Клаус Рот - Klaus Roth

Не путать с Леонард Рот.

Клаус Рот
Родившийся	Клаус Фридрих Рот (1925-10-29)29 октября 1925 г. Бреслау, Провинция Нижняя Силезия, Веймарская Германия
Умер	10 ноября 2015 г.(2015-11-10) (в возрасте 90 лет) Инвернесс, Шотландия
Образование	Школа Святого Павла, Лондон Питерхаус, Кембридж Университетский колледж Лондона
Известен	Диофантово приближение Теория несоответствия Большое сито
Награды	Медаль Филдса (1958) Сотрудник Королевское общество (1960) Медаль Де Моргана (1983) Медаль Сильвестра (1991)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университетский колледж Лондона Имперский колледж Лондон
Тезис	Доказательство того, что почти все положительные целые числа являются суммой квадрата, положительного куба и четвертой степени. (1950)
Докторант	Теодор Эстерманн
Другие научные консультанты	Джон Чарльз Беркилл Гарольд Давенпорт

Клаус Фридрих Рот ФРС (29 октября 1925 - 10 ноября 2015), британский математик немецкого происхождения, выигравший Медаль Филдса для доказательства Теорема Рота на Диофантово приближение из алгебраические числа. Он также был победителем Медаль Де Моргана и Медаль Сильвестра, и член Королевское общество.

Рот переехал в Англию еще ребенком в 1933 году, чтобы спастись от нацистов, и получил образование в Кембриджский университет и Университетский колледж Лондона, получив докторскую степень в 1950 году. Он преподавал в Университетском колледже Лондона до 1966 года, когда он занял кафедру в Имперский колледж Лондон. Он вышел на пенсию в 1988 году.

Помимо работы над диофантовым приближением, Рот внес значительный вклад в теорию наборы без прогрессирования в арифметическая комбинаторика и к теории неравномерность распределения. Он также был известен своими исследованиями суммы полномочий, на большое сито, на Проблема треугольника Хейльбронна, и дальше квадратная упаковка в квадрат. Он был соавтором книги Последовательности на целочисленные последовательности.

биография

Ранние годы

Рот родился в еврейской семье в Бреслау, Пруссия 29 октября 1925 года. Его родители поселились с ним в Лондоне, чтобы избежать преследований нацистов в 1933 году, и он вырос и получил образование в Великобритании.^[1][2] Его отец, адвокат, подвергся воздействию ядовитого газа во время Первая Мировая Война и умер, когда Рот был еще молод. Рот стал учеником в Школа Святого Павла, Лондон с 1939 по 1943 год, и вместе с остальной частью школы он был эвакуирован из Лондона в Easthampstead Park в течение Блиц. В школе он был известен своими способностями как в шахматах, так и в математике. Он пытался присоединиться к Авиационный учебный корпус, но был заблокирован на несколько лет из-за того, что он немец, а затем из-за отсутствия координации, необходимой для пилота.^[2]

Математическое образование

Рот читал математику в Питерхаус, Кембридж, и играл первая доска за шахматную команду Кембриджа,^[2] окончание 1945 г.^[3]Несмотря на свои математические способности, он достиг только с отличием третьего класса на Математические Tripos из-за его плохой способности сдавать экзамены. Его кембриджский наставник, Джон Чарльз Беркилл, не поддержал Рота, продолжающего заниматься математикой, рекомендуя вместо этого, чтобы он взял "какую-нибудь коммерческую работу со статистической предвзятостью".^[2]Вместо этого он ненадолго стал учителем в Гордонстоун между окончанием Кембриджа и поступлением в аспирантуру.^[1][2]

По рекомендации Гарольд Давенпорт, он был принят в 1946 году в магистратуру по математике в Университетский колледж Лондона, где работал под руководством Теодор Эстерманн.^[2] Здесь он получил степень магистра в 1948 году и докторскую степень в 1950 году.^[3] Его диссертация была Доказательство того, что почти все положительные целые числа являются суммой квадрата, положительного куба и четвертой степени..^[4]

Карьера

Получив степень магистра в 1948 году, Рот стал ассистентом лектора в Университетском колледже Лондона, а в 1950 году он стал лектором.^[5]Его наиболее значимые работы по диофантовому приближению, последовательностям без прогрессии и несоответствиям были опубликованы в середине 1950-х годов, а к 1958 году он был удостоен медали Филдса - высшей награды математиков.^[2][6] Однако только в 1961 году он стал профессором.^[1]В течение этого периода он продолжал тесно сотрудничать с Гарольдом Давенпортом.^[2]

Он взял творческий отпуск в Массачусетский Институт Технологий в середине 1950-х и середине 1960-х годов и всерьез рассматривали возможность миграции в Соединенные Штаты. Уолтер Хейман и Патрик Линстед противостояли этой возможности, которую они видели как угрозу британской математике, предложив кафедру чистой математики в Имперский колледж Лондон, и Рот принял кресло в 1966 году.^[2] Он сохранял эту должность до официального выхода на пенсию в 1988 году.^[1] Он оставался в Имперском колледже в качестве приглашенного профессора до 1996 года.^[3]

Лекции Рота обычно были очень четкими, но иногда могли быть беспорядочными.^[2]В Проект "Математическая генеалогия" перечисляет у него только двух докторантов,^[4] но один из них, Уильям Чен, продолживший работу Рота в области теории несоответствий, стал членом Австралийское математическое общество и заведующий кафедрой математики в Университет Маккуори.^[7]

Личная жизнь

В 1955 году Рот женился на Мелек Хайри, дочери египетского сенатора Хайри Паша, которая привлекла его внимание еще в студенческие годы на своей первой лекции.^[1][2]Хайри пришла работать на факультет психологии Университетского колледжа Лондона, где она опубликовала исследование о влиянии токсинов на крыс.^[8]После выхода на пенсию Рота они переехали в Инвернесс; Рот посвятил комнату их дома латиноамериканским танцам, что было их общим интересом.^[2][9]Хайри умерла в 2002 году, а Рот умер в Инвернессе 10 ноября 2015 года в возрасте 90 лет.^[1][2][3]У них не было детей, и Рот посвятил большую часть своего состояния, более миллиона фунтов стерлингов, двум благотворительным организациям в области здравоохранения, «чтобы помочь пожилым и немощным людям, живущим в городе Инвернесс». Он послал Медаль Филдса с меньшим наследством Петерхаусу.^[10]

Взносы

Рот был известен как решатель математических задач, а не как создатель теории. Гарольд Давенпорт пишет, что «мораль в работе доктора Рота» состоит в том, что «великие нерешенные проблемы математики все еще могут поддаваться прямой атаке, какими бы сложными и запретительными они ни казались, и сколько бы усилий на них ни было потрачено».^[6] Его исследовательские интересы охватывали несколько тем в теория чисел, теория несоответствия, и теория целочисленные последовательности.

Диофантово приближение

Основная статья: Теорема Рота

Предмет Диофантово приближение ищет точное приближение иррациональные числа к рациональное число. Вопрос в том, насколько точно алгебраические числа может быть аппроксимирована и известна как проблема Туэ – Сигеля, после того, как Аксель Туэ и Карл Людвиг Сигель. Точность приближения можно измерить с помощью показатель приближения из числа ${\displaystyle x}$, определяемое как наибольшее число ${\displaystyle e}$ такой, что ${\displaystyle x}$ имеет бесконечно много рациональных приближений ${\displaystyle p/q}$ с ${\displaystyle |x-p/q|<1/q^{e}}$. Если показатель аппроксимации большой, то ${\displaystyle x}$ имеет более точные приближения, чем число, экспонента которого меньше. Наименьший возможный показатель приближения равен двум: даже числа, которые трудно поддаются приближению, могут быть аппроксимированы показателем два, используя непрерывные дроби.^[3][6] До работы Рота считалось, что алгебраические числа могут иметь больший показатель аппроксимации, связанный с степень полинома определение числа.^[2]

В 1955, Рот опубликовал то, что теперь известно как Теорема Рота, полностью решая этот вопрос. Его теорема опровергла предполагаемую связь между показателем приближения и степенью и доказала, что с точки зрения показателя приближения алгебраические числа наименее точно аппроксимируются из любых иррациональных чисел. Точнее, он доказал, что для иррациональных алгебраических чисел показатель приближения всегда равен двум.^[3] В обзоре работ Рота, представленном Гарольд Давенпорт к Международный конгресс математиков В 1958 году, когда Роту была вручена медаль Филдса, Давенпорт назвал этот результат «величайшим достижением Рота».^[6]

Арифметическая комбинаторика

Основная статья: Теорема Рота об арифметических прогрессиях

Набор {1,2,4,5,10,11,13,14} (синий) не имеет трехчленной арифметической прогрессии, так как среднее значение каждых двух элементов набора (желтый) выходит за пределы набора. Рот доказал, что каждый набор без прогрессирования должен быть разреженным.

Другой результат называется "Теорема Рота ", из 1953, в арифметическая комбинаторика и проблемы последовательности целых чисел без трех в арифметической прогрессии. Эти последовательности были изучены в 1936 г. Пол Эрдёш и Пал Туран, которые предположили, что они должны быть редкими.^[11][а]Однако в 1942 г. Рафаэль Салем и Дональд С. Спенсер построили беспрогрессивные подмножества чисел из ${\displaystyle 1}$ к ${\displaystyle n}$ размера, пропорционального ${\displaystyle n^{1-\varepsilon }}$, для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$.^[12]

Рот оправдал Эрдёша и Турана, доказав, что размер такой группы не может быть пропорционален ${\displaystyle n}$: каждый плотный набор целых чисел содержит трехчленную арифметическую прогрессию. Его доказательство использует приемы из аналитическая теория чисел в том числе Метод круга Харди – Литтлвуда чтобы оценить количество прогрессий в данной последовательности и показать, что, когда последовательность достаточно плотная, это число отлично от нуля.^[2][13]

Позже другие авторы усилили ограничение Рота на размер наборов без прогрессирования.^[14] Укрепление в другом направлении, Теорема Семереди, показывает, что плотные наборы целых чисел содержат сколь угодно длинные арифметические прогрессии.^[15]

Несоответствие

В Набор Хаммерсли, набор точек с малой невязкой, полученный из последовательность ван дер Корпута

Хотя работа Рота над диофантовым приближением принесла ему наибольшее признание, именно его исследования неравномерностей распределения (согласно некрологу Уильяма Чена и Боб Воан ) он гордился больше всего.^[2] Его 1954 статья на эту тему заложила основы современной теория несоответствия. Это касается размещения ${\displaystyle n}$ точек в единичном квадрате, так что для каждого прямоугольника, ограниченного между началом координат и точкой квадрата, площадь прямоугольника хорошо аппроксимируется количеством точек в нем.^[2]

Рот измерил это приближение по квадрату разницы между количеством точек и ${\displaystyle n}$ умножает площадь, и доказал, что для случайно выбранного прямоугольника ожидаемое значение квадрата разности является логарифмическим по ${\displaystyle n}$. Этот результат является наилучшим из возможных и значительно улучшил предыдущую оценку той же проблемы за счет Татьяна Павловна Эренфест.^[16] Несмотря на предыдущие работы Эренфеста и Йоханнес ван дер Корпут по той же проблеме Рот был известен тем, что хвастался тем, что этот результат «начал тему».^[2]

Другие темы

Некоторые из самых ранних работ Рота включали 1949 бумага на суммы полномочий, показывая, что почти все положительные целые числа могут быть представлены как сумма квадрата, куба и четвертой степени, а 1951 бумага о промежутках между числа без квадратов, описывается как «весьма сенсационный» и «очень важный» соответственно Ченом и Воганом.^[2] Его первая лекция в Имперском колледже касалась большое сито: ограничение размера наборов целых чисел, из которых многие классы конгруэнтности чисел по модулю простые числа были запрещены.^[17] Рот ранее опубликовал статью по этой проблеме в 1965.

Оптимальный квадратная упаковка в квадрат иногда может включать наклонные квадраты; Рот и Боб Воан показал, что непостоянная область должна оставаться открытой

Еще одним интересом Рота была Проблема треугольника Хейльбронна, размещения точек в квадрате, чтобы избежать треугольников небольшой площади. Его 1951 статья по этой проблеме была первой, в которой была доказана нетривиальная верхняя оценка достижимой площади. В итоге он опубликовал четыре статьи по этой проблеме, последняя из которых 1976.^[18]Рот также добился значительных успехов в квадратная упаковка в квадрат. Если единичные квадраты упакованы в ${\displaystyle s\times s}$ квадрат очевидным, параллельным осям способом, то для значений ${\displaystyle s}$ которые чуть меньше целого числа, почти ${\displaystyle 2s}$ область можно оставить открытой. После Пол Эрдёш и Рональд Грэм доказали, что более продуманная упаковка с наклоном может оставить значительно меньшую площадь, только ${\displaystyle O(s^{7/11})}$,^[19] Рот и Боб Воан ответил 1978 статья, доказывающая первую нетривиальную нижнюю оценку задачи. Как они показали, для некоторых значений ${\displaystyle s}$, открытая площадь должна быть, по крайней мере, пропорциональна ${\displaystyle {\sqrt {s}}}$.^[2][20]

В 1966, Хейни Хальберштам и Рот опубликовали свою книгу Последовательности, на целочисленные последовательности. Первоначально планировалось стать первым из двухтомного набора, его темы включали плотности сумм последовательностей, ограничения на количество представлений целых чисел как сумм членов последовательностей, плотность последовательностей, суммы которых представляют все целые числа, теория сита и вероятностный метод, и последовательности, в которых ни один элемент не является кратным другому.^[21] Второе издание вышло в 1983 году.^[22]

Признание

В Медаль Филдса

Рот выиграл Медаль Филдса в 1958 г. за работу по диофантовому приближению. Он был первым медалистом Британских Филдсов.^[1] Он был избран в Королевское общество в 1960 году, а затем стал почетным членом Королевское общество Эдинбурга, Член Университетского колледжа Лондона, член Имперского колледжа Лондона и почетный член Питерхауса.^[1] Его забавляло то, что его Филдсовская медаль, избрание в Королевское общество и профессорское кресло пришли к нему в порядке, обратном их престижу.^[2]

В Лондонское математическое общество дал Роту Медаль Де Моргана в 1983 г.^[3]В 1991 году Королевское общество дало ему Медаль Сильвестра «За его большой вклад в теорию чисел и, в частности, за решение знаменитой проблемы приближения алгебраических чисел рациональными числами».^[23]

А фестивальный сбор из 32 эссе по темам, связанным с исследованиями Рота, было опубликовано в 2009 году в честь 80-летия Рота,^[24]а в 2017 году редакция журнала Математика посвятил Роту специальный выпуск.^[25]После смерти Рота факультет математики Имперского колледжа учредил стипендию Рота в его честь.^[26]

Избранные публикации

Журнальные статьи

• Рот, К. Ф. (1949). «Доказательство того, что почти все положительные целые числа являются суммой квадрата, положительного куба и четвертой степени». Журнал Лондонского математического общества. Вторая серия. 24: 4–13. Дои:10.1112 / jlms / s1-24.1.4. МИСТЕР  0028336. Zbl  0032.01401.
• Рот, К. Ф. (1951a). «О проблеме Хайльбронна». Журнал Лондонского математического общества. Вторая серия. 26 (3): 198–204. Дои:10.1112 / jlms / s1-26.3.198. МИСТЕР  0041889. Zbl  0043.16303.
• Рот, К. Ф. (1951b). «О промежутках между бесквадратными числами». Журнал Лондонского математического общества. Вторая серия. 26 (4): 263–268. Дои:10.1112 / jlms / s1-26.4.263. МИСТЕР  0043119. Zbl  0043.04802.
• Рот, К. Ф. (1953). «О некоторых наборах целых чисел». Журнал Лондонского математического общества. Вторая серия. 28: 104–109. Дои:10.1112 / jlms / s1-28.1.104. МИСТЕР  0051853. Zbl  0050.04002.
• Рот, К. Ф. (1954). «О нарушениях распределения». Математика. 1 (2): 73–79. Дои:10.1112 / S0025579300000541. МИСТЕР  0066435. Zbl  0057.28604.
• Рот, К. Ф. (1955). «Рациональные приближения к алгебраическим числам». Математика. 2: 1–20, 168. Дои:10.1112 / S0025579300000644. МИСТЕР  0072182. Zbl  0064.28501.
• Рот, К. Ф. (1965). «На больших решетах Линника и Реньи». Математика. 12: 1–9. Дои:10.1112 / S0025579300005088. МИСТЕР  0197424. Zbl  0137.25904.
• Рот, К. Ф. (1976). «Развитие проблемы треугольника Хейльбронна». Успехи в математике. 22 (3): 364–385. Дои:10.1016/0001-8708(76)90100-6. МИСТЕР  0429761. Zbl  0338.52005.
• Roth, K. F .; Воган, Р.С. (1978). «Неэффективность упаковки квадратов единичными квадратами». Журнал комбинаторной теории. Серия А. 24 (2): 170–186. Дои:10.1016/0097-3165(78)90005-5. МИСТЕР  0487806. Zbl  0373.05026.

Книга

• Хальберштам, Хайни; Рот, Клаус Фридрих (1966). Последовательности. Лондон: Кларендон Пресс.^[21] Второе издание было опубликовано в 1983 г. Springer-Verlag.^[22]

Примечания

1. Давенпорт (1960) указывает, что гипотеза Эрдёша-Турана датируется 1935 годом, но заявляет, что она «считается более древней». Он формулирует гипотезу в том виде, что естественная плотность последовательности без прогрессии должна быть равна нулю, что доказал Рот. Однако форма гипотезы, фактически опубликованная Эрдеш и Туран (1936) намного сильнее, утверждая, что количество элементов из ${\displaystyle 1}$ к ${\displaystyle n}$ в такой последовательности должны быть ${\displaystyle O(n^{c})}$ для некоторой степени ${\displaystyle c<1}$. В таком виде гипотеза была опровергнута Салем и Спенсер (1942).

Рекомендации

1. «Клаус Рот, математик». Некрологи. Дейли Телеграф. 24 февраля 2016 г.
2. Чен, Уильям; Воан, Роберт (14 июня 2017 г.). «Клаус Фридрих Рот. 29 октября 1925 - 10 ноября 2015». Биографические воспоминания членов Королевского общества. 63: 487–525. Дои:10.1098 / rsbm.2017.0014. ISSN  0080-4606. Смотрите также Чен, Уильям; Ларман, Дэвид; Стюарт, Тревор; Воан, Роберт (январь 2016 г.). «Клаус Фридрих Рот, 29 октября 1925 г. - 10 ноября 2015 г.». Информационный бюллетень Лондонского математического общества - через Королевское общество Эдинбурга.
3. Цзин, Джесси; Сервини, Пьетро (24 марта 2015 г.). "Медаль Филдса в UCL: Клаус Рот". Мел.
4. Клаус Рот на Проект "Математическая генеалогия"
5. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. "Клаус Рот". Архив истории математики MacTutor. Сент-Эндрюсский университет..
6. Давенпорт, Х. (1960). «Работа К. Ф. Рота» (PDF). Proc. Междунар. Congress Math. 1958 г.. Издательство Кембриджского университета. стр. lvii – lx. МИСТЕР  1622896. Zbl  0119.24901. Перепечатано в Лекции медалистов Филдса (1997), World Scientific, стр. 53–56.
7. Чен, Уильям Вай Лим. "Биография Резюме". Получено 25 апреля 2019.
8. Хайри, Мелек (май 1959). «Изменения в поведении, связанные с ядом нервной системы (ДДТ)». Ежеквартальный журнал экспериментальной психологии. 11 (2): 84–91. Дои:10.1080/17470215908416295. Хайри М. (апрель 1960 г.). «Влияние хронического приема диэльдрина на мышечную эффективность крыс». Медицина труда и окружающей среды. 17 (2): 146–148. Дои:10.1136 / oem.17.2.146. ЧВК  1038040. PMID  14408763.
9. Семереди, Анна Кепес (2015). «Разговор с Клаусом Ротом». Искусство в жизни математиков. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 248–253. Дои:10.1090 / mbk / 091. ISBN  978-1-4704-1956-1. МИСТЕР  3362651.
10. Макдональд, Стюарт (26 апреля 2016 г.). «Математик оставляет 1 млн фунтов стерлингов на помощь больным в Инвернессе». Шотландец.
11. Эрдеш, Пол; Туран, Пол (1936). «О некоторых последовательностях целых чисел» (PDF). Журнал Лондонского математического общества. 11 (4): 261–264. Дои:10.1112 / jlms / s1-11.4.261. МИСТЕР  1574918.
12. Салем, Р.; Спенсер, Д. (Декабрь 1942 г.). «О наборах целых чисел, не содержащих трех членов в арифметической прогрессии». Труды Национальной академии наук. 28 (12): 561–563. Bibcode:1942ПНАС ... 28..561С. Дои:10.1073 / pnas.28.12.561. ЧВК  1078539. PMID  16588588.
13. Хит-Браун, Д. (1987). «Целочисленные множества, не содержащие арифметических прогрессий». Журнал Лондонского математического общества. Вторая серия. 35 (3): 385–394. Дои:10.1112 / jlms / s2-35.3.385. МИСТЕР  0889362.
14. Блум, Т. Ф. (2016). «Количественное улучшение теоремы Рота об арифметических прогрессиях». Журнал Лондонского математического общества. Вторая серия. 93 (3): 643–663. arXiv:1405.5800. Дои:10.1112 / jlms / jdw010. МИСТЕР  3509957.
15. Семереди, Эндре (1975). "На наборах целых чисел, не содержащих k элементы в арифметической прогрессии » (PDF). Acta Arithmetica. 27: 199–245. Дои:10.4064 / aa-27-1-199-245. МИСТЕР  0369312. Zbl  0303.10056.
16. ван Аарденне-Эренфест, Т. (1949). «О невозможности справедливого распределения». Indagationes Math. 1: 264–269. МИСТЕР  0032717.
17. Воан, Роберт С. (Декабрь 2017 г.). Даймонд, Гарольд Г. (ред.). «Хейни Хальберштам: некоторые личные замечания». Хейни Хальберштам, 1926–2014. Бюллетень Лондонского математического общества. Вайли. 49 (6): 1127–1131. Дои:10.1112 / blms.12115. См. Страницу 1127: «Я посетил первую лекцию Рота о большом сите в Имперском колледже в январе 1968 года, и в результате начал интересоваться теорией сита».
18. Барекет, Гилл (2001). "Нижняя оценка задачи треугольника Хейльбронна в d размеры". Журнал SIAM по дискретной математике. 14 (2): 230–236. Дои:10.1137 / S0895480100365859. МИСТЕР  1856009. См. Введение, в котором статья 1951 г. цитируется как «первая нетривиальная верхняя оценка» и упоминаются все четыре статьи Рота по проблеме треугольника Хейльбронна, а последняя из них называется «всеобъемлющим обзором истории этой проблемы».
19. Эрдеш, П.; Грэм, Р. Л. (1975). «На упаковочные квадраты с равными квадратами» (PDF). Журнал комбинаторной теории. Серия А. 19: 119–123. Дои:10.1016/0097-3165(75)90099-0. МИСТЕР  0370368.
20. Брасс, Питер; Мозер, Уильям; Пах, Янош (2005). Проблемы исследования дискретной геометрии. Нью-Йорк: Спрингер. п. 45. ISBN  978-0387-23815-9. МИСТЕР  2163782.
21. Обзоры Последовательности:
    • Кубилюс, Я. Математические обзоры. МИСТЕР  0210679.
    • Бриггс, У. zbMATH. Zbl  0141.04405.
    • Кнопп, Марвин И. (Январь 1967). «Вопросы и методы теории чисел». Наука. 155 (3761): 442–443. Bibcode:1967Научный ... 155..442H. Дои:10.1126 / science.155.3761.441. JSTOR  1720189.
    • Райт, Э.М. (1968). Журнал Лондонского математического общества. с1-43 (1): 157. Дои:10.1112 / jlms / s1-43.1.157a.
    • Касселс, Дж. У. С. (Февраль 1968 г.). Математический вестник. 52 (379): 85–86. Дои:10.2307/3614509. JSTOR  3614509.
    • Старк, Х. М. (1971). "Рассмотрение". Бюллетень Американского математического общества. 77 (6): 943–957. Дои:10.1090 / с0002-9904-1971-12812-4.
22. МИСТЕР0687978
23. «Обладатели медали Сильвестра Лондонского королевского общества». Архив истории математики MacTutor. Получено 25 апреля 2019.
24. Chen, W. W. L .; Гауэрс, В. Т.; Хальберштам, Х.; Шмидт, В. М.; Воган, Р.С., ред. (2009). «Клаусу Роту в 80». Аналитическая теория чисел. Эссе в честь Клауса Рота к 80-летию со дня рождения. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-51538-2. Zbl  1155.11004.
25. Чен, Уильям В. Л .; Воан, Роберт С. (2017). «Памяти Клауса Фридриха Рота 1925–2015». Математика. 63 (3): 711–712. Дои:10.1112 / S002557931700033X. МИСТЕР  3731299.
26. «Возможности финансирования докторантуры». Имперский колледж Лондона, факультет математики. Получено 26 апреля 2019.