Теорема Ротса об арифметических прогрессиях - Roths theorem on arithmetic progressions - Wikipedia

По поводу теоремы Рота о диофантовом приближении алгебраических чисел см. Теорема Рота.

Теорема Рота об арифметических прогрессиях это результат аддитивная комбинаторика относительно существования арифметические прогрессии в подмножествах натуральные числа. Впервые это было доказано Клаус Рот в 1953 г.^[1] Теорема Рота - частный случай Теорема Семереди для случая ${\displaystyle k=3}$.

Заявление

Подмножество А натуральных чисел имеет положительную верхнюю плотность, если

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,2,3,\dotsc ,n\}|}{n}}>0}$.

Теорема Рота об арифметических прогрессиях (бесконечная версия): Подмножество натуральных чисел с положительной верхней плотностью содержит трехчленную арифметическую прогрессию.

Альтернативная, более качественная формулировка теоремы касается максимального размера Набор Салема – Спенсера который является подмножеством ${\displaystyle [N]=\{1,\dots ,N\}}$. Позволять ${\displaystyle r_{3}([N])}$ быть размером самого большого подмножества ${\displaystyle [N]}$ который не содержит трехчленной арифметической прогрессии.

Теорема Рота об арифметических прогрессиях (финальная версия): ${\displaystyle r_{3}([N])=o(N)}$.

Улучшение верхней и нижней границы ${\displaystyle r_{3}([N])}$ все еще остается открытой исследовательской проблемой.

История

Первый результат в этом направлении был Теорема Ван дер Вардена в 1927 г., в котором говорится, что для достаточно большого N раскраска целых чисел ${\displaystyle 1,\dots ,n}$ с ${\displaystyle r}$ цвета приведут к ${\displaystyle k}$ термин арифметическая прогрессия.^[2]

Позже, в 1936 году, Эрдеш и Туран предположили гораздо более сильный результат, что любое подмножество целых чисел с положительной плотностью содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии. В 1942 г. Рафаэль Салем и Дональд С. Спенсер при условии построения набора без 3-AP (т.е. набора без трехчленных арифметических прогрессий) размера ${\displaystyle {\frac {N}{e^{O(\log N/\log \log N)}}}}$^[3], опровергая дополнительную гипотезу Эрдеша и Турана о том, что ${\displaystyle r_{3}([N])=N^{1-\delta }}$ для некоторых ${\displaystyle \delta >0}$.^[4]

В 1953 году Рот частично разрешил первоначальную гипотезу, доказав, что они должны содержать арифметическую прогрессию длины 3, используя аналитические методы Фурье. В конце концов, в 1975 году Семереди доказал, что Теорема Семереди используя комбинаторные техники, полностью разрешив исходную гипотезу.

Методы доказательства

Первоначальное доказательство, данное Ротом, использовало аналитические методы Фурье. Позже было дано другое доказательство с использованием Лемма Семереди о регулярности.

Схема доказательства с помощью анализа Фурье

В 1953 году Рот использовал Анализ Фурье доказать верхнюю границу ${\displaystyle r_{3}([N])=O\left({\frac {N}{\log \log N}}\right)}$. Ниже приводится набросок этого доказательства.

Определить преобразование Фурье функции ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$ быть функцией ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ удовлетворение

${\displaystyle {\widehat {f}}(\theta )=\sum _{x\in \mathbb {Z} }f(x)e(-x\theta )}$,

куда ${\displaystyle e(t)=e^{2\pi it}}$.

Позволять ${\displaystyle A}$ быть подмножеством 3-AP-free ${\displaystyle \{1,\dots ,N\}}$. Доказательство состоит из 3 шагов.

1. Покажи, что ${\displaystyle A}$ допускает большой коэффициент Фурье.
2. Вывести, что существует подпрогрессия ${\displaystyle \{1,\dots ,N\}}$ такой, что ${\displaystyle A}$ имеет приращение плотности, когда оно ограничено этой подпрограммой.
3. Повторите шаг 2, чтобы получить верхнюю границу ${\displaystyle |A|}$.

Шаг 1

Для функций ${\displaystyle f,g,h:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} ,}$ определять

${\displaystyle \Lambda (f,g,h)=\sum _{x,y\in \mathbb {Z} }f(x)g(x+y)h(x+2y)}$

Считающая лемма Позволять ${\displaystyle f,g:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$ удовлетворить ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|f(n)|^{2},\sum _{n\in \mathbb {Z} }|g(n)|^{2}\leq M}$. Определять ${\displaystyle \Lambda _{3}(f)=\Lambda (f,f,f)}$. потом ${\displaystyle |\Lambda _{3}(f)-\Lambda _{3}(g)|\leq 3M\|{\widehat {f-g}}\|_{\infty }}$.

Счетная лемма говорит нам, что если преобразования Фурье ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ являются «близкими», то количество трехчленных арифметических прогрессий между ними также должно быть «близким». Позволять ${\displaystyle \alpha =|A|/N}$ быть плотностью ${\displaystyle A}$. Определите функции ${\displaystyle f=\mathbf {1} _{A}}$ (т.е. индикаторная функция ${\displaystyle A}$), и ${\displaystyle g=\alpha \cdot \mathbf {1} _{[N]}}$. Шаг 1 можно вывести, применив лемму о подсчете к ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$, что говорит нам о существовании некоторых ${\displaystyle \theta }$ такой, что

${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}(1_{A}-\alpha )(n)e(\theta n)\right|\geq {\frac {\alpha ^{2}}{10}}N}$.

Шаг 2

Учитывая ${\displaystyle \theta }$ с шага 1 мы сначала показываем, что можно разделить ${\displaystyle [N]}$ на относительно большие подпроцессы, так что персонаж ${\displaystyle x\mapsto e(x\theta )}$ примерно постоянна на каждой подпрограмме.

Лемма 1. Позволять ${\displaystyle 0<\eta <1,\theta \in \mathbb {R} }$. Предположить, что ${\displaystyle N>C\eta ^{-6}}$ для универсальной постоянной ${\displaystyle C}$. Тогда можно разделить ${\displaystyle [N]}$ в арифметические прогрессии ${\displaystyle P_{i}}$ с длиной ${\displaystyle N^{1/3}\leq |P_{i}|\leq 2N^{1/3}}$ такой, что ${\displaystyle \sup _{x,y\in P_{i}}|e(x\theta )-e(y\theta )|<\eta }$ для всех ${\displaystyle i}$.

Далее применим лемму 1, чтобы получить разбиение на подпроцессы. Затем мы используем тот факт, что ${\displaystyle \theta }$ произвел большой коэффициент на шаге 1, чтобы показать, что одна из этих подпроцессов должна иметь приращение плотности:

Лемма 2. Позволять ${\displaystyle A}$ быть подмножеством 3-AP-свободных ${\displaystyle [N]}$, с ${\displaystyle |A|=\alpha N}$ и ${\displaystyle N>C\alpha ^{-12}}$. Тогда существует подпрогрессия ${\displaystyle P\subset [N]}$ такой, что ${\displaystyle |P|\geq N^{1/3}}$ и ${\displaystyle |A\cap P|\geq (\alpha +\alpha ^{2}/40)|P|}$.

Шаг 3

Теперь мы повторяем шаг 2. Пусть ${\displaystyle a_{t}}$ быть плотностью ${\displaystyle A}$ после ${\displaystyle t}$й итерация. У нас есть это ${\displaystyle \alpha _{0}=\alpha ,}$ и ${\displaystyle \alpha _{t+1}\geq \alpha +\alpha ^{2}/40.}$ Во-первых, посмотрите, что ${\displaystyle \alpha }$ удваивается (т.е. достигает ${\displaystyle T}$ такой, что ${\displaystyle \alpha _{T}\geq 2\alpha _{0}}$) не более чем через ${\displaystyle 40/\alpha +1}$ шаги. Мы удваиваем ${\displaystyle \alpha }$ снова (т.е. достичь ${\displaystyle \alpha _{T}\geq 4\alpha _{0}}$) не более чем через ${\displaystyle 20/\alpha +1}$ шаги. С ${\displaystyle \alpha \leq 1}$, этот процесс должен завершиться не позднее, чем через ${\displaystyle O(1/\alpha )}$ шаги.

Позволять ${\displaystyle N_{t}}$ быть размером нашего текущего прогресса после ${\displaystyle t}$ итераций. По лемме 2 мы всегда можем продолжить процесс, когда ${\displaystyle N_{t}\geq C\alpha _{t}^{-12},}$ и, таким образом, когда процесс завершается, мы имеем ${\displaystyle N_{t}\leq C\alpha _{t}^{-12}\leq C\alpha ^{-12}.}$ Также обратите внимание, что когда мы переходим к подпрограмме, размер нашего набора уменьшается на корень куба. Следовательно

${\displaystyle N\leq N_{t}^{3^{t}}\leq (C\alpha ^{-12})^{3^{O(1/\alpha )}}=e^{e^{O(1/\alpha )}}.}$

Следовательно ${\displaystyle \alpha =O(1/\log \log N),}$ так ${\displaystyle |A|=O({\frac {N}{\log \log N}}),}$ по желанию. ${\displaystyle \blacksquare }$

К сожалению, этот метод не распространяется непосредственно на более крупные арифметические прогрессии для доказательства теоремы Семереди. Расширение этого доказательства ускользало от математиков в течение десятилетий до 1998 г., когда Тимоти Гауэрс разработал область анализа Фурье высшего порядка специально, чтобы обобщить приведенное выше доказательство для доказательства теоремы Семереди.^[5]

Доказательство скетча через регулярность графа

Ниже приводится схема доказательства с использованием Лемма Семереди о регулярности.

Позволять ${\displaystyle G}$ быть графом и ${\displaystyle X,Y\subseteq V(G)}$. Мы называем ${\displaystyle (X,Y)}$ ан ${\displaystyle \epsilon }$-регулярная пара, если для всех ${\displaystyle A\subset X,B\subset Y}$ с ${\displaystyle |A|\geq \epsilon |X|,|B|\geq \epsilon |Y|}$, надо ${\displaystyle |d(A,B)-d(X,Y)|\leq \epsilon }$.

Раздел ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{V_{1},\ldots ,V_{k}\}}$ из ${\displaystyle V(G)}$ является ${\displaystyle \epsilon }$-регулярный раздел, если

${\displaystyle \sum _{(i,j)\in [k]^{2},(V_{i},V_{j}){\text{ not }}\epsilon {\text{-regular}}}|V_{i}||V_{j}|\leq \epsilon |V(G)|^{2}}$.

Тогда лемма Семереди о регулярности утверждает, что для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$, существует постоянная ${\displaystyle M}$ такой, что каждый граф имеет ${\displaystyle \epsilon }$-регулярное разбиение не более чем на ${\displaystyle M}$ части.

Мы также можем доказать, что треугольники между ${\displaystyle \epsilon }$-регулярные наборы вершин должны идти вместе со многими другими треугольниками. Это известно как лемма о подсчете треугольников.

Лемма о подсчете треугольников: Позволять ${\displaystyle G}$ быть графом и ${\displaystyle X,Y,Z}$ - подмножества вершин ${\displaystyle G}$ такой, что ${\displaystyle (X,Y),(Y,Z),(Z,X)}$ все ${\displaystyle \epsilon }$-регулярные пары для некоторых ${\displaystyle \epsilon >0}$. Позволять ${\displaystyle d_{XY},d_{XZ},d_{YZ}}$ обозначим плотности краев ${\displaystyle d(X,Y),d(X,Z),d(Y,Z)}$ соответственно. Если ${\displaystyle d_{XY},d_{XZ},d_{YZ}\geq 2\epsilon }$, то количество троек ${\displaystyle (x,y,z)\in X\times Y\times Z}$ такой, что ${\displaystyle x,y,z}$ сформировать треугольник в ${\displaystyle G}$ по крайней мере

${\displaystyle (1-2\epsilon )(d_{XY}-\epsilon )(d_{XZ}-\epsilon )(d_{YZ}-\epsilon )\cdot |X||Y||Z|}$.

Используя лемму о подсчете треугольников и лемму Семереди о регулярности, мы можем доказать лемму об удалении треугольников, частный случай лемма об удалении графа.^[6]

Лемма об удалении треугольника: Для всех ${\displaystyle \epsilon >0}$, Существует ${\displaystyle \delta >0}$ такой, что любой граф на ${\displaystyle n}$ вершины с меньшим или равным ${\displaystyle \delta n^{3}}$ треугольники можно сделать без треугольников, удалив не более ${\displaystyle \epsilon n^{2}}$ края.

Это имеет интересное следствие, относящееся к графам ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle N}$ вершины, где каждое ребро ${\displaystyle G}$ лежит в единственном треугольнике. В частности, все эти графики должны иметь ${\displaystyle o(N^{2})}$ края.

Взять набор ${\displaystyle A}$ без трехчленных арифметических прогрессий. Теперь построим трехчастный граф ${\displaystyle G}$ чьи части ${\displaystyle X,Y,Z}$ все копии ${\displaystyle \mathbb {Z} /(2N+1)\mathbb {Z} }$. Соединить вершину ${\displaystyle x\in X}$ к вершине ${\displaystyle y\in Y}$ если ${\displaystyle y-x\in A}$. Аналогично подключаем ${\displaystyle z\in Z}$ с ${\displaystyle y\in Y}$ если ${\displaystyle z-y\in A}$. Наконец, подключите ${\displaystyle x\in X}$ с ${\displaystyle z\in Z}$ если ${\displaystyle (z-x)/2\in A}$.

Эта конструкция устроена так, что если ${\displaystyle x,y,z}$ формируем треугольник, тогда получаем элементы ${\displaystyle y-x,{\frac {z-x}{2}},z-y}$ что все принадлежит ${\displaystyle A}$. Эти числа образуют арифметическую прогрессию в указанном порядке. Предположение о ${\displaystyle A}$ затем сообщает нам, что эта прогрессия должна быть тривиальной: все элементы, перечисленные выше, равны. Но это условие эквивалентно утверждению, что ${\displaystyle x,y,z}$ это арифметическая прогрессия в ${\displaystyle \mathbb {Z} /(2N+1)\mathbb {Z} }$. Следовательно, каждое ребро ${\displaystyle G}$ лежит ровно в одном треугольнике. Желаемый вывод следует. ${\displaystyle \blacksquare }$

Расширения и обобщения

Теорема Семереди разрешила исходную гипотезу и обобщила теорему Рота на арифметические прогрессии произвольной длины. С тех пор он был расширен множеством способов для получения новых и интересных результатов.

Фюрстенберг и Кацнельсон^[7] использовал эргодическая теория для доказательства многомерной версии и Лейбмана и Бергельсон^[8] распространил его также на полиномиальные прогрессии. Совсем недавно Зеленый и Дао доказал Теорема Грина-Тао который говорит, что простые числа содержат сколь угодно длинные арифметические прогрессии. Поскольку простые числа являются подмножеством плотности 0, они ввели «относительную» теорему Семереди, которая применяется к подмножествам с плотностью 0, удовлетворяющим определенным условиям псевдослучайности. Позже Конлон, Лиса, и Чжао^[9][10] усилил эту теорему, ослабив необходимое условие псевдослучайности. В 2020 году Блум и Сисаск^[11] доказал, что любой набор ${\displaystyle A}$ такой, что ${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}}$ расхождения должны содержать арифметические прогрессии длины 3; это первый нетривиальный случай другого догадка из Erds постулируя, что любой такой набор на самом деле должен содержать сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

Улучшение границ

Также была проделана работа по улучшению оценки в теореме Рота. Оценка из первоначального доказательства теоремы Рота показывала, что

${\displaystyle r_{3}([N])\leq c\cdot {\frac {N}{\log \log N}}}$

для некоторой постоянной ${\displaystyle c}$. С годами Семереди постоянно снижал эту границу.^[12], Хит-Браун^[13], Бургейн^[14][15], и Сандерс^[16][17]. Текущая (июль 2020 г.) лучшая оценка принадлежит Блум и Сисаск.^[11] которые показали существование абсолютной постоянной c> 0 такой, что

${\displaystyle r_{3}([N])\leq {\frac {N}{(\log N)^{1+c}}}.}$

На другом конце также была проделана работа по построению самого большого множества без трехчленных арифметических прогрессий. Лучшая конструкция не улучшалась с 1946 года, когда Беренд^[18] улучшил первоначальную конструкцию Салема и Спенсера и доказал

${\displaystyle r_{3}([N])\geq N\exp(-c{\sqrt {\log N}})}$

так что разрыв между двумя границами все еще довольно велик.

Теорема Рота в конечных полях

В качестве вариации можно рассмотреть аналогичную задачу над конечными полями. Рассмотрим конечное поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}$, и разреши ${\displaystyle r_{3}(\mathbb {F} _{3}^{n})}$ быть размером самого большого подмножества ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}$ который не содержит трехчленной арифметической прогрессии. Эта проблема фактически эквивалентна набор крышек проблема, которая требует наибольшего подмножества ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}$ такие, что никакие 3 точки не лежат на прямой. Задачу установки кепки можно рассматривать как обобщение карточной игры. Набор.

В 1982 году Браун и Бюлер^[19] были первыми, кто показал, что ${\displaystyle r_{3}(\mathbb {F} _{3}^{n})=o(3^{n}).}$ В 1995 году Рой Месухлам^[20] использовал технику, аналогичную Фурье-аналитическому доказательству теоремы Рота, чтобы показать, что ${\displaystyle r_{3}(\mathbb {F} _{3}^{n})=O\left({\frac {3^{n}}{n}}\right).}$ Эта оценка была улучшена до ${\displaystyle O(3^{n}/n^{1+\epsilon })}$ в 2012 году Бейтманом и Кацем.^[21]

В 2016 г. Эрни Крут, Всеволод Лев, Петер Пал Пах, Джордан Элленберг и Дион Гийсвейт разработали новую технику, основанную на методе полиномов, чтобы доказать, что ${\displaystyle r_{3}(\mathbb {F} _{3}^{n})=O(2.756^{n})}$.^[22][23][24]

Наиболее известная нижняя граница приблизительно равна ${\displaystyle O(2.2^{n})}$, подаренный Иденом в 2004 году.^[25]

Теорема Рота с популярными различиями

Другое обобщение теоремы Рота показывает, что для подмножеств с положительной плотностью не только существует трехчленная арифметическая прогрессия, но и что существует много 3-AP с одинаковыми общими различиями.

Теорема Рота с популярными различиями: Для всех ${\displaystyle \epsilon >0}$, есть некоторые ${\displaystyle n_{0}=n_{0}(\epsilon )}$ так что для каждого ${\displaystyle n>n_{0}}$ и ${\displaystyle A\subset \mathbb {F} _{3}^{n}}$ с ${\displaystyle |A|=\alpha 3^{n},}$ есть некоторые ${\displaystyle y\neq 0}$ такой, что ${\displaystyle |\{x:x,x+y,x+2y\in A\}|\geq (\alpha ^{3}-\epsilon )3^{n}.}$

Если ${\displaystyle A}$ выбирается случайным образом из ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n},}$ тогда мы ожидаем, что будет ${\displaystyle \alpha ^{3}3^{n}}$ прогрессии для каждого значения ${\displaystyle y}$. Таким образом, популярная теорема о различиях утверждает, что для каждого ${\displaystyle |A|}$ с положительной плотностью есть некоторые ${\displaystyle y}$ такое, что количество 3-AP с общей разницей ${\displaystyle y}$ близко к тому, что мы ожидали.

Эта теорема была впервые доказана Грином в 2005 г.^[26], который дал оценку ${\displaystyle n_{0}={\text{tow}}((1/\epsilon )^{O(1)}),}$ куда ${\displaystyle {\text{tow}}}$ - функция башни. В 2019 году Фокс и Фам недавно улучшили привязку к ${\displaystyle n_{0}={\text{tow}}(O(\log {\frac {1}{\epsilon }})).}$^[27]

Соответствующее утверждение верно и в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ как для 3-AP, так и для 4-AP^[28]. Однако для 5-AP это утверждение оказалось ложным.^[29]

Рекомендации

1. Рот, Клаус (1953). «О некоторых наборах целых чисел». Журнал Лондонского математического общества. 28 (1): 104–109. Дои:10.1112 / jlms / s1-28.1.104.
2. ван дер Варден, Б. Л. (1927). "Beweis einer Baudetschen Vermutung". Nieuw. Arch. Виск. 15: 212–216.
3. Салем, Рафаэль; Спенсер, Дональд К. (1942). «О наборах целых чисел, не содержащих трех членов в арифметической прогрессии». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 28 (12): 561–563. Bibcode:1942ПНАС ... 28..561С. Дои:10.1073 / pnas.28.12.561. МИСТЕР  0007405. ЧВК  1078539. PMID  16588588.
4. Эрдеш, Пауль; Туран, Пол (1936). «О некоторых последовательностях целых чисел». Журнал Лондонского математического общества. 4 (4): 261–264. Дои:10.1112 / jlms / s1-11.4.261. МИСТЕР  1574918.
5. Гауэрс, В. Т. (1998). «Новое доказательство теоремы Семереди для арифметических прогрессий длины четыре». Геометрический и функциональный анализ. 8 (3): 529–551. Дои:10.1007 / с000390050065.
6. Фокс, Джейкоб (2011), «Новое доказательство леммы об удалении графа», Анналы математики, Вторая серия, 174 (1): 561–579, arXiv:1006.1300, Дои:10.4007 / летопись.2011.174.1.17, МИСТЕР  2811609
7. Фюрстенберг, Гилель; Кацнельсон, Ицхак (1978). «Эргодическая теорема Семереди для коммутирующих преобразований». Журнал д'анализа математика. 38 (1): 275–291. Дои:10.1007 / BF02790016. МИСТЕР  0531279.
8. Бергельсон, Виталий; Лейбман, Александр (1996). «Полиномиальные расширения теорем Ван дер Вардена и Семереди». Журнал Американского математического общества. 9 (3): 725–753. Дои:10.1090 / S0894-0347-96-00194-4. МИСТЕР  1325795.
9. Конлон, Дэвид; Фокс, Джейкоб; Чжао, Юфэй (2015). «Относительная теорема Семереди». Геометрический и функциональный анализ. 25 (3): 733–762. arXiv:1305.5440. Дои:10.1007 / s00039-015-0324-9. МИСТЕР  3361771.
10. Чжао, Юфэй (2014). «Арифметическое переносное доказательство относительной теоремы Семереди». Математические труды Кембриджского философского общества. 156 (2): 255–261. arXiv:1307.4959. Bibcode:2014MPCPS.156..255Z. Дои:10.1017 / S0305004113000662. МИСТЕР  3177868.
11. Томас Ф. Блум, Улоф Сисаск, Преодоление логарифмического барьера в теореме Рота об арифметических прогрессиях, arXiv: 2007.03528, 2020
12. Семереди, Эндре (1990). «Целочисленные множества, не содержащие арифметических прогрессий». Acta Math. Hungar. 56 (1–2): 155–158. Дои:10.1007 / BF01903717. МИСТЕР  1100788.
13. Хит-Браун, Роджер (1987). «Целочисленные множества, не содержащие арифметических прогрессий». Журнал Лондонского математического общества. 35 (3): 385–394. Дои:10.1112 / jlms / s2-35.3.385. МИСТЕР  0889362.
14. Бургейн, Жан (1999). «По троек в арифметической прогрессии». Геом. Функц. Анальный. 9 (5): 968–984. Дои:10.1007 / с000390050105. МИСТЕР  1726234.
15. Бургейн, Жан (2008). "Повторение теоремы Рота о прогрессиях". Журнал д'анализа математика. 104 (1): 155–192. Дои:10.1007 / s11854-008-0020-х. МИСТЕР  2403433.
16. Сандерс, Том (2012). «О некоторых других наборах целых чисел». Анналы математики. 185 (1): 53–82. arXiv:1007.5444. Дои:10.1007 / s11854-012-0003-9. МИСТЕР  2892617.
17. Сандерс, Том (2011). «О теореме Рота о прогрессиях». Анналы математики. 174 (1): 619–636. arXiv:1011.0104. Дои:10.4007 / летопись.2011.174.1.20. МИСТЕР  2811612.
18. Беренд, Ф. А. (1946). «О наборах целых чисел, не содержащих трех членов в арифметической прогрессии». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 32 (12): 331–332. Bibcode:1946ПНАС ... 32..331Б. Дои:10.1073 / pnas.32.12.331. ЧВК  1078964. PMID  16578230.
19. Brown, T. C .; Бюлер, Дж. П. (1982). "Плотностная версия геометрической теоремы Рамсея". Журнал комбинаторной теории, серия А. 32 (1): 20–34. Дои:10.1016/0097-3165(82)90062-0.
20. Месухлам, Рой (1995). «О подмножествах конечных абелевых групп без 3-членных арифметических прогрессий». Журнал комбинаторной теории, серия А. 71 (1): 168–172. Дои:10.1016/0097-3165(95)90024-1.
21. Bateman, M .; Кац, Н. (2012). «Новые границы наборов шапок». Журнал Американского математического общества. 25 (2): 585–613. Дои:10.1090 / S0894-0347-2011-00725-X.
22. Ellenberg, Jordan S .; Гийсвейт, Дион (2016). "На больших подмножествах ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}{\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}}$ без трехчленной арифметической прогрессии ". Анналы математики, вторая серия. 185 (1): 339–343. arXiv:1605.09223. Дои:10.4007 / анналы.2017.185.1.8.
23. Крут, Эрни; Лев, Всеволод; Пах, Питер (2016). "Наборы без прогрессирования в ${\displaystyle {\displaystyle Z_{4}^{n}}{\displaystyle Z_{4}^{n}}}$ экспоненциально малы ". arXiv:1605.01506.
24. Кларрайх, Эрика (31 мая 2016 г.). «Доказательство простой игры ошеломляет математиков». Quanta.
25. Эдель, Ю. (2004). «Расширения обобщенных колпачков продуктов». Конструкции, коды и криптография. 31 (1): 5–14. Дои:10.1023 / А: 1027365901231.
26. Грин, Бен (2005). «Лемма Семереди о регулярности в абелевых группах с приложениями». Геометрический и функциональный анализ. 15 (2): 340–376. Дои:10.1007 / s00039-005-0509-8. МИСТЕР  2153903.
27. Фокс, Джейкоб; Фам, Хай Туан (28 августа 2017 г.). «Популярные прогрессивные различия в векторных пространствах». arXiv:1708.08482. Bibcode:2017arXiv170808482F.
28. Грин, Бен; Тао, Терренс (2010). "Лемма арифметической регулярности, связанная лемма подсчета и приложения". Необычный ум. Математические исследования Общества Бойяи. 21. Математические исследования Общества Бойяи. С. 261–334. arXiv:1002.2028. Bibcode:2010arXiv1002.2028G. Дои:10.1007/978-3-642-14444-8_7. ISBN  978-3-642-14443-1.
29. Бергельсон, Виталий; Ведущий, Бернард; Кра, Брына (2005). «Множественные повторения и нулевые последовательности. С приложением Имре Ружа». Inventiones Mathematicae. 160 (2): 261–303. Дои:10.1007 / s00222-004-0428-6.