Функции пола и потолка - Floor and ceiling functions

Для использования в других целях см. Этаж (значения) и Потолок (значения).

Функции пола и потолка

Функция пола

Функция потолка

В математика и Информатика, то функция пола это функция который принимает на входе настоящий номер ${\displaystyle x}$, и дает на выходе наибольшую целое число меньше или равно ${\displaystyle x}$, обозначенный ${\displaystyle \operatorname {floor} (x)}$ или ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$. Точно так же функция потолка карты ${\displaystyle x}$ до наименьшего целого числа, большего или равного ${\displaystyle x}$, обозначенный ${\displaystyle \operatorname {ceil} (x)}$ или ${\displaystyle \lceil x\rceil }$.^[1]

Например, ${\displaystyle \operatorname {floor} (2.4)=\lfloor 2.4\rfloor =2}$ и ${\displaystyle \operatorname {ceil} (2.4)=\lceil 2.4\rceil =3}$, в то время как ${\displaystyle \lfloor 2\rfloor =\lceil 2\rceil =2}$.

В неотъемлемая часть или целая часть из Икс, часто обозначаемый ${\displaystyle [x],}$ является ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ если Икс неотрицательно, и ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ в противном случае. На словах это целое число, у которого больше всего абсолютная величина меньше или равно абсолютному значению Икс.

Обозначение

В неотъемлемая часть или целая часть числа (partie entière в оригинале) был впервые определен в 1798 г. Адриан-Мари Лежандр в его доказательстве Формула Лежандра.

Карл Фридрих Гаусс ввел обозначение квадратных скобок ${\displaystyle [x]}$ в его третьем доказательстве квадратичная взаимность (1808).^[2] Это оставалось стандартом^[3] в математике до Кеннет Э. Айверсон представил в своей книге 1962 г. Язык программирования, названия «пол» и «потолок» и соответствующие обозначения ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ и ${\displaystyle \lceil x\rceil }$.^[4][5] Оба обозначения теперь используются в математике,^[6] хотя в этой статье мы будем придерживаться обозначений Айверсона.

В некоторых источниках жирный шрифт или двойные скобки ${\displaystyle [\![x]\!]}$ используются для пола и перевернутые скобки ${\displaystyle ]\!]x[\![}$ или ]Икс[для потолка.^[7][8] Иногда ${\displaystyle [x]}$ под функцией округления до нуля.^{[нужна цитата ]}

В дробная часть это пилообразная функция, обозначаемый ${\displaystyle \{x\}}$ серьезно Икс и определяется формулой^[9]

${\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor .}$

Для всех Икс,

${\displaystyle 0\leq \{x\}<1.}$

Примеры

Икс	Этаж ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$	Потолок ${\displaystyle \lceil x\rceil }$	Дробная часть ${\displaystyle \{x\}}$
2	2	2	0
2.4	2	3	0.4
2.9	2	3	0.9
−2.7	−3	−2	0.3
−2	−2	−2	0

Верстка

Функции пола и потолка обычно набираются с помощью левой и правой квадратных скобок, где отсутствуют верхние (для функции пола) или нижние (для функции потолка) горизонтальные полосы (${\displaystyle \lfloor \,\rfloor }$ для пола и ${\displaystyle \lceil \,\rceil }$ для потолка). Эти символы представлены в Unicode:

• U + 2308 ⌈ ЛЕВЫЙ ПОТОЛОК (HTML⌈ · & lceil ;, & LeftCeiling;)
• U + 2309 ⌉ ПРАВЫЙ ПОТОЛОК (HTML⌉ · & rceil ;, & RightCeiling;)
• U + 230A ⌊ ЛЕВЫЙ ЭТАЖ (HTML⌊ · & LeftFloor ;, & lfloor;)
• U + 230B ⌋ ПРАВЫЙ ЭТАЖ (HTML⌋ · & rfloor ;, & RightFloor;)

в Латекс системы набора, эти символы могут быть указаны с lfloor, rfloor, lceil и rceil команды в математическом режиме.

Определение и свойства

Учитывая реальные числа Икс и у, целые числа k, м, п и набор целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, пол и потолок можно определить уравнениями

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\},}$

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}$

Поскольку есть ровно одно целое число в полуоткрытый интервал длины один для любого действительного числа Икс, есть уникальные целые числа м и п удовлетворяющий уравнению

${\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.}$

где ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =m}$ и ${\displaystyle \lceil x\rceil =n}$ также можно принять за определение пола и потолка.

Эквивалентности

Эти формулы можно использовать для упрощения выражений, включающих полы и потолки.^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =m&\;\;{\mbox{ if and only if }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor =m&\;\;{\mbox{ if and only if }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&x&\leq n<x+1.\end{aligned}}}$

На языке теория порядка, функция пола - это остаточное отображение, то есть часть Связь Галуа: это верхний элемент функции, который вставляет целые числа в действительные числа.

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}$

Эти формулы показывают, как добавление целых чисел к аргументам влияет на функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

Сказанное выше никогда не будет правдой, если п не является целым числом; однако для каждого Икс и у, выполняются следующие неравенства:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}$

Отношения между функциями

Из определений ясно, что

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$ с равенством тогда и только тогда, когда Икс является целым числом, т.е.

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}$

Фактически для целых чисел п, функции пола и потолка являются идентичность:

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

Отрицание аргумента меняет пол и потолок и меняет знак:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}}$

и:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Отрицание аргумента дополняет дробную часть:

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Функции пола, потолка и дробной части: идемпотент:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

Результатом вложенных функций пола или потолка является самая внутренняя функция:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}$

из-за свойства идентичности для целых чисел.

Коэффициенты

Если м и п целые числа и п ≠ 0,

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

Если п положительное целое число^[11]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

Если м положительный^[12]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Для м = 2 из них следует

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .}$

В более общем смысле,^[13] для положительного м (Увидеть Личность Эрмита )

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Следующее может использоваться для преобразования полов в потолки и наоборот (м положительный)^[14]

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}$

Для всех м и п строго положительные целые числа:^{[15][нужен лучший источник ]}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

что для положительных и совмещать м и п, сводится к

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).}$

Поскольку правая часть общего случая симметрична относительно м и п, это означает, что

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

В более общем смысле, если м и п положительные,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Иногда это называют закон взаимности.^[16]

Вложенные подразделения

Для положительного целого числа п, и произвольные действительные числа м,Икс:^[17]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .}$

Продолжение и расширение серий

Ни одна из функций, обсуждаемых в этой статье, не непрерывный, но все кусочно-линейный: функции ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$, ${\displaystyle \lceil x\rceil }$, и ${\displaystyle \{x\}}$ имеют разрывы в целых числах.

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ является верхний полунепрерывный и${\displaystyle \lceil x\rceil }$ и ${\displaystyle \{x\}}$ полунепрерывны снизу.

Поскольку ни одна из функций, обсуждаемых в этой статье, не является непрерывной, ни одна из них не имеет степенной ряд расширение. Поскольку пол и потолок не являются периодическими, они не имеют равномерно сходящихся Ряд Фурье расширения. Функция дробной части имеет разложение в ряд Фурье^[18]

${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$

для Икс не целое число.

В точках разрыва ряд Фурье сходится к значению, которое является средним его пределов слева и справа, в отличие от функций пола, потолка и дробной части: для у фиксированный и Икс кратный у данный ряд Фурье сходится к у/ 2, а не Икс моду = 0. В точках непрерывности ряд сходится к истинному значению.

Используя формулу floor (x) = x - {x}, получаем

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$

для Икс не целое число.

Приложения

Оператор мода

Для целого числа Икс и положительное целое число у, то операция по модулю, обозначаемый Икс мод у, дает значение остатка при Икс делится на у. Это определение можно распространить на реальные Икс и у, у ≠ 0 по формуле

${\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

Тогда из определения функции пола следует, что эта расширенная операция удовлетворяет многим естественным свойствам. В частности, Икс мод у всегда между 0 и у, т.е.

если у положительный,

${\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y,}$

и если у отрицательный,

${\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.}$

Квадратичная взаимность

Третье доказательство Гаусса квадратичная взаимность, модифицированный Эйзенштейном, состоит из двух основных шагов.^[19][20]

Позволять п и q - различные положительные нечетные простые числа, и пусть

${\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},}$ ${\displaystyle n={\frac {q-1}{2}}.}$

Первый, Лемма Гаусса используется, чтобы показать, что Лежандровые символы даны

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }}$

и

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.}$

Второй шаг - использовать геометрический аргумент, чтобы показать, что

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

Комбинирование этих формул дает квадратичную взаимность в виде

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Существуют формулы, в которых пол используется для выражения квадратичного характера малых чисел по модулю нечетных простых чисел. п:^[21]

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.}$

Округление

Для произвольного действительного числа ${\displaystyle x}$, округление ${\displaystyle x}$ к ближайшему целому числу с разрыв связи к положительной бесконечности ${\displaystyle {\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {\lfloor 2x\rfloor }{2}}\right\rceil }$; округление в сторону отрицательной бесконечности дается как ${\displaystyle {\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {\lceil 2x\rceil }{2}}\right\rfloor }$.

Если разрыв связи отличен от 0, тогда функция округления равна ${\displaystyle {\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor }$, и округление в сторону даже можно выразить более громоздкими ${\displaystyle \lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\tfrac {2x-1}{4}}\right\rceil -\left\lfloor {\tfrac {2x-1}{4}}\right\rfloor -1}$, которое является приведенным выше выражением для округления в сторону положительной бесконечности ${\displaystyle {\text{rpi}}(x)}$ минус целостность индикатор для ${\displaystyle {\tfrac {2x-1}{4}}}$.

Усечение

В усечение положительного числа дается ${\displaystyle \lfloor x\rfloor .}$ Усечение отрицательного числа дается ${\displaystyle \lceil x\rceil }$. Очевидно, что усечение ${\displaystyle 0}$ сам по себе ${\displaystyle 0}$.

Усечение любого действительного числа может быть дано следующим образом: ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)\lfloor |x|\rfloor }$, где sgn - функция знака.

Количество цифр

Количество цифр в база б положительного целого числа k является

${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

Факторы факториалов

Позволять п быть положительным целым числом и п положительное простое число. Показатель наибольшей степени п что разделяет п! дается версией Формула Лежандра^[22]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}$

где ${\displaystyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}$ это способ письма п в базе п. Это конечная сумма, поскольку этажи равны нулю при п^k > п.

Битти последовательность

В Битти последовательность показывает, как каждый положительный иррациональный номер приводит к разделению натуральные числа на две последовательности с помощью функции пола.^[23]

Постоянная Эйлера (γ)

Есть формулы для Постоянная Эйлера γ = 0,57721 56649 ..., которые включают пол и потолок, например^[24]

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}$

и

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }$

Дзета-функция Римана (ζ)

Функция дробной части также появляется в интегральных представлениях Дзета-функция Римана. Несложно доказать (используя интегрирование по частям)^[25] что если ${\displaystyle \phi (x)}$ - любая функция с непрерывной производной на отрезке [а, б],

${\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\phi (n)=\int _{a}^{b}\phi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (b).}$

Сдача ${\displaystyle \phi (n)={n}^{-s}}$ для реальная часть из s больше 1 и позволяя а и б быть целыми числами, и позволяя б приближение бесконечности дает

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}$

Эта формула верна для всех s с действительной частью больше -1, (кроме s = 1, где есть полюс) и в сочетании с разложением Фурье для {Икс} можно использовать для расширения дзета-функции на всю комплексную плоскость и для доказательства ее функционального уравнения.^[26]

Для s = σ + Это в критической полосе 0 < σ < 1,

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

В 1947 г. ван дер Поль использовал это представление, чтобы построить аналоговый компьютер для поиска корней дзета-функции.^[27]

Формулы для простых чисел

Функция пола присутствует в нескольких формулах, характеризующих простые числа. Например, поскольку ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor }$ равно 1, если м разделяет п, и 0 в противном случае, следует, что положительное целое число п это прайм если и только если^[28]

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}$

Можно также дать формулы для получения простых чисел. Например, пусть п_п быть п^th простое, и для любого целого р > 1, определите действительное число α по сумме

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

потом^[29]

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

Аналогичный результат - есть число θ = 1.3064... (Постоянная Миллса ) со свойством, что

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

все простые.^[30]

Также есть номер ω = 1.9287800 ... со свойством, что

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

все простые.^[30]

Позволять π(Икс) быть количеством простых чисел, меньших или равных Икс. Это простой вывод из Теорема Вильсона это^[31]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .}$

Кроме того, если п ≥ 2,^[32]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}$

Ни одна из формул в этом разделе не имеет практического применения.^[33][34]

Решенные проблемы

Рамануджан представил эти проблемы в Журнал Индийского математического общества.^[35]

Если п - натуральное число, докажите, что

(я) ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}$

(ii) ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}$

(iii) ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}$

Нерешенная проблема

Изучение Проблема Варинга привело к нерешенной проблеме:

Есть ли положительные целые числа k ≥ 6 таких, что^[36]

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2}$ ?

Малер^[37] доказал, что может быть только конечное число таких k; никто не известен.

Компьютерные реализации

Функция Int из преобразования с плавающей запятой в C

В большинстве языков программирования простейший метод преобразования числа с плавающей запятой в целое число - это не пол или потолок, а усечение. Причина этого историческая, так как первые машины использовали дополнение и усечение было проще реализовать (пол проще в два дополнения ). FORTRAN было определено, что требуется такое поведение, и поэтому почти все процессоры реализуют преобразование таким образом. Некоторые считают это неудачным историческим дизайнерским решением, которое привело к ошибкам, связанным с обработкой отрицательных смещений и графики на отрицательной стороне источника.^{[нужна цитата ]}

А побитовый сдвиг вправо целого числа со знаком ${\displaystyle x}$ от ${\displaystyle n}$ такой же как ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{2^{n}}}\right\rfloor }$. Деление на степень 2 часто записывается как сдвиг вправо не для оптимизации, как можно было бы предположить, а потому, что требуется минимум отрицательных результатов. Если предположить, что такие сдвиги являются «преждевременной оптимизацией», и замена их разделением может привести к поломке программного обеспечения.^{[нужна цитата ]}

Многие языки программирования (включая C, C ++,^[38][39] C #,^[40][41] Ява,^[42][43] PHP,^[44][45] р,^[46] и Python^[47]) предоставляют стандартные функции для пола и потолка, обычно называемые этаж и потолок, или реже потолок.^[48] Язык APL использует ⌊Икс для пола. В J язык программирования, продолжение APL, которое разработано для использования стандартных символов клавиатуры, использует <. для пола и >. для потолка.^[49]АЛГОЛ используетEntier для пола.

Программное обеспечение для электронных таблиц

Наиболее электронная таблица программы поддерживают некоторую форму потолок функция. Хотя детали в разных программах различаются, большинство реализаций поддерживают второй параметр - кратное которому данное число должно быть округлено до. Например, потолок (2, 3) округляет 2 до ближайшего кратного 3, давая 3. Однако определение того, что означает «округление», различается от программы к программе.

Майкрософт Эксель используется почти полная противоположность стандартным обозначениям, с INT для пола, и ЭТАЖ что означает округление до нуля, и ПОТОЛОК что означает округление от нуля.^[50] Это продолжилось до Office Open XML формат файла. Excel 2010 теперь следует стандартному определению.^[51]

В OpenDocument формат файла, используемый OpenOffice.org, Libreoffice и другие, следует математическому определению потолка для его потолок функция с необязательным параметром для совместимости с Excel. Например, ПОТОЛОК (-4,5) возвращает −4.

Смотрите также

• Кронштейн (математика)
• Целочисленная функция
• Ступенчатая функция

Заметки

1. Грэхем, Кнут и Паташник, гл. 3.1
2. Леммермейер, с. 10, 23.
3. например Касселс, Харди и Райт и Рибенбойм используют обозначения Гаусса, Грэм, Кнут и Паташник, а Крэндалл и Померанс используют обозначения Айверсона.
4. Айверсон, стр. 12.
5. Хайэм, стр. 25.
6. См. Статью Wolfram MathWorld.
7. Математические слова: функция пола.
8. Mathwords: функция потолка
9. Грэм, Кнут и Паташник, стр. 70.
10. Грэхем, Кнут и Паташинк, гл. 3
11. Грэм, Кнут и Паташник, стр. 73
12. Грэм, Кнут и Паташник, стр. 85
13. Грэм, Кнут и Паташник, стр. 85 и Исх. 3,15
14. Грэм, Кнут и Паташник, Исх. 3,12
15. Дж. Э. Блазек, Каталонский комбинат N-модулей, Магистерская работа, стр.17.
16. Грэм, Кнут и Паташник, стр. 94
17. Грэм, Кнут и Паташник, стр. 71, примените теорему 3.10 с x / m в качестве входных данных и делением на n как функцией
18. Титчмарш, стр. 15, уравнение. 2.1.7
19. Леммермейер, § 1.4, Пр. 1,32–1,33
20. Харди и Райт, §§ 6.11–6.13
21. Леммермейер, стр. 25
22. Харди и Райт, Т. 416
23. Грэм, Кнут и Паташник, стр. 77–78.
24. Эти формулы взяты из статьи в Википедии Постоянная Эйлера, в котором есть много других.
25. Титчмарш, стр. 13
26. Титчмарш, стр.14–15
27. Crandall & Pomerance, стр. 391
28. Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, п. 46. ​​Бесконечный верхний предел суммы можно заменить на п. Эквивалентное условие п > 1 является простым тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=1}$ .
29. Харди и Райт, § 22.3
30. Рибенбойм, стр. 186
31. Рибенбойм, стр. 181
32. Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, п. 46
33. Ribenboim, p.180, говорит, что «Несмотря на нулевую практическую ценность формул ... [они] могут иметь некоторое отношение к логикам, которые хотят ясно понять, как различные части арифметики могут быть выведены из различных аксиоматизаций ...»
34. Hardy & Wright, pp. 344–345 «Любая из этих формул (или любая подобная ей) достигла бы другого статуса, если бы точное значение числа α ... могло быть выражено независимо от простых чисел. Кажется, нет вероятности того, что это, но нельзя исключать, что это совершенно невозможно ».
35. Рамануджан, Вопрос 723, Статьи п. 332
36. Харди и Райт, стр. 337
37. Малер, К. О дробных частях степеней рационального числа II, 1957, Математика, 4, страницы 122–124
38. "Справочник по C ++ этаж функция ". Получено 5 декабря 2010.
39. "Справочник по C ++ потолок функция ". Получено 5 декабря 2010.
40. дотнет-бот. «Метод Math.Floor (Система)». docs.microsoft.com. Получено 28 ноября 2019.
41. дотнет-бот. "Метод Math.Ceiling (Система)". docs.microsoft.com. Получено 28 ноября 2019.
42. «Математика (Java SE 9 и JDK 9)». docs.oracle.com. Получено 20 ноября 2018.
43. «Математика (Java SE 9 и JDK 9)». docs.oracle.com. Получено 20 ноября 2018.
44. "Руководство по PHP для потолок функция ". Получено 18 июля 2013.
45. "Руководство по PHP для этаж функция ". Получено 18 июля 2013.
46. «R: округление чисел».
47. "Руководство по Python для математика модуль ". Получено 18 июля 2013.
48. Салливан, стр. 86.
49. "Запас слов". J Язык. Получено 6 сентября 2011.
50. «Обзор функций округления Excel».
51. Но онлайн-справка, представленная в 2010 году, не отражает этого поведения.

использованная литература

• J.W.S. Кассель (1957), Введение в диофантово приближение, Кембриджские трактаты по математике и математической физике, 45, Издательство Кембриджского университета
• Крэндалл, Ричард; Померанс, Карл (2001), Простые числа: вычислительная перспектива, Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-94777-9
• Грэм, Рональд Л .; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994), Конкретная математика, Ридинг Ма .: Эддисон-Уэсли, ISBN  0-201-55802-5
• Харди, Г. Х .; Райт, Э. М. (1980), Введение в теорию чисел (пятое издание), Оксфорд: Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853171-5
• Николас Дж. Хайэм, Справочник по письму для математических наук, SIAM. ISBN  0-89871-420-6, п. 25
• ISO /IEC. ISO / IEC 9899 :: 1999 (E): Языки программирования - C (2-е изд.), 1999; Раздел 6.3.1.4, с. 43.
• Айверсон, Кеннет Э. (1962), Язык программирования, Wiley
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна, Берлин: Springer, ISBN  3-540-66957-4
• Рамануджан, Шриниваса (2000), Сборник статей, Провиденс, Род-Айленд: AMS / Челси, ISBN  978-0-8218-2076-6
• Рибенбойм, Пауло (1996), Новая книга рекордов простых чисел, Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-94457-5
• Майкл Салливан. Precalculus, 8-е издание, с. 86
• Титчмарш, Эдвард Чарльз; Хит-Браун, Дэвид Родни («Роджер») (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), Оксфорд: Oxford U. P., ISBN  0-19-853369-1

внешние ссылки

• «Функция пола», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Штефан Порубски, «Целочисленные функции округления», Интерактивный информационный портал по алгоритмической математике, Институт компьютерных наук Чешской академии наук, Прага, Чешская Республика, проверено 24 октября 2008 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция пола». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция потолка». MathWorld.