Число Эрдеша - Erdős number

Пол Эрдёш в 1992 году

В Число Эрдеша (Венгерский:[ˈƐrdøːʃ]) описывает «коллаборативное расстояние» между математиками Пол Эрдёш и другое лицо, исходя из авторства математические статьи. Тот же принцип применялся и в других областях, где конкретное лицо сотрудничало с большим и широким кругом коллег.

Обзор

Пол Эрдеш (1913–1996) был влиятельным Венгерский математик, который во второй половине своей жизни потратил много времени на написание статей с большим количеством коллег, работая над решениями нерешенных математических задач.[1] За свою жизнь он опубликовал больше статей (не менее 1525[2]), чем любой другой математик в истории.[1] (Леонард Эйлер опубликовал больше общих страниц по математике, но меньше отдельных статей: около 800.)[3] Эрдёш провел большую часть своей дальнейшей жизни, живя на чемодане, посещая своих более 500 сотрудников по всему миру.

Идея числа Эрдеша изначально была придумана друзьями математика как дань уважения его огромным результатам. Позже он получил известность как инструмент для изучения того, как математики сотрудничают, чтобы найти ответы на нерешенные проблемы. Несколько проектов посвящены изучению возможности взаимодействия между исследователями с использованием числа Эрдеша в качестве прокси.[4] Например, Эрдёш графики сотрудничества может рассказать нам о том, как объединяются авторы, как число соавторов на статью меняется с течением времени или как распространяются новые теории.[5]

Несколько исследований показали, что у ведущих математиков обычно очень низкие числа Эрдеша.[6] Среднее число Эрдеша Медалисты Филдса равно 3. Только 7 097 (около 5% математиков с опытом сотрудничества) имеют число Эрдеша 2 или меньше.[7] По прошествии времени наименьшее число Эрдеша, которое еще может быть достигнуто, обязательно будет увеличиваться, поскольку математики с низкими числами Эрдеша умирают и становятся недоступными для сотрудничества. Тем не менее, у исторических личностей могут быть низкие числа Эрдеша. Например, известный индийский математик Шриниваса Рамануджан имеет число Эрдеша только 3 (через Г. Х. Харди, Номер Эрдеша 2), хотя Полу Эрдешу было всего 7 лет, когда Рамануджан умер.[8]

Определение и применение в математике

Если Алиса сотрудничает с Полом Эрдёшем в одной статье и с Бобом в другой, но Боб никогда не сотрудничает с самим Эрдёшем, тогда Алисе дается число Эрдёша, равное 1, а Бобу дается число Эрдёша, равное 2, поскольку он находится в двух шагах от Эрдёша.

Чтобы получить номер Эрдёша, кто-то должен быть соавтором исследовательской работы с другим человеком, у которого есть конечное число Эрдёша. У Пола Эрдеша число Эрдеша равно нулю. Чужой номер Эрдеша k + 1 куда k является наименьшим числом Эрдеша среди всех соавторов. В Американское математическое общество предоставляет бесплатный онлайн-инструмент для определения числа Эрдеша каждого математического автора, указанного в Математические обзоры каталог.[8]

Эрдеш за свою жизнь написал около 1500 математических статей, в основном в соавторстве. У него было 512 непосредственных сотрудников;[4] это люди с числом Эрдёша 1. Люди, которые сотрудничали с ними (но не с самим Эрдёшем), имеют число Эрдёш, равное 2 (12 600 человек по состоянию на 7 августа 2020 г.[9]), те, кто сотрудничал с людьми, у которых число Эрдёша равно 2 (но не с Эрдёшем или кем-либо, у кого число Эрдёша равно 1), имеют число Эрдёша равное 3 и так далее. Человек без такой цепочки соавторства, связанный с Эрдёшем, имеет число Эрдёша бесконечность (или неопределенный один). После смерти Пола Эрдёша наименьшее число Эрдёша, которое может получить новый исследователь, равно 2.

Есть место для двусмысленности в том, что составляет связь между двумя авторами. Калькулятор расстояния сотрудничества Американского математического общества использует данные из Математические обзоры, который включает в себя большинство математических журналов, но охватывает другие темы лишь в ограниченной степени, а также включает некоторые неисследовательские публикации[нужна цитата ]. На веб-сайте проекта числа Эрдёша говорится:

... Нашим критерием включения ребра между вершинами u и v является научное сотрудничество между ними, в результате которого была опубликована работа. Допускается любое количество дополнительных соавторов, ...

но они не включают неисследовательские публикации, такие как учебники для начальной школы, совместные редакции, некрологи и тому подобное. «Число Эрдеша второго рода» ограничивает присвоение чисел Эрдеша работам, в которых участвуют только два сотрудника.[10]

Число Эрдеша, скорее всего, было впервые определено в печати Каспером Гоффманом, аналитик чье собственное число Эрдеша равно 2.[9] Гоффман опубликовал свои наблюдения о плодотворном сотрудничестве Эрдёша в статье 1969 года, озаглавленной «А какой у вас номер Эрдёша?"[11] См. Также некоторые комментарии в некрологе Майкла Голомба.[12]

Среднее число Эрдеша среди Медалисты Филдса всего 3.[7] Среди медалистов Филдса с номером 2 Эрдёша Атле Сельберг, Кунихико Кодайра, Клаус Рот, Алан Бейкер, Энрико Бомбьери, Дэвид Мамфорд, Чарльз Фефферман, Уильям Терстон, Шинг-Тунг Яу, Жан Бургейн, Ричард Борчердс, Манджул Бхаргава, Жан-Пьер Серр и Теренс Тао. Медалистов Филдса с номером 1 Эрдёша нет;[13] тем не мение, Эндре Семереди является Премия Абеля Лауреат с номером Эрдёша 1.[6]

Наиболее частые соавторы Erds

Хотя Эрдеш сотрудничал с сотнями соавторов, были некоторые люди, с которыми он был соавтором десятков статей. Это список из десяти человек, которые наиболее часто были соавторами с Эрдёшем, и количество их статей, написанных в соавторстве с Эрдёшем (то есть количество их совместных работ).[14]

СоавторКоличество
сотрудничество
Андраш Шаркози62
Андраш Хайнал56
Ральф Фодри50
Ричард Шелп42
Сесил К. Руссо35
Вера Т. Сос35
Альфред Реньи32
Пал Туран30
Эндре Семереди29
Рональд Грэм28

Связанные поля

По состоянию на 2016 год, все Медалисты Филдса имеют конечное число Эрдеша со значениями в диапазоне от 2 до 6 и медианное значение 3. Напротив, медианное число Эрдеша для всех математиков (с конечным числом Эрдеша) равно 5 с экстремальным значением 13.[15] В таблице ниже приведены статистические данные о количестве Эрдеша для Нобелевская премия лауреаты по физике, химии, медицине и экономике.[16] В первом столбце указано количество лауреатов. Во втором столбце подсчитывается количество победителей с конечным числом Эрдеша. Третий столбец - процент победителей с конечным числом Эрдеша. В остальных столбцах указаны минимальное, максимальное, среднее и среднее число Эрдеша среди этих лауреатов.

Статистика математического сотрудничества, 1903-2016 гг.
# Лауреаты# Эрдёш% ЭрдешМин.МаксимумСреднийМедиана
Медаль Филдса5656100.0%263.363
Нобелевская экономика764761.84%284.114
Нобелевская химия1724224.42%3105.485
Нобелевская медицина2105827.62%3125.505
Нобелевская физика20015979.50%2125.635

Физика

Среди лауреатов Нобелевской премии по физике, Альберт Эйнштейн и Шелдон Ли Глэшоу имеют число Эрдёша 2. Нобелевские лауреаты с числом Эрдёша 3 включают Энрико Ферми, Отто Стерн, Вольфганг Паули, Макс Борн, Уиллис Э. Лэмб, Юджин Вигнер, Ричард П. Фейнман, Ганс А. Бете, Мюррей Гелл-Манн, Абдус Салам, Стивен Вайнберг, Норман Ф. Рэмси, Франк Вильчек, и Дэвид Вайнленд. Физик, обладатель медали Филдса Эд Виттен имеет число Эрдеша 3.[7]

Биология

Компьютерный биолог Лиор Пахтер имеет число Эрдеша 2.[17] Эволюционный биолог Ричард Ленски имеет число Эрдеша 3, он является соавтором публикации с Лиором Пахтером и математиком. Бернд Штурмфельс, у каждого из которых число Эрдеша равно 2.[18]

Финансы и экономика

Есть как минимум два победителя Нобелевская премия по экономике с числом Эрдеша 2: Гарри М. Марковиц (1990) и Леонид Канторович (1975). Среди других финансовых математиков с числом Эрдёша 2: Дэвид Донохо, Марк Йор, Генри Маккин, Дэниел Строок, и Джозеф Келлер.

Среди лауреатов Нобелевской премии по экономике с числом Эрдеша 3: Кеннет Дж. Эрроу (1972), Милтон Фридман (1976), Герберт А. Саймон (1978), Жерар Дебре (1983), Джон Форбс Нэш младший (1994), Джеймс Миррлис (1996), Дэниел Макфадден (2000), Даниэль Канеман (2002), Роберт Дж. Ауманн (2005), Леонид Гурвич (2007), Роджер Майерсон (2007), Элвин Э. Рот (2012), и Ллойд С. Шепли (2012) и Жан Тироль (2014).[19]

Некоторые инвестиционные фирмы были основаны математиками с низкими числами Эрдеша, в том числе Джеймс Б. Акс из Axcom Technologies, и Джеймс Х. Саймонс из Renaissance Technologies, оба с числом Эрдеша 3.[20][21]

Философия

Поскольку более формальные версии философии разделяют рассуждения с основами математики, эти области существенно пересекаются, и числа Эрдеша доступны для многих философов.[22] Философ Джон П. Берджесс имеет число Эрдеша 2.[17] Джон Барвайз и Джоэл Дэвид Хэмкинс оба с числом Эрдеша 2 также внесли большой вклад в философию, но в основном описываются как математики.

Закон

Судить Ричард Познер в соавторстве с Элвин Э. Рот, имеет число Эрдеша не более 4. Роберто Мангабейра Унгер, политик, философ и теоретик права, преподающий в Гарвардской школе права, имеет число Эрдёша не более 4, в соавторстве с Ли Смолин.

Политика

Ангела Меркель, Канцлер Германии с 2005 года по настоящее время имеет число Эрдеша не более 5.[13]

Инженерное дело

Некоторые области техники, в частности теория коммуникации и криптография, напрямую использовать дискретную математику, отстаиваемую Эрдёшем. Поэтому неудивительно, что у практикующих в этих областях низкие числа Эрдеша. Например, Роберт МакЭлис, профессор электротехника в Калтех, имел номер Эрдёша 1, сотрудничая с самим Эрдёшем.[23] Криптографы Рон Ривест, Ади Шамир, и Леонард Адлеман, изобретатели ЮАР криптосистема, все имеют число Эрдеша 2.[17]

Анализ социальных сетей

Антрополог Дуглас Р. Уайт получил число Эрдёша, равное 2, согласно теоретикам графов. Фрэнк Харари.[24][25] Социолог Барри Веллман имеет число Эрдеша 3 через социальная сеть аналитик и статистик Уве Франк,[26] еще один сотрудник Харари.[27]

Лингвистика

Румынский математик и компьютерный лингвист Соломон Маркус имело число Эрдёша 1 для статьи в Acta Mathematica Hungarica которую он написал в соавторстве с Эрдёшем в 1957 году.[28]

Влияние

Пол Эрдёш в 1985 г. Университет Аделаиды обучение Теренс Тао, которому тогда было 10 лет. Тао стал профессором математики в UCLA получил Медаль Филдса в 2006 г. и был избран Член Королевского общества в 2007 году. Его число Эрдеша - 2

Цифры Эрдеша были частью фольклор математиков всего мира на протяжении многих лет. Среди всех работающих математиков на рубеже тысячелетий, у которых есть конечное число Эрдеша, оно достигает 15, медиана равна 5, а среднее - 4,65;[4] почти каждый с конечным числом Эрдеша имеет число меньше 8. Из-за очень высокой частоты междисциплинарного сотрудничества в современной науке, очень большое количество нематематиков во многих других областях науки также имеет конечные числа Эрдеша.[29] Например, политолог Стивен Брамс имеет число Эрдёша, равное 2. В биомедицинских исследованиях статистики обычно входят в число авторов публикаций, и многие статистики могут быть связаны с Эрдёшем через Джон Тьюки, у которого число Эрдёша равно 2. Точно так же известный генетик Эрик Лендер и математик Даниэль Клейтман сотрудничали по статьям,[30][31] а поскольку у Клейтмана число Эрдёша равно 1,[32] значительная часть сообщества генетиков и геномиков может быть связана через Ландера и его многочисленных сотрудников. Точно так же сотрудничество с Густав Симмонс открыл дверь для Числа Эрдеша в пределах криптографический исследовательское сообщество и многие лингвисты имеют конечные числа Эрдеша, многие из которых связаны с цепочкой сотрудничества с такими известными учеными, как Ноам Хомский (Номер Эрдеша 4),[33] Уильям Лабов (3),[34] Марк Либерман (3),[35] Джеффри Пуллум (3),[36] или же Иван Саг (4).[37] Также есть связи с искусство поля.[38]

По словам Алекса Лопес-Ортиса, все Поля и Приз Неванлинны победители в течение трех циклов с 1986 по 1994 год имеют не более 9 чисел Эрдёша.

Ранее математики публиковали меньше статей, чем современные, и реже публиковали совместно написанные статьи. Самый ранний из известных людей, имевший конечное число Эрдеша, либо Антуан Лавуазье (род. 1743, число Эрдёша 13), Ричард Дедекинд (родился 1831 г., номер Эрдёша 7), или Фердинанд Георг Фробениус (родился в 1849 г., номер Эрдеша 3), в зависимости от стандарта права на публикацию.[39]

Мартин Томпа[40] предложил ориентированный граф версия проблемы с числами Эрдеша, ориентируя ребра графа сотрудничества от более раннего по алфавиту автора к более позднему в алфавитном порядке автора и определяя монотонное число Эрдёша автора быть длиной в самый длинный путь от Эрдеша к автору в этом ориентированном графе. Он находит путь такого типа длиной 12.

Также, Майкл Барр предлагает «рациональные числа Эрдеша», обобщая идею о том, что человеку, написавшему p совместных статей с Эрдешем, следует присвоить номер Эрдеша 1 / p. Из коллаборации мультиграфов второго типа (хотя у него тоже есть способ разобраться со случаем первого рода) - с одним преимуществом между двумя математиками для каждый совместную бумагу, которую они создали - формируйте электрическую сеть с резисторами сопротивлением 1 Ом на каждом конце. Общее сопротивление между двумя узлами говорит о том, насколько эти два узла «близки».

Утверждалось, что «для отдельного исследователя такая мера, как число Эрдеша, отражает структурные свойства [сети] сети, тогда как час-индекс отражает влияние публикаций на цитируемость », и что« можно легко убедиться, что ранжирование в сетях соавторства должно учитывать обе меры для создания реалистичного и приемлемого рейтинга ».[41]

В 2004 году Уильям Тозьер, математик с числом Эрдёша 4, продал с аукциона соавторство на eBay Таким образом, покупатель получил число Эрдёша, равное 5. Победившая ставка в размере 1031 доллар была объявлена ​​испанским математиком, который, однако, не собирался платить, а просто сделал ставку, чтобы остановить то, что он считал издевательством.[42][43]

Вариации

Было предложено несколько вариантов концепции для применения в других областях.

Самым известным является Число Бекона (как в игре Шесть градусов Кевина Бэкона ), связывая актеров, появившихся в фильме, вместе с актером Кевин Бэкон. Он был создан в 1994 году, через 25 лет после статьи Гоффмана о числе Эрдёша.

Небольшое количество людей связано как с Эрдёшем, так и с Бэконом и, таким образом, имеет Число Эрдёша – Бэкона, который объединяет два числа, взяв их сумму. Один из примеров - актриса-математик. Даника МакКеллар, наиболее известный по роли Винни Купера в сериале Чудесные годы. Ее число Эрдеша - 4,[44] а ее число Бэкона - 2.[45]

Возможно дальнейшее продление. Например, «число Эрдеша – Бэкона – Саббата» представляет собой сумму числа Эрдеша – Бэкона и совместного расстояния до группы. Black Sabbath с точки зрения пения на публике. Физик Стивен Хокинг имело число Эрдеша – Бэкона – Субботы 8,[46] и актриса Натали Портман имеет один из 11 (ее число Эрдёша 5).[47]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Ньюман, Марк Э. Дж. (2001). «Структура сетей научного сотрудничества». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 98 (2): 404–409. Дои:10.1073 / pnas.021544898. ЧВК  14598. PMID  11149952.
  2. ^ Гроссман, Джерри. "Публикации Пола Эрдёша". Получено 1 февраля 2011.
  3. ^ "Часто задаваемые вопросы". Эйлеров архив. Дартмутский колледж.
  4. ^ а б c "Проект числа Эрдеша". Оклендский университет.
  5. ^ «Факты о числах Эрдеша и графике сотрудничества». Проект числа Эрдеша. Оклендский университет.
  6. ^ а б Де Кастро, Родриго; Гроссман, Джерролд В. (1999). «Знаменитые тропы к Паулю Эрдёшу» (PDF). Математический интеллект. 21 (3): 51–63. Дои:10.1007 / BF03025416. МИСТЕР  1709679. S2CID  120046886. Архивировано из оригинал (PDF) на 2015-09-24. Оригинальная испанская версия на Преподобный акад. Colombiana Cienc. Точный. Фис. Natur. 23 (89) 563–582, 1999, МИСТЕР1744115.
  7. ^ а б c "Некоторые известные люди с конечными числами Эрдеша". oakland.edu. Получено 4 апреля 2014.
  8. ^ а б «Расстояние сотрудничества». MathSciNet. Американское математическое общество.
  9. ^ а б Erdos2, Версия 2020, 7 августа 2020 г.
  10. ^ Гроссман и другие. "Числа Эрдеша второго рода," в Факты о числах Эрдеша и графике сотрудничества. Проект числа Эрдёша, Оклендский университет, СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. Проверено 25 июля 2009 года.
  11. ^ Гоффман, Каспер (1969). «А какой у вас номер Эрдёша?». Американский математический ежемесячный журнал. 76 (7): 791. Дои:10.2307/2317868. JSTOR  2317868.
  12. ^ "Приют Эрдеша Майкла Голомба".
  13. ^ а б «Пути к Эрдёшу». Проект числа Эрдёша. Оклендский университет.
  14. ^ Гроссман, Джерри, Erdos0p, Версия 2010, Проект числа Эрдёша, Оклендский университет, США, 20 октября 2010 г.
  15. ^ «Факты о числах Эрдёша и графике сотрудничества - Проект чисел Эрдёша - Оклендский университет». wwwp.oakland.edu. Получено 2016-10-27.
  16. ^ Лопес де Прадо, Маркос (2016). «Математика и экономика: проверка реальности». Журнал управления портфелем. 43 (1): 5–8. Дои:10.3905 / jpm.2016.43.1.005.
  17. ^ а б c «Список всех людей с числом Эрдош меньше или равным 2». Проект числа Эрдёша. Оклендский университет. 14 июля 2015 г.. Получено 25 августа 2015.
  18. ^ Ричард Ленски (28 мая 2015 г.). «Эрдёш с некошерной стороной бекона».
  19. ^ Гроссман, Дж. (2015): «Проект числа Эрдёша». http://wwwp.oakland.edu/enp/erdpaths/
  20. ^ Кишан, Сайджел (11.11.2016). «Шесть степеней квантовости: Кевин Бэкон и загадка числа Эрдёша». Bloomberg.com. Получено 2016-11-12.
  21. ^ Бейли, Дэвид Х. (2016-11-06). "Числа Эрдеша: правдивая история" Принца и нищего ". Математический инвестор. Получено 2016-11-12.
  22. ^ Тоби Хэндфилд. «Философские исследовательские сети».
  23. ^ Эрдеш, Пол, Роберт МакЭлис и Герберт Тейлор (1971). «Оценки Рамсея для графовых произведений» (PDF). Тихоокеанский математический журнал. 37 (1): 45–46. Дои:10.2140 / pjm.1971.37.45.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  24. ^ Уайт, Дуглас Р .; Харари, Фрэнк (2001). «Связность блоков в социальных сетях: подключение узлов и условная плотность». Социологическая методология. 31: 305–59. Дои:10.1111/0081-1750.00098.
  25. ^ "VITA: Дуглас Р. Уайт, профессор антропологии и социальных наук, Калифорнийский университет в Ирвине". Получено 14 декабря, 2017.
  26. ^ Барри Веллман, Уве Франк, Висенте Эспиноза, Стаффан Лундквист и Крейг Уилсон. «Интеграция индивидуального, реляционного и структурного анализа». 1991 г. Социальные сети 13 (сентябрь): 223-50.
  27. ^ Уве Франк; Фрэнк Харари, «Кластерный вывод с использованием индексов транзитивности в эмпирических графах». Журнал Американской статистической ассоциации, 77, 380. (декабрь 1982 г.), стр. 835–840.
  28. ^ Эрдеш, Пол; Маркус, Соломон (1957). "Sur la décomposition de l'espace euclidien ensembles homogènes" [О разложении евклидова пространства на однородные множества]. Acta Mathematica Hungarica. 8 (3–4): 443–452. Дои:10.1007 / BF02020326. МИСТЕР  0095456. S2CID  121671198.
  29. ^ Гроссман, Джерри. "Некоторые известные люди с конечными числами Эрдеша". Получено 1 февраля 2011.
  30. ^ Pachter, L; Batzoglou, S; Спитковский, В.И. Банки, E; Lander, ES; Клейтман, диджей; Бергер, Б. (1999). «Подход на основе словаря для аннотации генов». J Comput Biol. 6 (3–4): 419–30. Дои:10.1089/106652799318364. PMID  10582576.
  31. ^ Клейтман, Даниэль. "Публикации с 1980 года более или менее". Массачусетский Институт Технологий.
  32. ^ Эрдеш, Пол; Клейтман, Даниэль (Апрель 1971 г.). «О коллекциях подмножеств, не содержащих 4-членную булеву алгебру» (PDF). Труды Американского математического общества. 28 (1): 87–90. Дои:10.2307/2037762. JSTOR  2037762.
  33. ^ фон Финтел, Кай (2004). «Мой номер Эрдёша 8». Semantics, Inc. Архивировано с оригинал 23 августа 2006 г.
  34. ^ "У Аарона Динкина есть веб-сайт?". Ling.upenn.edu. Получено 2010-08-29.
  35. ^ "Домашняя страница Марка Либермана". Ling.upenn.edu. Получено 2010-08-29.
  36. ^ "Кристофер Поттс: Разное". Stanford.edu. Получено 2010-08-29.
  37. ^ «Число Боба Эрдёша». Lingo.stanford.edu. Получено 2010-08-29.
  38. ^ Боуэн, Джонатан П.; Уилсон, Робин Дж. (10–12 июля 2012 г.). «Визуализация виртуальных сообществ: от Эрдеша до искусства». В Данне, Стюарт; Боуэн, Джонатан П .; Нг, Киа (ред.). EVA London 2012: Электронная визуализация и искусство. Электронные мастерские по вычислительной технике. Британское компьютерное общество. С. 238–244.
  39. ^ «Пути к Эрдёшу - Проект числа Эрдёша - Оклендский университет». oakland.edu.
  40. ^ Томпа, Мартин (1989). «Знаки отличия». Новости ACM SIGACT. 20 (1): 62–71. Дои:10.1145/65780.65782. S2CID  34277380. Томпа, Мартин (1990). «Достоинства: продолжение». Новости ACM SIGACT. 21 (4): 78–81. Дои:10.1145/101371.101376. S2CID  14144008.
  41. ^ Кашьяп Дикшит, С. Камешваран, Самип Мехта, Винаяка Пандит, Н. Вишванадхам, К одновременному использованию структуры и результатов в сетях взаимодействия для ранжирования узлов, Отчет об исследованиях IBM R109002, февраль 2009 г .; также появился как Kameshwaran, S .; Pandit, V .; Mehta, S .; Viswanadham, N .; Диксит, К. (2010). «Ранжирование с учетом результатов в сетях взаимодействия» (PDF). Материалы 19-й Международной конференции ACM по управлению информацией и знаниями (CIKM '10): 229–238. Дои:10.1145/1871437.1871470. ISBN  978-1-4503-0099-5. S2CID  16370569.
  42. ^ Клиффорд А. Пиковер: Страсть к математике: числа, головоломки, безумие, религия и поиски реальности. Wiley, 2011 г., ISBN  9781118046074, С. 33 (выдержка, п. 33, в Google Книги )
  43. ^ Кларрайх, Эрика (2004). «Теорема о продаже». Новости науки. 165 (24): 376–377. Дои:10.2307/4015267. JSTOR  4015267.
  44. ^ Соавтор Маккеллара Линкольн Чейес опубликовал бумага с Эллиотт Х. Либ, который, в свою очередь, стал соавтором бумага с Даниэль Клейтман, соавтор Пола Эрдёша.
  45. ^ Даника МакКеллар была в Год, который трепетал (2002) с Джеймсом Кисицким, который был в Ложь в Америке (1997) с Кевином Бэконом.
  46. ^ Фишер, Лен (17 февраля 2016 г.). "Какое у вас число Эрдёш-Бэкон-Суббота?". Times Higher Education. Получено 2018-07-29.
  47. ^ Сир, Ричард (2012-09-15). "Эрдеш – Бэкон – числа субботы". Кафедра физики, Университет Суррея. Получено 2018-07-29.

внешняя ссылка