Сеть малого мира - Small-world network

Пример сети малого мира
Концентраторы больше, чем другие узлы
Средний степень = 3.833
Средняя длина кратчайшего пути = 1,803.
Коэффициент кластеризации = 0.522

Случайный график
Средний степень = 2.833
Средняя длина кратчайшего пути = 2,109.
Коэффициент кластеризации = 0.167

А сеть малого мира это тип математический график в котором большинство узлов не являются соседями друг друга, но соседи любого данного узла, вероятно, будут соседями друг друга, и к большинству узлов можно добраться из любого другого узла с помощью небольшого количества переходов или шагов. В частности, сеть малого мира определяется как сеть, в которой типичный расстояние L между двумя случайно выбранными узлами (необходимое количество шагов) растет пропорционально логарифм количества узлов N в сети, то есть:^[1]

${\displaystyle L\propto \log N}$

в то время как коэффициент кластеризации не маленький. В контексте социальной сети это приводит к феномен маленького мира незнакомцев, связанных короткой цепочкой знакомые. Многие эмпирические графики показывают эффект маленького мира, в том числе социальные сети, вики, например Википедия, генные сети, и даже базовая архитектура Интернет. Это вдохновение для многих сеть на кристалле архитектуры в современном компьютерное железо.^[2]

Определенная категория сетей малого мира была определена как класс случайные графы к Дункан Уоттс и Стивен Строгац в 1998 г.^[3] Они отметили, что графики можно классифицировать по двум независимым структурным признакам, а именно: коэффициент кластеризации, и среднее число узлов расстояние (также известный как средний кратчайший путь длина). Чисто случайные графы, построенные по Модель Эрдеша – Реньи (ER), демонстрируют небольшую среднюю длину кратчайшего пути (обычно изменяющуюся как логарифм числа узлов) вместе с небольшим коэффициентом кластеризации. Уоттс и Строгац измерили, что на самом деле многие реальные сети имеют небольшую среднюю длину кратчайшего пути, но также и коэффициент кластеризации, значительно превышающий ожидаемый случайным образом. Затем Уоттс и Строгац предложили новую модель графа, которая в настоящее время называется Модель Уоттса и Строгаца, с (i) небольшой средней длиной кратчайшего пути и (ii) большим коэффициентом кластеризации. Пересечение в модели Уоттса-Строгаца между «большим миром» (таким как решетка) и маленьким миром впервые было описано Бартелеми и Амаралом в 1999 году.^[4] За этой работой последовало множество исследований, включая точные результаты (Barrat, Weigt, 1999; Дороговцев и Мендес; Барпутис и Мюррей, 2010). Браунштейн и др. ^[5] обнаружили, что для взвешенных сетей ER, где веса имеют очень широкое распределение, оптимальные масштабы пути становятся значительно длиннее и масштабируются какN^1/3.

Свойства сетей малого мира

Сети малого мира обычно содержат клики, и почти клики, то есть подсети, которые имеют связи между почти любыми двумя узлами внутри них. Это следует из определяющего свойства высокой коэффициент кластеризации. Во-вторых, большинство пар узлов будут связаны хотя бы одним коротким путем. Это следует из определяющего свойства, что средняя длина кратчайшего пути мала. Некоторые другие свойства часто ассоциируются с сетями малого мира. Обычно наблюдается избыток узлы - узлы в сети с большим количеством подключений (известные как высокие степень узлы). Эти концентраторы служат в качестве общих соединений, обеспечивающих короткие пути между другими краями. По аналогии, небольшая сеть рейсов авиакомпаний имеет небольшую среднюю протяженность пути (т.е. между любыми двумя городами вам, вероятно, придется совершить три или меньше рейсов), потому что многие рейсы проходят через центр города. Это свойство часто анализируется, рассматривая долю узлов в сети, которые имеют определенное количество подключений, входящих в них (степень распределения сети). Сети с большим, чем ожидалось, числом концентраторов будут иметь большую долю узлов с высокой степенью, и, следовательно, распределение степеней будет обогащено при высоких значениях степени. В просторечии это известно как толстохвостое распределение. Графы с очень разной топологией квалифицируются как сети малого мира, если они удовлетворяют двум указанным выше требованиям к определению.

Компактность сети была определена с помощью небольшого коэффициента, ${\displaystyle \sigma }$, рассчитывается путем сравнения кластеризации и длины пути данной сети с эквивалентная случайная сеть в среднем с одинаковой степенью.^[6][7]

${\displaystyle \sigma ={\frac {\frac {C}{C_{r}}}{\frac {L}{L_{r}}}}}$

если ${\displaystyle \sigma >1}$ (${\textstyle C\gg C_{r}}$ и ${\textstyle L\approx {L_{r}}}$), сеть мала. Однако известно, что эта метрика плохо работает, поскольку на нее сильно влияет размер сети.^[8][9]

Другой метод количественной оценки сети малого мира использует исходное определение сети малого мира, сравнивая кластеризацию данной сети с эквивалентной решетчатой ​​сетью и длину ее пути с эквивалентной случайной сетью. Мера тесного мира (${\displaystyle \omega }$) определяется как^[8]

${\displaystyle \omega ={\frac {L_{r}}{L}}-{\frac {C}{C_{\ell }}}}$

Где характерная длина пути L и коэффициент кластеризации C рассчитываются из сети, которую вы тестируете, C_ℓ - коэффициент кластеризации для эквивалентной решетчатой ​​сети, а L_р - характерная длина пути для эквивалентной случайной сети.

Еще один метод количественной оценки «тесноты» нормализует кластеризацию сети и длину пути относительно этих характеристик в эквивалентной решетке и случайных сетях. Индекс малого мира (SWI) определяется как^[9]

${\displaystyle {\text{SWI}}={\frac {L-L_{\ell }}{L_{r}-L_{\ell }}}\times {\frac {C-C_{r}}{C_{\ell }-C_{r}}}}$

Обе ω'И SWI варьируются от 0 до 1, и было показано, что они отражают аспекты тесноты. Однако они принимают несколько иные концепции идеального тесного мира. Для данного набора ограничений (например, размера, плотности, распределения степеней) существует сеть, для которой ω′ = 1, поэтому ω стремится охватить степень, в которой сеть с заданными ограничениями настолько мала, насколько это возможно. Напротив, может не существовать сеть, для которой SWI = 1, таким образом, SWI нацелен на определение степени приближения сети с заданными ограничениями к теоретическому идеалу малого мира сети, где C ≈ C_ℓ и L ≈ L_р.^[9]

Р. Коэн и Havlin^[10][11] аналитически показал, что безмасштабные сети это сверхмалые миры. В этом случае из-за концентраторов кратчайшие пути становятся значительно меньше и масштабируются как

${\displaystyle L\propto \log \log N}$

Примеры сетей малого мира

Свойства малого мира присутствуют во многих явлениях реального мира, включая веб-сайты с меню навигации, пищевые сети, электрические сети, сети обработки метаболитов, сети нейронов мозга, сети избирателей, графики телефонных звонков, сети аэропортов,^[12] и социальные сети влияния.^[13] Культурные сети,^[14] семантические сети ^[15] и слово сети совместного возникновения^[16] также было показано, что это сети малого мира.

Сети связанные белки имеют свойства малого мира, такие как степенной закон, подчиняющийся распределению степеней.^[17] по аналогии транскрипционные сети, в котором узлы гены, и они связаны, если один ген оказывает повышающее или понижающее генетическое влияние на другой, имеют свойства небольшой мировой сети.^[18]

Примеры сетей немалого мира

В другом примере известная теория "шесть ступеней расставания "между людьми молчаливо предполагает, что область дискурса это множество людей, живущих в любой момент времени. Количество степеней разделения между Альберт Эйнштейн и Александр Великий почти наверняка больше 30^[19] и эта сеть не имеет свойств маленького мира. Аналогичным образом ограниченная сеть была бы сетью «ходил в школу с»: если два человека ходили в один и тот же колледж с разницей в десять лет друг от друга, маловероятно, что у них есть общие знакомые среди студентов.

Точно так же количество ретрансляционных станций, через которые должно проходить сообщение, не всегда было небольшим. В те дни, когда почту возили в руке или верхом, количество раз, когда письмо переходило из рук в руки от источника к месту назначения, было бы намного больше, чем сегодня. Количество раз, когда сообщение переходило из рук в руки во времена визуального телеграфа (около 1800–1850), определялось требованием, чтобы две станции были соединены прямой видимостью.

Молчаливые допущения, если их не исследовать, могут вызвать предвзятость в литературе по графам в пользу поиска сетей малого мира (пример Эффект файлового ящика в результате предвзятости публикации ).

Надежность сети

Это выдвигается некоторыми исследователями, такими как Барабаши, что преобладание сетей малых миров в биологических системах может отражать эволюционное преимущество такой архитектуры. Одна из возможностей состоит в том, что сети малого мира более устойчивы к возмущениям, чем другие сетевые архитектуры. Если бы это было так, это дало бы преимущество биологическим системам, которые могут быть повреждены мутация или же вирусная инфекция.

В небольшой мировой сети с распределением степеней после сила закона, удаление случайного узла редко вызывает резкое увеличение средний кратчайший путь длина (или резкое уменьшение коэффициент кластеризации ). Это следует из того факта, что кратчайшие пути между узлами проходят через узлы, и если периферийный узел удален, маловероятно, что это помешает прохождению между другими периферийными узлами. Поскольку доля периферийных узлов в небольшой мировой сети намного выше, чем доля узлы, вероятность удаления важного узла очень мала. Например, если небольшой аэропорт в Сан-Вэлли, Айдахо был закрыт, это не увеличило бы среднее количество рейсов, которые должны были бы совершить другие пассажиры, путешествующие в Соединенных Штатах, чтобы прибыть в свои пункты назначения. Однако, если случайное удаление узла случайно попадает в концентратор, средняя длина пути может резко увеличиться. Это можно наблюдать ежегодно, когда северные узловые аэропорты, такие как Чикаго, О'Хара: аэропорт, закрыты из-за снега; многим людям приходится брать дополнительные рейсы.

Напротив, в случайной сети, в которой все узлы имеют примерно одинаковое количество подключений, удаление случайного узла может немного, но значительно увеличить среднюю кратчайшую длину пути практически для любого удаленного узла. В этом смысле случайные сети уязвимы для случайных возмущений, в то время как сети малых миров надежны. Однако небольшие сети уязвимы для целенаправленной атаки концентраторов, тогда как случайные сети не могут быть нацелены на катастрофический отказ.

Соответственно, вирусы эволюционировали, чтобы вмешиваться в активность узловых белков, таких как p53, тем самым вызывая огромные изменения в поведении клеток, которые способствуют репликации вирусов. Полезным методом анализа надежности сети является теория перколяции.^[20]

Построение сетей малого мира

Основным механизмом построения сетей малого мира является Механизм Ватса – Строгаца.

Сети малого мира также могут быть введены с задержкой по времени,^[21] что создаст не только фракталы, но и хаос^[22] при правильных условиях или переход к хаосу в динамических сетях.^[23]

Градус – диаметр Графы построены таким образом, что количество соседей, которые каждая вершина в сети имеет ограниченное, а расстояние от любой данной вершины сети до любой другой вершины ( диаметр сети) сводится к минимуму. Построение таких сетей малого мира осуществляется как часть усилий по поиску графов порядка, близких к Мур связан.

Другой способ построить небольшую мировую сеть с нуля дан в Barmpoutis. и другие.,^[24] где построена сеть с очень малым средним расстоянием и очень большой средней кластеризацией. Дан быстрый алгоритм постоянной сложности, а также измерения устойчивости результирующих графиков. В зависимости от применения каждой сети, можно начать с одной такой сети «сверхмалого мира», а затем перенастроить некоторые ребра или использовать несколько таких небольших сетей в качестве подграфов для более крупного графа.

Свойства малого мира могут возникать естественным образом в социальных сетях и других реальных системах в процессе двухфазная эволюция. Это особенно часто встречается там, где временные или пространственные ограничения ограничивают добавление соединений между вершинами. Механизм обычно включает периодические сдвиги между фазами, при этом соединения добавляются во время «глобальной» фазы и усиливаются или удаляются во время «локальной» фазы.

Сети малого мира могут измениться от безмасштабного класса к крупномасштабному классу, распределение связности которого резко ограничено в соответствии с режимом степенного закона из-за ограничений, ограничивающих добавление новых каналов.^[25] При достаточно сильных ограничениях безмасштабные сети могут даже стать одномасштабными сетями, распределение связности которых характеризуется быстрым спадом.^[25]

Смотрите также: Ограниченная диффузией агрегация, Формирование паттерна

Приложения

Приложения к социологии

Преимущества сетей малого мира для группы общественного движения являются их сопротивлением изменениям из-за устройства фильтрации, использующего узлы с высокой степенью связи, и его большей эффективностью в передаче информации при минимальном количестве каналов, необходимых для подключения к сети.^[26]

Сетевая модель малого мира напрямую применима к группа по интересам теория представлена ​​в социологических аргументах Уильям Финнеган. Аффинити-группы - это группы социальных движений, которые являются небольшими и полунезависимыми, приверженными более широкой цели или функции. Хотя в значительной степени они не аффилированы на уровне узла, некоторые члены с высокой связностью функционируют как узлы связи, связывая различные группы через сеть. Эта модель маленького мира зарекомендовала себя как чрезвычайно эффективная тактика протестных организаций против действий полиции.^[27] Клэй Ширки утверждает, что чем крупнее социальная сеть, созданная с помощью сетей малого мира, тем ценнее узлы с высокой связностью внутри сети.^[26] То же самое можно сказать и о модели аффинити-группы, в которой небольшое количество людей в каждой группе, подключенных к внешним группам, позволило в значительной степени мобилизоваться и адаптироваться. Практическим примером этого является создание сетей небольшого мира через группы по интересам, которые Уильям Финнеган описывает со ссылкой на 1999 Сиэтл протесты ВТО.

Приложения к наукам о Земле

Было показано, что многие сети, изучаемые в геологии и геофизике, обладают характеристиками сетей малого мира. Сети, определенные в системах трещин и пористых веществах, продемонстрировали эти характеристики.^[28] Сейсмическая сеть в регионе Южной Калифорнии может быть сетью небольшого мира.^[29] Приведенные выше примеры встречаются в очень разных пространственных масштабах, демонстрируя масштабная инвариантность явления в науках о Земле. Климатические сети можно рассматривать как небольшие мировые сети, в которых звенья имеют разную длину.^[30]

Приложения для вычислений

Сети малого мира использовались для оценки удобства использования информации, хранящейся в больших базах данных. Эта мера называется мерой преобразования данных малого мира.^[31][32] Чем больше ссылки базы данных соответствуют небольшой сети, тем больше вероятность, что пользователь сможет извлекать информацию в будущем. Такое удобство использования обычно достигается за счет количества информации, которая может храниться в одном репозитории.

В Freenet одноранговая сеть, как было показано при моделировании, формирует сеть малого мира,^[33] позволяя сохранять и извлекать информацию таким образом, чтобы ее эффективность увеличивалась по мере роста сети.

Нейронные сети малого мира в мозгу

Обе анатомические связи в головном мозге^[34] и сети синхронизации корковых нейронов^[35] демонстрируют топологию малого мира.

Сеть нейронов маленького мира может показывать краткосрочная память. Компьютерная модель, разработанная Соллой и другие.^[36][37] имел два стабильных состояния, свойство (называемое бистабильность ) считается важным в объем памяти место хранения. Активирующий импульс генерировал самоподдерживающиеся петли коммуникативной активности между нейронами. Второй импульс положил конец этой активности. Импульсы переключали систему между стабильными состояниями: потоком (запись «памяти») и стазисом (удержание ее). Нейронные сети малого мира также использовались в качестве моделей для понимания припадки.^[38]

На более общем уровне многие крупномасштабные нейронные сети в мозге, такие как зрительная система и ствол мозга, проявляют свойства маленького мира.^[6]

Маленький мир с распределением длины ссылки

Модель SW включает в себя равномерное распределение линий дальней связи. Когда распределение длин каналов следует распределению по степенному закону, среднее расстояние между двумя сайтами изменяется в зависимости от степени распределения.^[39]

Смотрите также

• Модель Барабаши – Альберта
• Климат как сложные сети - Концептуальная модель для понимания науки о климате
• Двухфазная эволюция - Процесс, который управляет самоорганизацией в сложных адаптивных системах
• Номер Данбара - предполагаемый предел познания важен в социологии и антропологии
• Число Эрдеша - Тесная связь с математиком Полем Эрдёшем
• Модель Эрдеша – Реньи (ER) - Две тесно связанные модели для генерации случайных графов
• Теория перколяции - Математическая теория поведения связанных кластеров в случайном графе
• Сетевая наука - математическая теория сетей
• Безмасштабная сеть - Сеть, распределение степеней которой подчиняется степенному закону
• Шесть степеней Кевина Бэкона - Салонная игра по степеням разделения
• Маленький мир эксперимент - Эксперименты по изучению средней длины пути для социальных сетей
• Социальная сеть - Социальная структура, состоящая из множества социальных субъектов
• Модель Уоттса – Строгаца
• Сеть на микросхеме – системы на кристалле по образцу сетей малого мира

Рекомендации

1. Watts DJ, Strogatz SH (июнь 1998 г.). «Коллективная динамика сетей« маленького мира »». Природа. 393 (6684): 440–2. Bibcode:1998 Натур.393..440Вт. Дои:10.1038/30918. PMID  9623998.
2. Кунду С., Чаттопадхьяй С. (2014). Сеть на кристалле: новое поколение интеграции системы на кристалле (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  9781466565272. OCLC  895661009.
3. Уоттс ди-джей, Строгац Ш. (Июнь 1998 г.). «Коллективная динамика сетей« маленького мира »». Природа. 393 (6684): 440–2. Bibcode:1998 Натур.393..440Вт. Дои:10.1038/30918. PMID  9623998.
4. Бартелеми М., Амарал Л.А. (1999). «Сети малого мира: свидетельство кроссоверной картины». Письма с физическими проверками. 82 (15): 3180–3183. arXiv:cond-mat / 9903108. Bibcode:1999ПхРвЛ..82.3180Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.82.3180.
5. Браунштейн Л.А., Булдырев С.В., Коэн Р., Хэвлин С., Стэнли Х.Э. (октябрь 2003 г.). «Оптимальные пути в неупорядоченных сложных сетях». Письма с физическими проверками. 91 (16): 168701. arXiv:cond-mat / 0305051. Bibcode:2003ПхРвЛ..91п8701Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.91.168701. PMID  14611445. S2CID  5060754.
6. Хамфрис, доктор медицины (2006). «Ретикулярная формация ствола мозга - это небольшая, не безмасштабная сеть». Труды Королевского общества B: биологические науки. 273 (1585): 503–511. Дои:10.1098 / rspb.2005.3354. ЧВК  1560205. PMID  16615219.
7. Хамфрис, доктор медицины, Герни К. (апрель 2008 г.). «Сеть« маленького мира »: количественный метод определения канонической сетевой эквивалентности». PLOS ONE. 3 (4): e0002051. Bibcode:2008PLoSO ... 3.2051H. Дои:10.1371 / journal.pone.0002051. ЧВК  2323569. PMID  18446219.
8. Телесфорд К.К., Джойс К.Е., Хаясака С., Бёрдетт Дж. Х., Лауриенти П. Дж. (2011). «Повсеместность сетей малого мира». Связь мозга. 1 (5): 367–75. arXiv:1109.5454. Bibcode:2011arXiv1109.5454T. Дои:10.1089 / brain.2011.0038. ЧВК  3604768. PMID  22432451.
9. Нил З.П. (2017). «Насколько она мала? Сравнение показателей маленькой светской жизни». Сетевые науки. 5 (1): 30–44. Дои:10.1017 / nws.2017.5. ISSN  2050-1242.
10. Коэн Р, Havlin S, Бен-Авраам Д. (2002). «Структурные свойства безмасштабных сетей». Справочник по графам и сетям. Wiley-VCH, 2002 (гл. 4).
11. Коэн Р., Хэвлин С. (февраль 2003 г.). «Безмасштабные сети - сверхмалые». Письма с физическими проверками. 90 (5): 058701. arXiv:cond-mat / 0205476. Bibcode:2003PhRvL..90e8701C. Дои:10.1103 / PhysRevLett.90.058701. PMID  12633404. S2CID  10508339.
12. Ян YC (1972). "Терминальные дорожные мосты международного аэропорта Сан-Франциско". Материалы журнала ACI. 69 (10). Дои:10.14359/7189.
13. М. Кицак, Л.К. Галлос, С. Хэвлин, Ф. Лильерос, Л. Мучник, Х. Стэнли, Х.А. Максе (2010). «Выявление влиятельных распространителей в сложных сетях». Природа Физика. 6 (11): 888. arXiv:1001.5285. Bibcode:2010НатФ ... 6..888K. Дои:10.1038 / nphys1746.
14. Сенекал Б.А. (декабрь 2015 г.). "'n Kwantifisering van kleinwêreldsheid в Afrikaanse kultuurnetwerke in vergelyking met ander komplekse netwerke: natuurwetenskappe " [Количественная оценка маленьких миров в африканских культурных сетях по сравнению с другими сложными сетями: естественные науки.]. 'n Joernaal vir die Geesteswetenskappe, Natuurwetenskappe, Regte en Godsdienswetenskappe (на африкаанс). Литнет Академии. 12 (3): 665–88.
15. Ю. Н. Кенетт, О. Леви, Д. Ю. Кенетт, Х. Э. Стэнли, М. Фауст, С. Хэвлин (2018). «Гибкость мысли у высоких творческих личностей, представленная перколяционным анализом». PNAS. 115 (2): 867–872. Bibcode:2018ПНАС..115..867К. Дои:10.1073 / pnas.1717362115. ЧВК  5798367. PMID  29339514.
16. Сенекал Б., Коце Э (2017). "Die statistiese eienskappe van geskrewe Afrikaans as'n komplekse netwerk" [Статистические свойства письменного африкаанса как сложной сети]. 'n Joernaal vir die Geesteswetenskappe, Natuurwetenskappe, Regte en Godsdienswetenskappe (на африкаанс). Литнет Академии. 14 (1): 27–59.
17. Борк П., Дженсен Л.Дж., фон Меринг С., Рамани А.К., Ли И., Маркотт Е.М. (июнь 2004 г.). «Сети взаимодействия белков от дрожжей до человека» (PDF). Текущее мнение в структурной биологии. 14 (3): 292–9. Дои:10.1016 / j.sbi.2004.05.003. PMID  15193308.
18. ван Ноорт В., Снел Б., Хюйнен М.А. (март 2004 г.). «Сеть коэкспрессии дрожжей имеет компактную, безмасштабную архитектуру и может быть объяснена с помощью простой модели». Отчеты EMBO. 5 (3): 280–4. Дои:10.1038 / sj.embor.7400090. ЧВК  1299002. PMID  14968131.
19. Эйнштейн и Александр Великий жили разницей в 2202 года. Если предположить, что разница в возрасте между любыми двумя связанными людьми в цепи, которая их соединяет, составляет 70 лет, это потребует по крайней мере 32 связей между Эйнштейном и Александром Великим.
20. Коэн Р., Хэвлин С. (2010). «Сложные сети: структура, надежность и функции». Издательство Кембриджского университета.
21. Ян XS (2002). «Фракталы в сетях малого мира с запаздыванием». Хаос, солитоны и фракталы. 13 (2): 215–219. Bibcode:2002CSF .... 13..215Y. Дои:10.1016 / S0960-0779 (00) 00265-4. S2CID  119109068.
22. Ян XS (март 2001 г.). «Хаос в сетях маленького мира». Физический обзор E. 63 (4): 046206. arXiv:1003.4940. Bibcode:2001PhRvE..63d6206Y. Дои:10.1103 / PhysRevE.63.046206. PMID  11308929. S2CID  38158445.
23. Юань В.Дж., Ло XS, Цзян П.К., Ван Б.Х., Фанг Дж.К. (август 2008 г.). «Переход к хаосу в динамической сети маленького мира». Хаос, солитоны и фракталы. 37 (3): 799–806. Bibcode:2008CSF .... 37..799Y. Дои:10.1016 / j.chaos.2006.09.077.
24. Барпутис Д., Мюррей Р.М. (2010). «Сети с наименьшим средним расстоянием и наибольшей средней кластеризацией». arXiv:1007.4031 [q-bio.MN ].
25. Amaral LA, Scala A, Barthelemy M, Stanley HE (октябрь 2000 г.). «Классы сетей малого мира». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 97 (21): 11149–52. arXiv:cond-mat / 0001458. Bibcode:2000PNAS ... 9711149A. Дои:10.1073 / pnas.200327197. ЧВК  17168. PMID  11005838.
26. Ширки C (2008). Сюда приходят все: сила организации без организаций. Penguin Press. ISBN  978-1-59420-153-0. OCLC  168716646.
27. Финнеган, Уильям "Группы интересов и движение против корпоративной глобализации"
28. Ян XS (июль 2001 г.). «Сети малого мира в геофизике». Письма о геофизических исследованиях. 28 (13): 2549–52. arXiv:1003.4886. Bibcode:2001GeoRL..28.2549Y. Дои:10.1029 / 2000GL011898. S2CID  118655139.(2001)
29. Хименес А., Тиампо К.Ф., Посадас А.М. (май 2008 г.). «Маленький мир в сейсмической сети: пример Калифорнии» (PDF). Нелинейные процессы в геофизике. 15 (3): 389–95. Bibcode:2008NPGeo..15..389J. Дои:10.5194 / npg-15-389-2008.
30. Гозолчиани А., Хавлин С., Ямасаки К. (сентябрь 2011 г.). «Возникновение Эль-Ниньо как автономного компонента климатической сети». Письма с физическими проверками. 107 (14): 148501. arXiv:1010.2605. Bibcode:2011ПхРвЛ.107н8501Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.107.148501. PMID  22107243.
31. Хиллард Р., МакКлори С., Сомич Б. «Мера преобразования данных малых миров». MIKE2.0, методология разработки информации с открытым исходным кодом.
32. Хиллард Р. (2010). Информационно-ориентированный бизнес. Вайли. ISBN  978-0-470-62577-4.
33. Сандберг О. (2005). Поиск в маленьком мире (PDF) (Кандидатская диссертация). Гетеборг, Швеция: Технологический университет Чалмерса и Гетеборгский университет.
34. Sporns O, Chialvo DR, Kaiser M, Hilgetag CC (сентябрь 2004 г.). «Организация, развитие и функции сложных сетей мозга». Тенденции в когнитивных науках. 8 (9): 418–25. Дои:10.1016 / j.tics.2004.07.008. PMID  15350243. S2CID  2855338.
35. Yu S, Huang D, Singer W, Nikolic D (декабрь 2008 г.). «Маленький мир нейронной синхронности». Кора головного мозга. 18 (12): 2891–901. Дои:10.1093 / cercor / bhn047. ЧВК  2583154. PMID  18400792.
36. Коэн П. (26 мая 2004 г.). "Маленький мир сетей ключ к памяти". Новый ученый.
37. Солла S (2004). «Самоподдерживающаяся деятельность в сети возбудимых нейронов малого мира». Лекция и слайды. Калифорнийский университет в Санта-Барбаре, Институт теоретической физики Кавли. 92 (19): 198101. arXiv:nlin / 0309067. Bibcode:2004ПхРвЛ..92с8101Р. Дои:10.1103 / PhysRevLett.92.198101. PMID  15169447. S2CID  14272272.
38. Ponten SC, Bartolomei F, Stam CJ (апрель 2007 г.). «Сети малого мира и эпилепсия: теоретический анализ графиков записанных интрацеребрально мезиальных приступов височной доли». Клиническая нейрофизиология. 118 (4): 918–27. Дои:10.1016 / j.clinph.2006.12.002. PMID  17314065.
39. Дацин Л., Космидис К., Бунде А, Havlin S (2011). «Измерение пространственно встроенных сетей». Природа Физика. 7 (6): 481–484. Bibcode:2011НатФ ... 7..481Д. Дои:10.1038 / nphys1932.

дальнейшее чтение

Книги

• Бьюкенен М (2003). Nexus: маленькие миры и новаторская теория сетей. Norton, W. W. & Company, Inc. ISBN  978-0-393-32442-6.
• Дороговцев С.Н., Мендес Дж.Ф. (2003). Эволюция сетей: от биологических сетей к Интернету и WWW. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-851590-6.
• Уоттс ди-джей (1999). Маленькие миры: динамика сетей между порядком и случайностью. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-00541-6.
• Фаулер JH (2005). «Явка в маленьком мире». В Цукермане А (ред.). Социальная логика политики. Temple University Press. С. 269–287.
• Коэн Р, Havlin S (2010). Сложные сети: структура, надежность и функции. Издательство Кембриджского университета.

журнальные статьи

• Альберт Р., Барабаши А.Л. (2002). «Статистическая механика сложных сетей». Ред. Мод. Phys. 74 (1): 47–97. arXiv:cond-mat / 0106096. Bibcode:2002РвМП ... 74 ... 47А. Дои:10.1103 / RevModPhys.74.47.
• Барабаши А.Л., Альберт Р. (октябрь 1999 г.). «Возникновение масштабирования в случайных сетях». Наука. 286 (5439): 509–12. arXiv:cond-mat / 9910332. Bibcode:1999Научный ... 286..509Б. Дои:10.1126 / science.286.5439.509. PMID  10521342.
• Бартелеми М., Амарал Л.А. (1999). «Сети малого мира: свидетельство кроссоверной картины». Phys. Rev. Lett. 82 (15): 3180–3183. arXiv:cond-mat / 9903108. Bibcode:1999ПхРвЛ..82.3180Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.82.3180.
• Дороговцев С.Н., Мендес Дж.Ф. (2000). «Точно решаемая аналогия сетей малого мира». Europhys. Латыш. 50 (1): 1–7. arXiv:cond-mat / 9907445. Bibcode:2000ЭЛ ..... 50 .... 1Д. Дои:10.1209 / epl / i2000-00227-1. S2CID  11334862.
• Милгрэм С (1967). «Проблема маленького мира». Психология сегодня. 1 (1): 60–67.
• Ньюман М (2003). «Структура и функции сложных сетей». SIAM Обзор. 45 (2): 167–256. arXiv:cond-mat / 0303516. Bibcode:2003SIAMR..45..167N. Дои:10.1137 / S003614450342480. S2CID  65837. pdf
• Равид Д, Рафаэли С (2004). «Асинхронные дискуссионные группы как Small World и Scale Free Networks». Первый понедельник. 9 (9). Дои:10.5210 / fm.v9i9.1170. S2CID  6388295. [1]
• Паршани Р., Булдырев С.В., Хавлин С. (январь 2011 г.). «Критическое влияние групп зависимостей на работу сетей». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 108 (3): 1007–10. arXiv:1010.4498. Bibcode:2011ПНАС..108.1007П. Дои:10.1073 / pnas.1008404108. ЧВК  3024657. PMID  21191103.
• Булдырев С.В., Паршани Р., Пол Г., Стэнли Х.Э., Хэвлин С. (апрель 2010 г.). «Катастрофический каскад отказов во взаимозависимых сетях». Природа. 464 (7291): 1025–8. arXiv:0907.1182. Bibcode:2010Натура.464.1025Б. Дои:10.1038 / природа08932. PMID  20393559. S2CID  1836955.

внешняя ссылка

• Сети динамической близости Сет Дж. Чендлер, Демонстрационный проект Wolfram.
• Сети малого мира запись в Scholarpedia (Мейсон А. Портер)