали влияние числовой схемы счетного стержня в своем определении концепции матрицы. Алгоритмы для счётов не привели к подобным концептуальным достижениям. (Это различие, конечно, современное: до 20 века китайская математика была исключительно вычислительной наукой.[55])

В конце 16 века Маттео Риччи решил опубликовать западные научные труды, чтобы устроиться при императорском дворе. С помощью Сюй Гуанци, он смог перевести Евклида Элементы используя те же методы, которые используются при обучении классическим буддийским текстам.[56] Другие миссионеры последовали его примеру, переводя западные работы на специальные функции (тригонометрия и логарифмы), которые в китайской традиции игнорировались.[57] Однако современные ученые обнаружили, что упор на доказательства - а не на решенные проблемы - сбивает с толку, и большинство из них продолжали работать только с классическими текстами.[58]

Династия Цин

Под западным образованием Канси Император Китайская математика в течение короткого периода получила официальную поддержку.[59] По указанию Канси, Мэй Гученг и трое других выдающихся математиков составили 53-томный том Шули Цзинъюнь [The Essence of Mathematical Study] (напечатано в 1723 г.), который дал систематическое введение в западные математические знания.[60] В то же время Мэй Гучэн также развивалась Мэйши Цуншу Цзиян [Собрание сочинений Мэй]. Мэйши Цуншу Цзиян был энциклопедическим обзором почти всех школ китайской математики того времени, но он также включал кросс-культурные работы Мэй Вендинг (1633-1721), дед Гучэн.[61][62] Предприятие стремилось облегчить трудности для китайских математиков, занимающихся западной математикой, при отслеживании цитат.[63]

Однако как только энциклопедии были опубликованы, Юнчжэн Император взошел на престол. Юнчжэн привел к резкому антизападному повороту в политике Китая и изгнал большинство миссионеров из Суда. Не имея доступа ни к западным текстам, ни к понятным китайским текстам, китайская математика находилась в застое.

В 1773 г. Цяньлун Император решил скомпилировать Сику Цюаньшу (Полная библиотека четырех сокровищниц). Дай Чжэнь (1724-1777) выбран и вычитан Девять глав математического искусства из Энциклопедия Юнлэ и несколько других математических работ династий Хань и Тан.[64] Давно отсутствующие математические труды времен династий Сун и Юань, такие как Си-юань юй-цзянь и Сеюань Хайцзин были также найдены и напечатаны, что непосредственно привело к волне новых исследований.[65] Самые аннотированные работы были Цзючжан суаньшу сикаотушуо (Иллюстрации процесса расчета для Девять глав математического искусства ) предоставили Ли Хуан и Сиюань юйцзянь сикао (Подробное объяснение си-юань юй-цзянь) Ло Шилинь.[66]

Западные влияния

В 1840 г. Первая опиумная война вынудил Китай открыть свои двери и взглянуть на внешний мир, что также привело к притоку западных математических исследований со скоростью, не имеющей себе равных в предыдущие века. В 1852 году китайский математик Ли Шанлань и британский миссионер Александр Вайли соавтор более поздних девяти томов Элементы и 13 томов по Алгебра.[67][68] С помощью Джозеф Эдкинс вскоре последовали и другие работы по астрономии и расчетам. Китайские ученые изначально не были уверены, стоит ли подходить к новым работам: было ли изучение западных знаний формой подчинение иностранным захватчикам ? Но к концу века стало ясно, что Китай может только начать восстановить свой суверенитет путем включения западных произведений. Китайские ученые, преподававшие в западных миссионерских школах по (переведенным) западным текстам, быстро утратили связь с местными традициями. Как отмечает Марцлофф, «с 1911 года в Китае практикуется исключительно западная математика».[69]

Западная математика в современном Китае

Китайская математика пережила большой всплеск возрождения после создания современного Китайская республика в 1912 году. С тех пор современные китайские математики добились множества достижений в различных областях математики.

Некоторые известные современные этнические китайские математики включают:

Математика в Китайской Народной Республике

В 1949 году, в начале основания Китайской Народной Республики, правительство уделяло большое внимание делу науки, хотя страна находилась в затруднительном положении из-за нехватки средств. Китайская академия наук была создана в ноябре 1949 года. Институт математики был официально учрежден в июле 1952 года. Затем Китайское математическое общество и его учредительные журналы восстановили и добавили другие специальные журналы. За 18 лет после 1949 года количество опубликованных статей более чем в три раза превышало общее количество статей до 1949 года. Многие из них не только заполнили пробелы в прошлом Китая, но и достигли передового мирового уровня.[73]

Во время хаоса Культурная революция, науки пришли в упадок. В области математики, помимо Чэнь Цзинжун, Хуа Луогэн, Чжан Гуангоу и другие математики изо всех сил пытаются продолжить свою работу. После катастрофы с выходом Го Моруо Литературная «Весна науки», китайские науки и математика пережили возрождение. В 1977 году в Пекине был сформулирован новый план развития математики, возобновилась работа математического общества, был переиздан журнал, опубликован академический журнал, было усилено математическое образование и усилены фундаментальные теоретические исследования.[73]

Важным математическим достижением китайского математика в направлении энергосистемы является то, как Ся Чжихун доказал Гипотеза Пенлеве в 1988 году. Когда есть некоторые начальные состояния N небесных тел, одно из небесных тел бежало на бесконечность или скорость за ограниченное время. Достигнута бесконечность, то есть есть нестолкновительные особенности. Гипотеза Пенлеве - важная гипотеза в области энергетических систем, предложенная в 1895 году. Очень важным недавним достижением для проблемы четырех тел является то, что Сюэ Цзиньсинь и Долгопят доказали неконфликтную сингулярность в упрощенной версии системы четырех тел. примерно в 2013 году.[74]

Кроме того, в 2007 г. Шэнь Вэйсяо и Козловски, Ван-Стриен доказал Реальная гипотеза Фату: Вещественные гиперболические многочлены плотны в пространстве вещественных многочленов с фиксированной степенью. Эта гипотеза восходит к Фату в 1920-х годах, а позже Смейл предложил его в 1960-х. Аксиома A, и предположите, что гиперболическая система должна быть плотной в любой системе, но это неверно, когда размерность больше или равна 2, потому что есть гомоклинические касания. Работа Шэнь Вэйсяо и других эквивалентна подтверждению того, что гипотеза Смейла верна в одном измерении. Доказательство гипотезы Реального Фату - одно из самых важных достижений в конформной динамике за последнее десятилетие.[74]

Выступление в ИМО

По сравнению с другими странами-участницами на Международная математическая олимпиада, Китай имеет наивысшие командные результаты и больше всего раз выигрывал золото IMO с полным составом команды.[75]

Математические тексты

Династия Чжоу

Чжуби Суаньцзин c. 1000 г. до н.э. - 100 г. н.э.

  • Астрономические теории и методы вычислений
  • Доказательство теоремы Пифагора (теорема Шан Гао)
  • Дробные вычисления
  • Теорема Пифагора для астрономических целей

Девять глав по математическому искусству 1000 г. до н.э.? - 50 г. н.э.

  • ч.1, вычислительный алгоритм, площадь плоских фигур, ОКФ, ЖКИ
  • гл.2, пропорции
  • гл.3, пропорции
  • гл.4, квадрат, кубические корни, поиск неизвестных
  • глава 5, объем и использование числа пи как 3
  • глава 6, пропорции
  • ch, 7, взаимоопределенные уравнения
  • гл.8, Исключение Гаусса и матрицы
  • глава 9, Теорема Пифагора (Теорема Гоугу)

династия Хан

Книга о числах и вычислениях 202 г. до н. Э. - 186 г. до н. Э.

  • Расчет объема различных трехмерных форм
  • Расчет неизвестной стороны прямоугольника, заданной площади и одной стороны
  • С использованием метод ложной позиции для поиска корней и извлечения приближенных квадратных корней
  • Преобразование между разными единицами

Математика в образовании

Первое упоминание о книге, используемой для изучения математики в Китае, датируется вторым веком нашей эры (Хоу Ханьшу: 24, 862; 35, 1207). Нам говорят, что Ма Сюй (юноша около 110 лет) и Чжэн Сюань (127-200) оба изучали Девять глав по математическим процедурам. Ч. Каллен утверждает, что математику, как и медицину, обучали устно. Стилистика Суан шу шу из Чжанцзяшань предполагают, что текст был собран из различных источников, а затем подвергся кодификации.[76]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Китайский обзор
  2. ^ а б c Chemla, Karine. «Восточноазиатская математика». Британская онлайн-энциклопедия.
  3. ^ а б c d е ж грамм час я Нидхэм, Джозеф (1959). Наука и цивилизация в Китае. Англия: Издательство Кембриджского университета. С. 1–886. ISBN  0-521-05801-5.
  4. ^ а б c d е ж Нидхэм, Джозеф (1955). «Метод Хорнера в китайской математике». T'oung Pao. Вторая серия. 43 (5): 345–401. JSTOR  4527405.
  5. ^ Фрэнк Дж. Свец и Т. И. Као: Был ли Пифагор китайцем?
  6. ^ Нидхэм, Том 3, 91.
  7. ^ а б c Нидхэм, Том 3, 92.
  8. ^ Нидхэм, Том 3, 92-93.
  9. ^ Нидхэм, Том 3, 93.
  10. ^ Нидхэм, Том 3, 93-94.
  11. ^ Нидхэм, Том 3, 94.
  12. ^ Джейн Цю (7 января 2014 г.). «Древняя таблица времен, спрятанная в полосах китайского бамбука». Природа. Дои:10.1038 / природа.2014.14482. S2CID  130132289. Получено 15 сентября 2016.
  13. ^ Ифра, Жорж (2001). Универсальная история вычислительной техники: от абак до квантового компьютера. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  978-0471396710.CS1 maint: ref = harv (связь)
  14. ^ а б c d е ж грамм час я j k л м п о п q Харт, Роджер. Китайские корни линейной алегбры. Университет Джона Хопкинса. С. 11–85. ISBN  978-0801897559.
  15. ^ а б c d е Леннарт, Бергрен (1997). Пи: Исходная книга. Нью-Йорк. ISBN  978-1-4757-2738-8.
  16. ^ а б c d Лэй Йонг, Лам (июнь 1994 г.). «Девять глав по математическому искусству: обзор». Архив истории точных наук. 47 (1): 1–51. Дои:10.1007 / BF01881700. JSTOR  41133972. S2CID  123502226.
  17. ^ а б c Сиу, Ман-Кеунг (1993). «Доказательство и педагогика в Древнем Китае». Образовательные исследования по математике. 24 (4): 345–357. Дои:10.1007 / BF01273370. JSTOR  3482649. S2CID  120420378.
  18. ^ а б c d Даубен, Джозеф В. (2008). "算数 書 Суан Шу Шу Книга о числах и вычислениях: английский перевод с комментариями". Архив истории точных наук. 62 (2): 91–178. Дои:10.1007 / s00407-007-0124-1. JSTOR  41134274. S2CID  125757029.
  19. ^ а б c d е Даубен, Джозеф (2013). «九章 箅 术« Цзю чжан суан шу »(Девять глав по искусству математики). Оценка текста, его редакций и переводов». Sudhoffs Archiv. 97 (2): 199–235. JSTOR  43694474. PMID  24707775.
  20. ^ Страффин, Филип Д. (1998). «Лю Хуэй и первый золотой век китайской математики». Математический журнал. 71 (3): 163–181. Дои:10.2307/2691200. JSTOR  2691200.
  21. ^ а б Харт, Роджер (2011). Китайские корни линейной алгебры. Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джона Хопкинса. С. 32–33. ISBN  978-0-8018-9958-4.
  22. ^ Даубен, Джозеф В. (2013). «九章 箅 术« Jiu zhang suan shu »(Девять глав по искусству математики) - оценка текста, его редакций и переводов». Sudhoffs Archiv. 97 (2): 18–19. ISSN  0039-4564. JSTOR  43694474.
  23. ^ Харт, Роберт (2011). Китайские корни линейной алгебры. Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джона Хопкинса. п. 39. ISBN  9780801899584.
  24. ^ Робин, Уилсон (2013). «Ранняя китайская математика». Математический интеллигент. 35 (2): 80. Дои:10.1007 / s00283-013-9364-х. S2CID  122920358.
  25. ^ а б Йонг, Лам Лэй (1970). «Геометрические основы древнекитайского метода квадратного корня». Исида. 61 (1): 92–102. Дои:10.1086/350581. JSTOR  229151.
  26. ^ Фрэнк Дж. Свец: Математическое руководство, геодезия и математика в древнем Китае на острове Си-Айленд 4.2. Достижения китайских геодезистов, сравнительная ретроспектива стр. 63 Издательство Пенсильванского государственного университета, 1992 г. ISBN  0-271-00799-0
  27. ^ Ёсио Миками, Развитие математики в Китае и Японии, глава 7, стр. 50, перепечатка издания 1913 года Челси, штат Нью-Йорк, каталог Библиотеки Конгресса 61–13497
  28. ^ Лам Лэй Йонг (1996). «Развитие индуистского арабского языка и традиционной китайской арифметики» (PDF). Китайская наука. 13: 35–54. Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-03-21. Получено 2015-12-31.
  29. ^ Александр Карп; Герт Шубринг (25 января 2014 г.). Справочник по истории математического образования. Springer Science & Business Media. С. 59–. ISBN  978-1-4614-9155-2.
  30. ^ Йошио Миками, Математика в Китае и Японии, стр. 53
  31. ^ Хью Чизхолм, изд. (1911). Британская энциклопедия: словарь искусств, наук, литературы и общей информации, том 26 (11-е изд.). В университетской прессе. п.926. Получено 2011-07-01. В шестом веке тибетцы получили свои первые знания в области арифметики и медицины от китайцев.Британская энциклопедия: Словарь искусств, наук, литературы и общей информации, Хью Чизхолм
  32. ^ Перевод Уильяма Вудвилля Рокхилла, Эрнста Леймана, Бунью Нанджио (1907). Жизнь Будды и ранняя история его ордена: заимствованы из тибетских трудов в Бках-хгьюре и Бстан-хгьюре, за которыми следуют заметки о ранней истории Тибета и Хотена.. К. Пауль, Тренч, Трюбнер. п.211. Получено 2011-07-01. В шестом веке тибетцы получили свои первые знания в области арифметики и медицины от китайцев.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  33. ^ а б c d е Нидхэм, Том 3, 109.
  34. ^ Нидхэм, Том 3, 108-109.
  35. ^ Марцлофф 1987, п. 142
  36. ^ Нидхэм, Том 3, 43.
  37. ^ Нидхэм, Том 3, 62–63.
  38. ^ Йошио Миками, Развитие математики в Китае и Японии, стр. 77 Лейпциг, 1912 г.
  39. ^ Ульрих Либрехт, Китайская математика в XIII веке с. 211 Довер 1973
  40. ^ Нидхэм, Том 3, 134–137.
  41. ^ Нидхэм, Том 3, 46.
  42. ^ а б (Бойер 1991, «Китай и Индия» с. 204)
  43. ^ (Бойер 1991, «Китай и Индия» с. 203)
  44. ^ (Бойер 1991, «Китай и Индия» с. 205)
  45. ^ (Бойер 1991, «Китай и Индия», стр. 204–205) «То же самое устройство« Хорнера »использовал Ян Хуэй, о жизни которого почти ничего не известно и чьи работы сохранились лишь частично. Среди его работ, дошедших до нас, есть самые ранние китайские магические квадраты порядка больше трех, включая по два каждый приказов с четвертого по восьмой и по одному приказов девять и десять ".
  46. ^ Кац, 308.
  47. ^ Рестиво, Сал (1992). Математика в обществе и истории: социологические исследования. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. п. 32. ISBN  1-4020-0039-1..
  48. ^ Гоше, 151.
  49. ^ Нидхэм, Том 3, 109–110.
  50. ^ Нидхэм, Том 3, 110.
  51. ^ Марцлофф 1987, п. 4
  52. ^ Хэ, Цзи-Хуан (май 2004 г.). «Некоторые формулы интерполяции в древней китайской математике». Прикладная математика и вычисления. 152 (2): 367–371. Дои:10.1016 / s0096-3003 (03) 00559-9. ISSN  0096-3003.
  53. ^ Марцлофф 1987, п. 20.
  54. ^ «Восточноазиатский журнал по прикладной математике». Восточноазиатский журнал по прикладной математике. Дои:10.4208 / eajam.
  55. ^ Марцлофф 1987.
  56. ^ Марцлофф 1987, п. 21.
  57. ^ Брукер, Джозеф (1912). «Маттео Риччи». Католическая энциклопедия. Нью-Йорк: Компания Роберта Эпплтона. OCLC 174525342. Проверено 17 августа 2017 года.
  58. ^ Марцлофф 1987, п. 29.
  59. ^ Марцлофф 1987, стр. 25–8.
  60. ^ Джами, Екатерина; Ци, Хан (2003-01-01). «Реконструкция имперской математики в Китае во время правления Канси (1662-1722)». Ранняя наука и медицина. 8 (2): 88–110. Дои:10.1163 / 157338203X00026. ISSN  1573-3823.
  61. ^ Джами, Екатерина (2011-12-01). «Ученый-математик из Цзяннаня: первый период полураспада Мэй Вендин». Новая математика императора: западное обучение и имперская власть во время правления Канси (1662-1722). Издательство Оксфордского университета. С. 82–101. Дои:10.1093 / acprof: oso / 9780199601400.003.0005. ISBN  9780199601400. Получено 2018-07-28.
  62. ^ Эльман, Бенджамин А. (2005). На своих условиях: наука в Китае, 1550-1900 гг.. Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN  9780674036475. OCLC  443109938.
  63. ^ Марцлофф 1987, п. 28.
  64. ^ Минхуэй, Ху (14 февраля 2017 г.). Переход Китая к современности: новое классическое видение Дай Чжэня. Сиэтл. ISBN  978-0295741802. OCLC  963736201.
  65. ^ Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики, Springer 1997 г. ISBN  3-540-33782-2
  66. ^ Екатерина, Джами (2012). Новая математика императора: западное образование и имперский авторитет во время правления Канси (1662-1722). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780191729218. OCLC  774104121.
  67. ^ Карлайл, Эдвард Ирвинг (1900). «Уайли, Александр». В Ли, Сидни. Словарь национальной биографии. 63. Лондон: Smith, Elder & Co.
  68. ^ «Формулы суммирования Ли Шанланя». История китайской математики: 341–351. Дои:10.1007/978-3-540-33783-6_18.
  69. ^ Марцлофф 1987, стр. 34–9.
  70. ^ "Биография Черна". www-history.mcs.st-and.ac.uk. Получено 2017-01-16.
  71. ^ «12.06.2004 - Известный математик Шиинг-Шен Черн, возродивший изучение геометрии, умер в возрасте 93 лет в Тяньцзине, Китай». www.berkeley.edu. Получено 2017-01-16.
  72. ^ Дж. Р., Чен (1973). О представлении большего четного числа в виде суммы простого и произведения не более двух простых чисел. Sci. Синица.
  73. ^ а б 孔国平 著 (2015). 中国 数学 思想 史.中国 学术 思想 史.南京大学 出կ社. ISBN  9787305147050.
  74. ^ а б 孔国平 (октябрь 2012 г.). 中国 数学 史上 最 光辉 的 篇章.吉林 科学 技术 出 Version社. ISBN  9787538461541.
  75. ^ «Командные результаты: Китай на Международной математической олимпиаде».
  76. ^ Кристофер Каллен, «Числа, счет и космос» в Loewe-Nylan, Ранние империи Китая, 2010:337-8.

Цитаты


Источники

  • Бойер, К. Б. (1989). История математики. rev. к Ута К. Мерцбах (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN  978-0-471-09763-1. (1991 г., изд. ISBN  0-471-54397-7)
  • Даубен, Джозеф В. (2007). «Китайская математика». В Викторе Дж. Каце (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-11485-9.
  • Лендер, Брайан. «Государственное управление речными дамбами в раннем Китае: новые источники по экологической истории региона Центрального Янцзы». Тонг Пао 100.4-5 (2014): 325–62.
  • Марцлофф, Жан-Клод (1987). История китайской математики (PDF). Перевод Уилсона, Стивена С. Берлина: Springer. п. 4. Дои:10.1007/978-3-540-33783-6. ISBN  9783540337836. OCLC  262687287. Получено 1 декабря 2018.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о небе и Земле. Тайбэй: Caves Books, Ltd.
Всеобщее достояние
  •  Эта статья включает текст из Британская энциклопедия: словарь искусств, наук, литературы и общей информации, том 26, Хью Чизхолм, публикация 1911 года в настоящее время в всеобщее достояние В Соединенных Штатах.
  •  Эта статья включает текст из Жизнь Будды и ранняя история его ордена: заимствованы из тибетских трудов в Бках-хгьюре и Бстан-хгьюре, за которыми следуют заметки о ранней истории Тибета и Хотена., переведено Уильямом Вудвиллом Рокхиллом, Эрнстом Лейманном, Бунью Нанджио, публикация 1907 года в настоящее время всеобщее достояние В Соединенных Штатах.

внешняя ссылка