Сеюань Хайцзин - Ceyuan haijing - Wikipedia

Фигура мастера в Морское зеркало круговых измерений, что все проблемы используют. На нем изображен круглый город, вписанный в прямоугольный треугольник и квадрат.

Сеюань Хайцзин (упрощенный китайский : 测 圆 海 镜; традиционный китайский : 測 圓 海 鏡; пиньинь : cè yuán hǎi jìng; горит `` морское зеркало круговых измерений '') - трактат о решении геометрических задач с помощью алгебры Тянь Юань Шу написано математиком Ли Чжи в 1248 году во времена Монгольская империя. Это набор из 692 формул и 170 задач, созданных на основе одной и той же главной диаграммы круглого города, вписанного в прямоугольный треугольник и квадрат. Часто в них участвуют два человека, которые идут по прямой, пока не увидят друг друга, не встретятся или не достигнут дерева или пагоды в определенном месте. Это книга по алгебраической геометрии, цель которой - изучение сложных геометрических соотношений с помощью алгебры.

Большинство задач геометрии решаются полиномиальными уравнениями, которые представляются с помощью метода, называемого Тянь Юань Шу, «метод массива коэффициентов» или буквально «метод небесной неизвестности». Ли Чжи - самый ранний из сохранившихся источников этого метода, хотя в той или иной форме он был известен до него. Это позиционная система стержневые цифры представлять полиномиальные уравнения.

Сеюань Хайцзин был впервые представлен на западе британским протестантским христианским миссионером в Китае, Александр Вайли в его книге Заметки о китайской литературе, 1902 г. Он писал:

На первой странице изображен круг, заключенный в треугольник, разделенный на 15 фигур; затем даются определение и соотношения нескольких частей, а за ними следуют 170 задач, в которых принцип новой науки рассматривается как преимущество. На всем протяжении автора есть экспозиция и схолия.^[1]

Этот трактат состоит из 12 томов.

Том 1

Реконструированная схема кругового города в алфавитах

Схема круглого города

Монография начинается с основной диаграммы, которая называется Диаграмма Круглого города (圆 城 图 式). Он показывает круг, вписанный в прямоугольный треугольник, и четыре горизонтальные линии, четыре вертикальные линии.

• TLQ, большой прямоугольный треугольник с горизонтальной линией LQ, вертикальной линией TQ и гипотенузой TL

C: Центр круга:

• NCS: Вертикальная линия, проходящая через C, пересекает круг и линию LQ в точке N (南 северной стороны городской стены), пересекает южную сторону круга в точке S ().
• NCSR, продолжение линии NCS до пересечения гипотенузы TL в точке R (日)
• WCE: горизонтальная линия, проходящая через центр C, пересекает круг и линию TQ в точке W (, западная сторона городской стены) и окружность в точке E (, восточная сторона городской стены).
• WCEB: продолжение прямой WCE до пересечения гипотенузы в точке B (川)
• KSYV: горизонтальная касательная в точке S, пересекает прямую TQ в точке K (坤), гипотенузу TL в точке Y (月).
• HEMV: вертикальная касательная к окружности в точке E, пересекает прямую LQ в точке H, гипотенуза в точке M (山, гора)
• HSYY, KSYV, HNQ, QSK образуют квадрат с вписанным кругом C.
• Линия YS, вертикальная линия от Y пересекает линию LQ в точке S (泉, пружина)
• Линия BJ, вертикальная линия из точки B, пересекает линию LQ в точке J (夕, ночь)
• RD, горизонтальная линия от R, пересекает линию TQ в точке D (旦, день)

Направления на север, юг, восток и запад на диаграмме Ли Чжи противоположны нашему нынешнему соглашению.

Треугольники и их стороны

Всего имеется пятнадцать прямоугольных треугольников, образованных пересечением между треугольником TLQ, четырьмя горизонтальными линиями и четырьмя вертикальными линиями.

Названия этих прямоугольных треугольников и их стороны приведены в следующей таблице.

Число	Имя	Вершины	Гипотенуза0c	Вертикальный0б	По горизонтали0а
1	通 ТОНГ	天地 乾 ${\displaystyle \triangle TLQ}$	通 弦 （TL 天地）	通 股 （TQ 天乾）	通 勾 （LQ 地 乾）
2	边 БИАН	天 西川 ${\displaystyle \triangle TWB}$	边 弦 （TB 天 川）	边 股 （TW 天 西）	边 勾 （WB 西川）
3	底 DI	日 地 北 ${\displaystyle \triangle RDN}$	底 弦 （RL 日 地）	底 股 （RN 日 北）	底 勾 （LB 地 北）
4	黄 广 ХУАНГУАН	天山 金 ${\displaystyle \triangle TMJ}$	黄 广 弦 （TM 天山）	黄 广 股 （TJ 天 金）	黄 广 勾 （MJ 山金）
5	黄 长 ХУАНЧАНГ	月 地 泉 ${\displaystyle \triangle YLS}$	黄 长 弦 （YL 月 地）	黄 长 股 （YS 月 泉）	黄 长 勾 （LS 地 泉）
6	上 高 ШАНГАО	天日 旦 ${\displaystyle \triangle TRD}$	上 高 弦 （TR 天日）	上 高 股 （TD 天 旦）	上 高 勾 （RD 日 旦）
7	下 高 XIAGAO	日 山 朱 ${\displaystyle \triangle RMZ}$	下 高 弦 （RM 日 山）	下 高 股 （RZ 日 朱）	下 高 勾 （MZ 山 朱）
8	上 平 ПЕРЕВОД	月 川 青 ${\displaystyle \triangle YSG}$	上 平 弦 （YS 月 川）	上 平 股 （YG 月 青）	上 平 勾 （SG 川 青）
9	下 平 СЯПИН	川 地 夕 ${\displaystyle \triangle BLJ}$	下 平 弦 （BL 川 地）	下 平 股 （BJ 川 夕）	下 平 勾 （LJ 地 夕）
10	大 差 DACHA	天 月 坤 ${\displaystyle \triangle TYK}$	大 差 弦 （TY 天 月）	大 差 股 （TK 天 坤）	大 差 勾 （YK 月 坤）
11	小 差 XIAOCHA	山地 艮 ${\displaystyle \triangle MLH}$	小 差 弦 （ML 山地）	小 差 股 （MH 山 艮）	小 差 勾 （LH 地 艮）
12	皇 极 ХУАНДЖИ	日 川 心 ${\displaystyle \triangle RSC}$	皇 极 弦 （RS 日 川）	皇 极 股 （RC 日 心）	皇 极 勾 （SC 川 心）
13	太虚 TAIXU	月 山 泛 ${\displaystyle \triangle YMF}$	太虚 弦 （YM 月 山）	太虚 股 （YF 月 泛）	太虚 勾 （MF 山 泛）
14	明 МИН	日月 南 ${\displaystyle \triangle RYS}$	明 弦 （RY 日月）	明 股 （RS 日南）	明 勾 （YS 月 南）
15	叀 Чжуань	山川 东 ${\displaystyle \triangle MSE}$	叀 弦 （MS 山川）	叀 股 （ME 山东）	叀 勾 （SE 川东）

В задачах от тома 2 до тома 12 названия этих треугольников используются очень кратко. Например

«明 差», «разница MING» означает «разницу между вертикальной и горизонтальной сторонами треугольника MING.

«叀 差», «разница ZHUANG» означает «разницу между вертикальной и горизонтальной сторонами треугольника ZHUANG».

«明 差 叀 差 并» означает «сумма разницы MING и разницы ZHUAN».${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})}$

Длина отрезков линии

В этом разделе (今 问 正 数) перечислены длины отрезков, сумма и разность, а также их комбинации на диаграмме круглого города, учитывая, что радиус r вписанной окружности равен ${\displaystyle r=120}$ шаги ${\displaystyle a_{1}=320}$,${\displaystyle b_{1}=640}$.

13 сегментов i-го треугольника (i = от 1 до 15):

1. Гипотенеза ${\displaystyle c_{i}}$
2. По горизонтали ${\displaystyle a_{i}}$
3. Вертикальный ${\displaystyle b_{i}}$
4. : 勾股 和: сумма горизонтального и вертикального ${\displaystyle a_{i}+b_{i}}$
5. : 勾股 校: разница вертикального и горизонтального ${\displaystyle b_{i}-a_{i}}$
6. : 勾 弦 和: сумма горизонтали и гипотенузы ${\displaystyle a_{i}+c_{i}}$
7. : 勾 弦 校: разница гипотенузы и горизонтали ${\displaystyle c_{i}-a_{i}}$
8. : 股 弦 和: сумма гипотенузы и вертикали ${\displaystyle b_{i}+c_{i}}$
9. : 股 弦 校: разница гипотенузы и вертикали ${\displaystyle c_{i}-b_{i}}$
10. : 弦 校 和: сумма разности и гипотенузы ${\displaystyle c_{i}+(b_{i}-a_{i})}$
11. : 弦 校 校: разность гипотенузы и разность ${\displaystyle c_{i}-(b_{i}-a_{i})}$
12. : 弦 和 和: суммировать гипотенузу и сумму вертикального и горизонтального ${\displaystyle a_{i}+b_{i}+c_{i}}$
13. : 弦 和 校: разница суммы горизонтали и вертикали с гипотенузой ${\displaystyle a_{i}+b_{i}}$

Среди пятнадцати прямоугольных треугольников есть два набора идентичных треугольников:

${\displaystyle \triangle TRD}$=${\displaystyle \triangle RMZ}$,

${\displaystyle \triangle YSG}$=${\displaystyle \triangle BLJ}$

то есть

${\displaystyle a_{6}=a_{7}}$;

${\displaystyle b_{6}=b_{7}}$;

${\displaystyle c_{6}=c_{7}}$;

${\displaystyle a_{8}=a_{9}}$;

${\displaystyle b_{8}=b_{9}}$;

${\displaystyle c_{8}=c_{9}}$;

Номера сегментов

Всего 15 x 13 = 195 терминов, их значения показаны в таблице 1:^[2]

Таблица сегментов 1

Определения и формула

Разная формула

^[3]

1. ${\displaystyle (c_{1}-a_{1})*(c_{1}*b_{1})}$= ${\displaystyle 1 \over 2}$*${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
2. ${\displaystyle a_{10}*b_{11}}$= ${\displaystyle 1 \over 2}$${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
3. ${\displaystyle a_{13}*b_{1}}$= ${\displaystyle 1 \over 2}$${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
4. ${\displaystyle a_{1}*b_{13}}$= ${\displaystyle 1 \over 2}$${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
5. ${\displaystyle b_{2}*b_{15}}$= ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
6. ${\displaystyle a_{14}*a_{3}}$= ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
7. ${\displaystyle a_{5}*b_{4}}$= ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
8. ${\displaystyle a_{8}*b_{6}}$= ${\displaystyle a_{9}*b_{7}}$${\displaystyle =(r_{1})^{2}}$
9. ${\displaystyle (b_{14}*c_{14})*(a_{15}+c_{15})}$= ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
10. ${\displaystyle c_{6}*c_{8}}$= ${\displaystyle c_{7}*c_{9})}$=${\displaystyle a_{13}*b_{13}}$

Пять сумм и пять отличий

1. ${\displaystyle a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}}$^[4]
2. ${\displaystyle a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}}$
3. ${\displaystyle a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}}$
4. ${\displaystyle a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}}$
5. ${\displaystyle a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}}$
6. ${\displaystyle a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}}$
7. ${\displaystyle a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}}$
8. ${\displaystyle a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}}$
9. ${\displaystyle a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}}$
10. ${\displaystyle a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}}$
11. ${\displaystyle a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}}$
12. ${\displaystyle a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}}$
13. ${\displaystyle a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}}$
14. ${\displaystyle a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}}$

• ${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=2*(b_{12}-a_{12})}$
• ${\displaystyle a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=b_{7}}$

Ли Чжи вывел в общей сложности 692 формулы в хайцзине Сэйюань. Восемь формул неверны, все остальные верны^[5]

В томах 2 и 12 содержится 170 задач, каждая из которых использует несколько выбранных из этой формулы для формирования полиномиальных уравнений от 2-го до 6-го порядка. Фактически, существует 21 задача, дающая полиномиальное уравнение третьего порядка, 13 задач, дающие полиномиальное уравнение 4-го порядка, и одна задача, дающая полиномиальное уравнение 6-го порядка.^[6]

Том 2

Этот том начинается с общей гипотезы^[7]

Допустим, есть круглый город неизвестного диаметра. В этом городе четыре ворот, две дороги в западном направлении и две дороги в южном направлении за воротами, образующие квадрат, окружающий круглый город. Северо-западный угол квадрата - это точка Q, северо-восточный угол - это точка H, юго-восточный угол - это точка V, юго-западный угол - K. Все различные проблемы исследования описаны в этом и следующих томах.

Все последующие 170 задач представляют собой несколько отрезков, их сумму или разность, чтобы найти радиус или диаметр круглого города. Все задачи имеют более или менее одинаковый формат; он начинается с вопроса, за которым следует описание алгоритма, иногда за которым следует пошаговое описание процедуры.

Девять типов вписанного круга

Первые десять задач были решены без использования тянь юань шу. Эти проблемы связаны с различными типами вписанного круга.

Вопрос 1

Двое мужчин A и B начинают движение из угла Q. A идет на восток 320 шагов и останавливается. B идет на юг 600 шагов и видит B. Каков диаметр круглого города?

Ответ: диаметр круглого городка 240 шагов.

Это проблема вписанного круга, связанная с ${\displaystyle \triangle TLQ}$

Алгоритм:${\displaystyle d={2a_{1}\times b_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}}$

${\displaystyle ={2*320*600 \over 320+600+{\sqrt {(}}320^{2}+600^{2})}=240}$

вопрос 2

Двое мужчин A и B стартуют у западных ворот. B идет на восток на 256 шагов, A идет на юг на 480 шагов и видит B. Каков диаметр города?

Ответ 240 шагов

Это проблема вписанного круга, связанная с ${\displaystyle \triangle TWB}$

Из таблицы 1 256 = ${\displaystyle a_{2}}$; 480 =${\displaystyle b_{2}}$

Алгоритм:

${\displaystyle {2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d}$

${\displaystyle ={2*256*480 \over 256+600+{\sqrt {(}}256^{+}600^{2})}=240}$

Вопрос 3

вписанный круг проблема, связанная с ${\displaystyle \triangle RDN}$

${\displaystyle {2a_{3}\times b_{3} \over a_{3}+b_{3}+c_{3}}=d}$

Вопрос 4 ： проблема вписанного круга, связанная с ${\displaystyle \triangle RSC}$

${\displaystyle {2a_{12}\times b_{12} \over c_{12}}=d}$

Вопрос 5 ： проблема вписанного круга, связанная с ${\displaystyle \triangle TWB}$

${\displaystyle {2a\times b \over a+b}=d}$

Вопрос 6

${\displaystyle {2a_{10}\times b_{10} \over b_{10}-a_{10}+c_{10}}=d}$

Вопрос 7

${\displaystyle {2a_{11}\times b_{11} \over b_{11}-a_{11}+c_{11}}=d}$

Вопрос 8

${\displaystyle {2a_{13}\times b_{13} \over b_{13}+a_{13}-c_{13}}=d}$

Вопрос 9

${\displaystyle {2a_{14}\times b_{14} \over c_{14}-a_{14}}=d}$

Вопрос 10

${\displaystyle {2a_{15}\times b_{15} \over c_{15}-b_{15}}=d}$

Тянь Юань Шу

Циюань хайцзин том II Задача 14, подробное описание процедуры (草 曰)

Начиная с задачи 14, Ли Чжи ввел «тянь юань один» как неизвестную переменную и создал два выражения в соответствии с разделом Определение и формула, затем приравняйте эти два выражения тянь юань шу. Затем он решил проблему и получил ответ.

Вопрос 14:«Представьте, что человек выходит из Западных ворот и направляется на юг на 480 шагов и наталкивается на дерево. Затем он вышел из Северных ворот, направляясь на восток на 200 шагов, и увидел то же дерево. Каков радиус собственного круга?»。

Алгоритм: установите радиус равным единице Тянь юань, поместите счетные стержни представляя южный 480 шагов по полу, вычтите радиус тянь юаня, чтобы получить

：${\displaystyle 480-x}$

元

。

Затем вычтите тянь юань из 200 шагов на восток, чтобы получить:

${\displaystyle 200-x}$

元

умножьте эти два выражения, чтобы получить ：${\displaystyle x^{2}-680x+96000}$

元

元

то есть${\displaystyle x^{2}-680x+96000=2x^{2}}$

таким образом:${\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}$

元

Решите уравнение и получите ${\displaystyle r=120}$

Том 3

17 проблем связанных с сегментом ${\displaystyle b_{2}}$т.е. TW в ${\displaystyle \triangle TWB}$^[8]

В ${\displaystyle a_{10}}$ пары с ${\displaystyle b_{11}}$,${\displaystyle a_{11}}$ пары с ${\displaystyle b_{10}}$ и ${\displaystyle a_{15}}$ пары с ${\displaystyle b_{14}}$ в задачах с таким же номером тома 4. Другими словами, например, изменить ${\displaystyle a_{11}}$ проблемы 2 в томе 3 в ${\displaystyle b_{10}}$ превращает это в проблему 2 из 4 тома.^[9]

Проблема #	ДАННЫЙ	Икс	Уравнение
1	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{4}}$		прямой расчет без тянь юаня
2	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{11}}$	d	${\displaystyle x^{2}+a_{11}x-2b_{2}a_{11}=0}$
3	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle b_{11}}$	р	${\displaystyle x^{2}+b_{2}x-b_{2}b_{11}=0}$
4	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{15}}$	d	${\displaystyle x^{3}+a_{15}x^{2}-4a_{15}b_{2}^{2}=0}$
5	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{14}}$	d	${\displaystyle x^{3}-(b_{2}-2a_{14})x^{2}+a_{14}^{2}*x+a_{14}^{2}*b_{2}=0}$
6	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{10}}$	р	${\displaystyle x^{2}+(b_{2}-(b_{2}-c_{10}))x+b_{2}(b_{2}-c_{10})=0}$
7	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{2}}$	р	${\displaystyle ((1/2)*c_{2}-(1/2)*b_{2}+b_{2})*x^{2}-(1/2)*(c_{2}-b_{2})b_{2}^{2}=0}$
8	${\displaystyle b_{2}}$， ${\displaystyle c_{1}}$	р	${\displaystyle 2x^{2}+((c_{1}+b_{2})+(c_{1}-b_{2}))x-((c_{1}+b_{2})(c_{1}-b_{2})-(c_{1}-b_{2})^{2}))=0}$
9	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{6}}$	р	${\displaystyle 2x^{2}-2(b_{2}-2(b_{2}-c_{5}))b_{2}=0}$
10	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle b_{14}}$	р	${\displaystyle x^{2}-2b_{2}x+((b_{2}-b_{14})^{2}-b_{14}^{2}=0}$
11	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{10}}$	р	${\displaystyle (2b_{2}-a_{10})x-b_{2}a_{10}=0}$
12	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{15}}$	${\displaystyle b_{15}}$	${\displaystyle x^{2}+(b_{2}+c_{15})x-b_{2}c_{15}=0}$
13	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{14}}$	${\displaystyle a_{14}}$	${\displaystyle x^{4}-2(b_{2}-c_{14})x^{3}+(b_{2}-c_{14})^{2}x^{2}+2b_{2}c_{14}^{2}x-(2(b_{2}-c_{14})-b_{2}))b_{2}c_{14}^{2}=0}$
14	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{6}}$		${\displaystyle r={\sqrt {(}}(2c_{6}-b_{2})b_{2})}$
15	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{8}}$	р	${\displaystyle -x^{3}-c_{8}x^{2}-b_{2}^{2}x+c_{8}b_{2}^{2}=0}$
16	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$		рассчитать по формуле для вписанного круга
17	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$		Рассчитайте по формуле для вписанного круга

Том 4

17 задач, учитывая ${\displaystyle a_{3}}$и второй сегмент, найти диаметр круглого города.^[10]

。

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
второй отрезок линии	${\displaystyle c_{5}}$	${\displaystyle b_{10}}$	${\displaystyle a_{10}}$	${\displaystyle b_{14}}$	${\displaystyle b_{15}}$	${\displaystyle c_{11}}$	${\displaystyle c_{13}}$	${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{9}}$	${\displaystyle a_{15}}$	${\displaystyle b_{11}}$	${\displaystyle c_{14}}$	${\displaystyle c_{15}}$	${\displaystyle c_{9}}$	${\displaystyle c_{7}}$	${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$	${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$

Том 5

18 задач, учитывая${\displaystyle b_{1}}$。^[10]

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
второй отрезок линии	${\displaystyle b_{14}}$	${\displaystyle a_{14}}$	${\displaystyle a_{15}}$	${\displaystyle b_{15}}$	${\displaystyle b_{11}}$	${\displaystyle a_{11}}$	${\displaystyle c_{10}}$	${\displaystyle c_{4}}$	${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{6}}$	${\displaystyle c_{9}-a_{11}}$	${\displaystyle c_{15}}$	${\displaystyle c_{14}}$	${\displaystyle c_{9}}$	${\displaystyle c_{12}}$	${\displaystyle a_{15}+b_{14}}$	${\displaystyle c_{13}}$

Том 6

18 задач.

Q1-11，13-19 задано${\displaystyle a_{1}}$， И второй отрезок прямой, найдите диаметр d.^[10]

Q12 ： данный ${\displaystyle a_{1}+c_{3}}$и другой отрезок прямой, найдите диаметр d.

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Данный	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}+c_{3}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$
Второй отрезок линии	${\displaystyle a_{15}}$	${\displaystyle b_{15}}$	${\displaystyle b_{14}}$	${\displaystyle a_{14}}$	${\displaystyle a_{10}}$	${\displaystyle b_{10}}$	${\displaystyle c_{11}}$	${\displaystyle c_{5}}$	${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{9}}$	${\displaystyle b_{10}-c_{6}}$	${\displaystyle c_{14}}$	${\displaystyle c_{15}}$	${\displaystyle c_{6}}$	${\displaystyle c_{12}}$	${\displaystyle a_{15}+b_{14}}$	${\displaystyle a_{13}}$

Том 7

18 задач, по двум отрезкам прямой найти диаметр круглого города^[11]

Q	Данный
1	${\displaystyle a_{14}}$，${\displaystyle b_{15}}$
2	${\displaystyle a_{15}}$，${\displaystyle b_{14}}$
3	${\displaystyle a_{14}}$，${\displaystyle a_{15}}$
4	${\displaystyle b_{14}}$，${\displaystyle b_{15}}$
5	${\displaystyle a_{14}}$，${\displaystyle c_{8}}$
6	${\displaystyle b_{15}}$，${\displaystyle c_{7}}$
7	${\displaystyle b_{15}}$，${\displaystyle c_{13}}$
8	${\displaystyle a_{14}}$，${\displaystyle c_{13}}$
9	${\displaystyle d-a_{14}}$，${\displaystyle d-b_{15}}$
10	${\displaystyle d-b_{14}}$，${\displaystyle d-a_{15}}$
11	${\displaystyle c_{12}}$，${\displaystyle a_{15}+b_{14}}$
12	${\displaystyle a_{15}+b_{14}}$，${\displaystyle c_{13}}$
13	${\displaystyle b_{15}+c_{13}}$，${\displaystyle c_{13}-b_{15}}$
14	${\displaystyle a_{14}+b_{15}+c_{13}}$，${\displaystyle a_{14}+b_{15}+c_{13}-a_{14}}$，
15	${\displaystyle c_{14}}$，${\displaystyle d-b_{15}}$
16	${\displaystyle c_{5}}$，${\displaystyle d-a_{14}}$
17	${\displaystyle a_{1}-a_{14}}$，${\displaystyle b_{1}-b_{15}}$
18	${\displaystyle a_{1}+a_{14}}$，${\displaystyle b_{1}-b_{15}}$

Том 8

За 17 задач по трем-восьми отрезкам или их сумме или разности можно найти диаметр круглого города.^[12]

Q	Данный
1	${\displaystyle a_{14}+b_{14}}$，${\displaystyle a_{15}+b_{15}}$，${\displaystyle c_{12}}$
2	${\displaystyle a_{14}+b_{14}}$，${\displaystyle a_{15}+b_{15}}$，${\displaystyle c_{13}}$
3	${\displaystyle (c_{12}-a_{12})+(c_{12}-b_{12})}$，${\displaystyle d_{14}+d_{15}}$
4	${\displaystyle c_{15}}$，${\displaystyle c_{14}}$
5	${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$，${\displaystyle c_{15}+b_{15}}$
6	${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$，${\displaystyle a_{14}+c_{14}}$
7	${\displaystyle a_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$
8	${\displaystyle a_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle a_{14}+c_{14}}$
9	${\displaystyle b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle b_{15}+c_{15}}$
10	${\displaystyle b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$，
11	${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$，${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$，${\displaystyle b_{14}+a_{15}-c_{13}}$
12	${\displaystyle (b_{8}-a_{8})+(b_{2}-a_{2})}$，${\displaystyle b_{14}+a_{15}-c_{13}}$
13	${\displaystyle b_{7}-a_{8}}$，${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})}$，${\displaystyle c_{12}-d}$
14	${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})}$，${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})}$
15	${\displaystyle a_{14}+b_{14}}$，${\displaystyle a_{15}+b_{15}}$
16	${\displaystyle a_{14}+a_{15}}$，${\displaystyle b_{14}+b_{15}}$

Проблема 14

Учитывая, что сумма разницы GAO и разницы MING составляет 161 шаг, а сумма разницы MING и разницы ZHUAN составляет 77 шагов. Какой диаметр у круглого города?

Ответ: 120 шагов.

Алгоритм:^[13]

Данный

${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161}$

${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77}$

： Сложите эти два элемента и разделите на 2; в соответствии с # Определения и формулы, это равняется разнице HUANGJI:

${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2}$ ${\displaystyle =(b_{12}-a_{12})}$

${\displaystyle b_{12}-a_{12}=}$${\displaystyle 161+77 \over 2}$${\displaystyle =119}$

Пусть единица Тянь Юань - это горизонталь SHANGPING (SG):

${\displaystyle x=a_{8}}$

${\displaystyle x+161}$ =${\displaystyle x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})}$

${\displaystyle =b_{7}}$ (# Определение и формула)

С ${\displaystyle a_{8}+b_{7}=c_{12}}$ (Определение и формула)

${\displaystyle c_{12}=x+b_{7}=2*x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2*x+161}$

${\displaystyle c_{12}^{2}=(x+b_{7})^{2}=(2*x+161)^{2}=4*x^{2}+644*x+25921}$

${\displaystyle c_{12}^{2}-(b_{12}-a_{12})^{2}}$

${\displaystyle =4*x^{2}+644*x+25921-}$${\displaystyle ((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^{2} \over 4}$

${\displaystyle =4*x^{2}+644*x+11760=d}$(диаметр круглого городка),

${\displaystyle d^{2}=(4*x^{2}+644*x+11760)^{2}=16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}[phone]*x+138297600}$

Теперь умножьте длину RZ на ${\displaystyle 4*x}$

${\displaystyle 4*x*b_{7}=4*x*(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4*x*(x+161)=4*x^{2}+644*x}$

умножьте его на квадрат RS:

${\displaystyle d^{2}=4*x*b_{7}*c_{12}^{2}=}$${\displaystyle (4*x^{2}+644*x)*(4*x^{2}+644*x+25921)=}$${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}[phone]}$

приравняем выражения для двух ${\displaystyle d^{2}}$

таким образом

${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}[phone]=}$${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}[phone]*x+138297600}$

Мы получаем:

${\displaystyle 9604*x^{2}+1546244*x-138297600=0}$

решаем его и получаем ${\displaystyle x=a_{8}=64}$;

Это соответствует горизонтали ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ 8-го треугольника в # Номера сегментов.^[14]

Том 9

Часть I

Проблемы	данный
1	${\displaystyle a_{12}+b_{12}+c_{12}}$，${\displaystyle b_{12}-a_{12}}$
2	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle b_{1}-a_{1}}$
3	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle a_{10}+b_{11}}$
4	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle a_{2}+b_{3}}$

Часть II

Проблемы	данный
1	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle a_{2}}$，${\displaystyle b_{3}}$
2	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle c_{13}+b_{13}-a_{13}}$，${\displaystyle c_{13}-b_{13}+a_{13}}$
3	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle a_{11}+b_{11}}$，${\displaystyle a_{10}+b_{10}}$
4	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle c_{10}-a_{10}}$，${\displaystyle c_{11}-b_{11}}$
5	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle c_{6}+c_{8}}$，${\displaystyle c_{6}-c_{8}}$
6	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle c_{10}}$，${\displaystyle c_{11}}$
7	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle c_{4}}$，${\displaystyle c_{5}}$
8	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle c_{2}}$，${\displaystyle c_{3}}$

Том 10

8 задач^[15]

Проблема	Данный
1	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle c_{1}-b_{1}}$
2	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle c_{1}-a_{1}}$
3	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle b_{1}-a_{1}}$
4	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle (c_{1}-b_{1})+(c_{1}-a_{1})}$
5	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle (c_{1}-b_{1})+(b_{1}-a_{1})+(c_{1}-a_{1})}$
6	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle d_{14}+d_{15}}$
7	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle c_{12}}$
8	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle c_{13}}$

Том 11

： Разное 18 задач ：^[16]

Q	ДАННЫЙ
1	${\displaystyle c_{2}}$，${\displaystyle c_{3}}$
2	${\displaystyle c_{5}}$，${\displaystyle c_{4}}$
3	${\displaystyle b_{11}}$，${\displaystyle c_{4}}$
4	${\displaystyle a_{10}}$，${\displaystyle c_{3}}$
5	${\displaystyle a_{10}}$，${\displaystyle b_{11}}$
6	${\displaystyle b_{7}}$，${\displaystyle a_{8}}$
7	${\displaystyle b_{1}-b_{11}}$，${\displaystyle a_{1}-a_{10}}$
8	${\displaystyle b_{10}-a_{10}}$，${\displaystyle b_{11}-a{11}}$
9	${\displaystyle c_{13}}$，${\displaystyle a_{10}-b_{11}}$
10	${\displaystyle a_{12}+b_{12}}$，${\displaystyle a_{13}+b_{13}}$
11	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle b_{1} \over a_{1}}$
12	${\displaystyle d_{10}-d_{11}}$，${\displaystyle d_{12}-d_{13}}$
13	${\displaystyle c_{12}-[c_{10}-(b_{10}-a_{10})]}$，${\displaystyle c_{11}+(b_{11}-a_{11})-c_{13}}$，${\displaystyle b_{12}-a_{12}}$
14	${\displaystyle c_{8}-(c_{1}-b_{1})}$，${\displaystyle (c_{1}-a_{1})-c_{7}}$
15	${\displaystyle a_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle (c_{1}-a_{1})+(c_{1}-b_{1})}$
16	${\displaystyle a_{12}+b_{12}+c_{12}}$，${\displaystyle (a_{13}+b_{13})-c_{13}}$
17	Из книги Дунюань цзюжун
18	Из Дунъюань цзюжун

Том 12

14 задач по дробям^[17]

Проблема	данный
1	${\displaystyle b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle a_{1}}$= ${\displaystyle 8 \over 15}$${\displaystyle b_{1}}$
2	${\displaystyle a_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle a_{1}}$= ${\displaystyle 8 \over 15}$${\displaystyle b_{1}}$
3	${\displaystyle a_{1}=(1-5/9)*3d}$，${\displaystyle b_{1}-a_{1}}$
4	${\displaystyle a_{3}=(5/6)*d}$，${\displaystyle b_{2}-a_{3}}$
5	${\displaystyle (15/16)b_{1}=d}$，${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$
6	${\displaystyle a_{12}=(8/15)*b_{12}}$，${\displaystyle c_{12}-b_{12}}$，${\displaystyle c_{12}-a_{12}}$
7	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle d=(1/2)b_{2}}$，${\displaystyle a_{3}=(5/6)d}$
8	${\displaystyle b_{2}+a_{3}+c_{2}}$，${\displaystyle b_{2}=(12/17)c_{1}}$，${\displaystyle a_{3}=(5/17)c_{1}}$
9	${\displaystyle a_{3}+(5/6)b_{2}}$，${\displaystyle b_{2}+(3/5)a_{3}}$
10	${\displaystyle a_{11}+(1/3)b_{10}}$，${\displaystyle b_{10}-(3/4)a_{11}}$
11	${\displaystyle b_{1}-d=(3/5)b_{1}}$，${\displaystyle a_{1}-d=(1/4)a_{1}}$，${\displaystyle (b_{1}-d)-(a_{1}-d)}$
12	${\displaystyle b_{1}-d=(3/5)b_{1}}$，${\displaystyle a_{1}-d=(1/4)a_{1}}$，${\displaystyle (1/5)b_{1}-(1/4)a_{1}}$
13	${\displaystyle b_{14}=(1-(15/24)b_{10})}$，${\displaystyle a_{15}=(1-(4/5))a_{11}}$，${\displaystyle b_{14}-a_{15}}$,${\displaystyle b_{10}-a_{11}}$
14	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle (b_{1}/a_{1})=8(1/3)}$，${\displaystyle (a_{1}/b_{15})=10(2/3)}$，${\displaystyle a_{14}-a_{13}}$，${\displaystyle b_{13}-b_{15}}$

Исследование

В 1913 году французский математик Л. ван Хое написал статью о Сеюань-хайцзине. В 1982 году К. Хемла защитил кандидатскую диссертацию «Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye». 1983 г., профессор математики Сингапурского университета Лам Лэй Йонг: китайские полиномиальные уравнения в XIII веке。

Сноски

1. Александр Вайли, Заметки о китайской литературе, Шанхай, стр. 116, перепечатано издательством Kessinger Publishing.
2. Составлено из Kong Guoping p 62-66.
3. Бай Шаншу с. 24-25.
4. У Вэньцзюнь Глава II, стр. 80
5. Бай Шаншу, стр. 3, Предисловие
6. У Вэньцзюнь, стр. 87
7. Бай Шаншоу, стр. 153-154.
8. Ли Янь с. 75-88
9. Марцлофф, стр.147
10. Ли Янь с. 88-101
11. Конг Гопин с.169-184
12. Кун Гопин стр192-208
13. Бай Шаншу, стр. 562-566.
14. Сноска: В задаче 14 тома 8 Ли Чжи останавливается на x = 64. Однако ответ очевиден, поскольку из формулы № 8 в # Разные формулы:${\displaystyle a_{9}*b_{7}=r^{2}}$, и из # Длина отрезков линии${\displaystyle a_{8}=a_{9}}$, таким образом ${\displaystyle a_{8}*b_{7}=r^{2}}$, радиус круглого города можно легко получить. На самом деле проблема 6 из 11 - это как раз такой вопрос ${\displaystyle a_{8}}$и${\displaystyle b_{7}}$, чтобы найти радиус круглого города.
15. Kong Guoping p220-224
16. Kong Guoping p234-248
17. P255-263

Рекомендации

• Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики, Springer 1997 г. ISBN  3-540-33782-2
• Конг Гопин, Гид по Сеюан Хайцзин, Hubei Education Press, 1966 孔国平. 《测 圆 海 镜 今 导读》 《今 问 正》 湖北 教育 Version社. 1995 г.
• Бай Шаншу: современный китайский перевод Ли Йе Сеюань Хайцзин. Shandong Education Press 1985 г. 李 冶 著 白 尚 恕 译 钟善基 校. 《测 圆 海 镜 今译》 山东 教育 Version. 1985 г.
• У Вэньцзюнь Большая серия истории китайской математики Том 6 文俊 主编 《中国 数学 史 大 系》 第六卷
• Ли Янь, Историческое исследование Сэйюань Хайцзин, собрание сочинений Ли Яня и Цянь Баоцун том 8 《李 俨. 钱 宝 琮 科学 史 全集》 卷 8 ， 李 俨 《测 圆 海 研究 历程 考》