Формализм (философия математики) - Formalism (philosophy of mathematics)

в философия математики, формализм это точка зрения, согласно которой утверждения математика и логика можно рассматривать как утверждения о последствиях манипулирования струны (буквенно-цифровые последовательности символов, обычно в виде уравнений) с использованием установленных правила манипуляции. Центральная идея формализма »заключается в том, что математика - это не совокупность предложений, представляющих абстрактный сектор реальности, а гораздо больше похожа на игру, не приносящую с собой больше приверженности онтология объектов или свойств, чем ludo или шахматы."[1] Согласно формализму, истины, выраженные в логике и математике, не касаются чисел, множеств, треугольников или любого другого сопутствующего предмета - фактически, они вообще ни о чем не «ни о чем». Скорее, математические утверждения синтаксический формы, формы и расположение которых не имеют значения, если им не дать интерпретация (или семантика ). В отличие от логицизм или интуиционизм контуры формализма менее определены из-за широких подходов, которые можно отнести к категории формалистических.

Наряду с логицизмом и интуиционизмом формализм является одной из основных теорий философии математики, которая развивалась в конце девятнадцатого и начале двадцатого века. Среди формалистов Дэвид Гильберт был самым известным защитником.[2]

Ранний формализм

Ранние математические формалисты пытались «блокировать, избегать или обходить (каким-то образом) любые онтологические обязательства в проблемной сфере абстрактных объектов».[1] Немецкие математики Эдуард Гейне и Карл Йоханнес Томае считаются первыми сторонниками математического формализма.[1] Формализм Гейне и Тома можно найти в Готлоб Фреге критика в Основы арифметики.

Согласно Алану Вейру, формализм Гейне и Тома, который атакует Фреге, можно «описать [d] как термин формализм или игровой формализм».[1] Термин формализм - это точка зрения, согласно которой математические выражения относятся к символам, а не к числам. Гейне выразил эту точку зрения следующим образом: «Когда дело доходит до определения, я занимаю чисто формальную позицию, в которой я называю определенные вещественные знаки числами, так что существование этих чисел не подлежит сомнению».[3]

Томае охарактеризован как игровой формалист, заявивший, что «[е] или формалист, арифметика - это игра со знаками, которые называются пустыми. Это означает, что у них нет другого содержания (в вычислительной игре), кроме того, что им предписано их поведением. в отношении определенных правил комбинации (правил игры) ».[4]

Фреге критикует формализм Гейне и Тома тремя способами: «что [формализм] не может объяснить применение математики; что он смешивает формальную теорию с метатеорией; [и] что он не может дать связного объяснения концепции бесконечной последовательности».[5] Критика Фреге формализма Гейне состоит в том, что его формализм не может объяснить бесконечные последовательности. Даммит утверждает, что более развитые представления о формализме, чем теория Гейне, могли бы избежать возражений Фреге, заявив, что они касаются абстрактных символов, а не конкретных объектов.[6] Фреге возражает против сравнения формализма с игрой, такой как шахматы.[7] Фреге утверждает, что формализм Тома не проводит различия между игрой и теорией.

Формализм Гильберта

Дэвид Гильберт

Важной фигурой формализма был Дэвид Гильберт, чья программа был задуман как полный и последовательный аксиоматизация всей математики.[8] Гильберт стремился показать непротиворечивость математических систем, исходя из предположения, что «финитарная арифметика» (подсистема обычной арифметика положительных целые числа, выбранная как философски непротиворечивая) была последовательной (т.е. противоречия может быть получен из системы).

Способ, которым Гильберта пытались показать непротиворечивость аксиоматической системы, формализовав ее с помощью определенного языка.[9] Чтобы формализовать аксиоматическую систему, вы должны сначала выбрать язык, на котором вы можете выражать и выполнять операции в этой системе. Этот язык должен включать пять компонентов:

  • Он должен включать такие переменные, как Икс, что может означать какое-то число.
  • Он должен иметь кванторы, такие как символ существования объекта.
  • Он должен включать равенство.
  • Он должен включать такие связки, как ↔ для «тогда и только тогда».
  • Он должен включать определенные неопределенные термины, называемые параметрами. Для геометрии эти неопределенные термины могут быть чем-то вроде точки или линии, для которых мы все еще выбираем символы.

Приняв этот язык, Гильберта думал, что мы можем доказать все теоремы в рамках любой аксиоматической системы, используя только сами аксиомы и выбранный формальный язык.

Гёделя заключение в его теоремы о неполноте заключалось в том, что невозможно доказать непротиворечивость в рамках какой-либо последовательной аксиоматической системы, достаточно богатой, чтобы включать классическую арифметику. С одной стороны, вы должны использовать только формальный язык, выбранный для формализации этой аксиоматической системы; с другой стороны, невозможно доказать непротиворечивость этого языка как такового.[9] Гильберта изначально был разочарован работой Гёделя, потому что она разрушила цель его жизни - полностью формализовать все в теории чисел.[10] Однако, Гёдель не чувствовал, что он противоречит всему Гильберта формалистическая точка зрения.[11] После Гёдель опубликовал свою работу, стало очевидно, что теория доказательств все еще находит применение, с той лишь разницей, что ее нельзя было использовать для доказательства непротиворечивости всей теории чисел как Гильберта надеялся.[10]

Гильберт изначально был дедуктивистом,[нужна цитата ] но он считал определенным метаматематический методы для получения действительно значимых результатов и реалист относительно финитарной арифметики. Позже он придерживался мнения, что никакой другой значимой математики не существует, независимо от интерпретации.

Дальнейшие разработки

Другие формалисты, такие как Рудольф Карнап, считал математику исследованием формальные системы аксиом.[12]

Хаскелл Карри определяет математику как «науку о формальных системах».[13] Формализм Карри не похож на формализм терминов, формалистов игр или формализм Гильберта. Для Карри математический формализм касается формальной структуры математики, а не формальной системы.[13] Стюарт Шапиро описывает формализм Карри как исходящий из «исторического тезиса о том, что по мере развития отрасли математики она становится все более и более строгой в своей методологии, конечным результатом которой является кодификация этой отрасли в формальных дедуктивных системах».[14]

Критика формализма

Курт Гёдель указал на одну из слабых сторон формализма, обращаясь к вопросу о непротиворечивости аксиоматических систем.

Бертран Рассел утверждал, что формализм не может объяснить, что подразумевается под лингвистическим применением чисел в таких утверждениях, как «в комнате трое мужчин».[15]

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ а б c d Вейр, Алан (2015), «Формализм в философии математики», в Залте, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (Издание весны 2015 г.), Исследовательская лаборатория метафизики Стэнфордского университета., получено 2019-05-25
  2. ^ Саймонс, Питер (2009). "Формализм". Философия математики. Эльзевир. п. 292. ISBN  9780080930589.
  3. ^ Саймонс, Питер (2009). Философия математики. Эльзевир. п. 293. ISBN  9780080930589.
  4. ^ Фреге, Готтлоб (1903). Основы арифметики: логико-математическое исследование понятия числа. Чикаго: издательство Северо-Западного университета. п. 183.
  5. ^ Даммит, Майкл (1991). Фреге: философия математики. Кембридж: Издательство Гарвардского университета. п. 252. ISBN  9780674319356.
  6. ^ Даммит, Майкл (1991). Фреге: философия математики. Кембридж: Издательство Гарвардского университета. п. 253. ISBN  9780674319356.
  7. ^ Фреге, Готтлоб; Эберт, Филип А .; Кук, Рой Т. (1893). Основные законы арифметики: выведены с использованием концепт-скрипта. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета (опубликовано в 2013 г.). С. § 93. ISBN  9780199281749.
  8. ^ Зак, Ричард (2019), «Программа Гильберта», в Залте, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (Лето 2019 г.), Исследовательская лаборатория метафизики Стэнфордского университета, получено 2019-05-25
  9. ^ а б Снаппер, Эрнст (сентябрь 1979 г.). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм» (PDF). Математический журнал. 52 (4): 207–216. Дои:10.1080 / 0025570X.1979.11976784.
  10. ^ а б Рид, Констанс; Вейль, Герман (1970). Гильберта. Springer-Verlag. п. 198. ISBN  9783662286159.
  11. ^ Гёдель, Курт (1986). Феферман, Соломон (ред.). Курт Гёдель: Собрание сочинений: Том I: Публикации 1929-1936 гг.. 1. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 195. ISBN  9780195039641.
  12. ^ Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка. Рутледж. С. 325–328. ISBN  9781317830597.
  13. ^ а б Карри, Хаскелл Б. (1951). Очертания формалистической философии математики. Эльзевир. п. 56. ISBN  9780444533685.
  14. ^ Шапиро, Стюарт (2005). "Формализм". Оксфордский компаньон философии. Хондерих, Тед (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780191532658. OCLC  62563098.
  15. ^ Бертран Рассел Мое философское развитие, 1959, гл. ИКС.

внешние ссылки