Ультрафинитизм - Ultrafinitism

в философия математики, ультрафинитизм (также известен как ультраинтуиционизм,^[1] строгий формализм,^[2] строгий финитизм,^[2] актуализм,^[1] предикативизм,^[2]^[3] и сильный финитизм)^[2] это форма финитизм и интуиционизм. Существуют различные философии математики, которые называются ультрафинитизмом. Основным отличительным свойством, общим для большинства этих философий, является их возражение против совокупность теоретико-числовых функций, таких как возведение в степень над натуральные числа.

Основные идеи

Как и другие финитисты, ультрафинитисты отрицают существование бесконечный набор N из натуральные числа.

Кроме того, некоторые ультрафинитисты озабочены принятием в математике объектов, которые никто не может построить на практике из-за физических ограничений при построении больших конечных математических объектов. Таким образом, некоторые ультрафинитисты будут отрицать или воздерживаться от признания существования больших чисел, например, этаж из первых Число Скьюза, а это огромное число, определенное с помощью экспоненциальная функция как exp (exp (exp (79))), или

{ displaystyle e ^ {e ^ {e ^ {79}}}.}

Причина в том, что еще никто не подсчитал, что натуральное число это этаж этого настоящий номер, а это может быть даже невозможно сделать физически. По аналогии, ${ displaystyle 2 uparrow uparrow uparrow 6}$ (в Обозначение Кнута со стрелкой вверх ) будет считаться только формальным выражением, не соответствующим натуральному числу. Бренд ультрафинитизма, связанный с физической реализуемостью математики, часто называют актуализм.

Эдвард Нельсон критиковал классическую концепцию натуральных чисел из-за округлости ее определения. В классической математике натуральные числа определяются как 0, а числа получаются итеративным применением функция преемника до 0. Но понятие натурального числа уже предполагается для итерации. Другими словами, чтобы получить число вроде ${ displaystyle 2 uparrow uparrow uparrow 6}$ нужно выполнять функцию-преемник итеративно, фактически точно ${ displaystyle 2 uparrow uparrow uparrow 6}$ раз до 0.

Некоторые версии ультрафинитизма являются формами конструктивизм, но большинство конструктивистов рассматривают эту философию как недопустимую крайность. Логическая основа ультрафинитизма неясна; в его всестороннем обзоре Конструктивизм в математике (1988), конструктивный логик A. S. Troelstra отклонил его, заявив, что «в настоящее время не существует удовлетворительного развития». Это было не столько философское возражение, сколько признание того, что в строгой работе математическая логика, просто не было ничего достаточно точного, чтобы включить его.

Люди, связанные с ультрафинитизмом

Серьезную работу над ультрафинитизмом с 1959 года ведет Александр Есенин-Вольпин, который в 1961 г. набросал программу доказательства непротиворечивости Теория множеств Цермело – Френкеля в сверхконечной математике. Другие математики, которые работали в этой теме, включают: Дорон Зейлбергер, Эдвард Нельсон, Рохит Дживанлал Парих, и Жан Поль Ван Бендегем. Философия также иногда связана с верованиями Людвиг Витгенштейн, Робин Ганди, Петр Вопенка, и Я. Ельмслев.

Шауган Лавин разработал форму теоретико-множественного ультрафинитизма, совместимого с классической математикой.^[4]Лавин показал, что основные принципы арифметики, такие как «не существует наибольшего натурального числа», могут быть поддержаны, поскольку Лавин допускает включение «бесконечно больших» чисел.^[4]

Ограничения на основе теории сложности вычислений

Другие соображения о возможности избежать громоздких больших чисел могут быть основаны на теория сложности вычислений, как в Андраш Корнаи работа над явным финитизмом (который не отрицает существования больших чисел)^[5] и Владимир Сазонов понятие о возможное число.

Также было значительное формальное развитие версий ультрафинитизма, основанных на теории сложности, таких как Сэмюэл Басс с Ограниченная арифметика теории, которые охватывают математику, связанную с различными классами сложности, такими как п и PSPACE. Работу Бусса можно считать продолжением Эдвард Нельсон работает над предикативная арифметика поскольку ограниченные арифметические теории, такие как S12, интерпретируются в Рафаэль Робинсон теория Q и поэтому являются предикативными в Нельсон Смысл. Влияние этих теорий на развитие математики изучается в Ограниченная обратная математика как можно найти в произведениях Стивен А. Кук и Phuong The Nguyen. Однако эти исследования не являются философией математики, а скорее изучением ограниченных форм рассуждений, подобных обратная математика.

Смотрите также

Транвычислительная проблема

Примечания

^ ^а ^б Международный семинар по логике и вычислительной сложности, Логика и вычислительная сложность, Springer, 1995, стр. 31.
^ ^а ^б ^c ^d Святой Иван (2000), "О несостоятельности предикативизма Нельсона ", Erkenntnis 53(1–2), стр. 147–154.
^ Не путать с Расселом предикативизм.
^ ^а ^б «Философия математики (Стэнфордская энциклопедия философии)». Plato.stanford.edu. Получено 2015-10-07.
^ «Отношение к фондам»

внешняя ссылка

[LCC-1] а ^б Международный семинар по логике и вычислительной сложности, Логика и вычислительная сложность, Springer, 1995, стр. 31.

[Iwan-2] а ^б ^c ^d Святой Иван (2000), "О несостоятельности предикативизма Нельсона ", Erkenntnis 53(1–2), стр. 147–154.

[3] Не путать с Расселом предикативизм.

[stanford1-4] а ^б «Философия математики (Стэнфордская энциклопедия философии)». Plato.stanford.edu. Получено 2015-10-07.

[5] «Отношение к фондам»

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]