Сетевая наука - Network science

Для использования в других целях см. Сеть (значения).

Сетевая наука академическая область, изучающая сложные сети такие как телекоммуникационные сети, компьютерная сеть, биологические сети, когнитивные и семантические сети, и социальные сети, учитывая отдельные элементы или акторы, представленные узлы (или вершины) и связи между элементами или акторами как ссылки (или края). Эта область опирается на теории и методы, в том числе теория графов из математики, статистическая механика из физики, сбор данных и визуализация информации из информатики, логическое моделирование из статистики, и социальная структура из социологии. В Национальный исследовательский совет США определяет сетевую науку как «изучение сетевых представлений физических, биологических и социальных явлений, ведущее к прогнозным моделям этих явлений».^[1]

Предпосылки и история

Изучение сетей появилось в различных дисциплинах как средство анализа сложных реляционных данных. Самая ранняя известная работа в этой области - знаменитая Семь мостов Кенигсберга написано Леонард Эйлер в 1736 году. Математическое описание вершин и ребер Эйлера легло в основу теория графов, раздел математики, изучающий свойства парных отношений в сетевой структуре. Поле теория графов продолжал развиваться и находить применение в химии (Sylvester, 1878).

Денес Кёниг, венгерский математик и профессор, написал первую книгу по теории графов под названием «Теория конечных и бесконечных графов» в 1936 году. ^[2]

Социограмма Морено 1-го класса.

В 1930-е гг. Джейкоб Морено, психолог в Гештальт традиция, прибывшая в США. Он разработал социограмма и представил его общественности в апреле 1933 года на съезде ученых-медиков. Морено утверждал, что «до появления социометрии никто не знал, как« в точности »выглядела межличностная структура группы» (Морено, 1953). Социограмма представляла собой социальную структуру группы учеников начальной школы. Мальчики дружили с мальчиками, а девочки дружили с девочками, за исключением одного мальчика, который сказал, что ему нравится одинокая девочка. Чувство не было взаимным. Это сетевое представление социальной структуры было настолько интригующим, что было напечатано в Нью-Йорк Таймс (3 апреля 1933 г., стр.17). Социограмма нашла множество приложений и переросла в сферу анализ социальных сетей.

Вероятностная теория в сетевой науке, разработанная как ответвление теория графов с Пол Эрдёш и Альфред Реньи восемь известных статей о случайные графы. За социальные сети то экспоненциальная модель случайного графа или p * - система обозначений, используемая для представления вероятностного пространства связи, возникающей в социальная сеть. Альтернативный подход к сетевым вероятностным структурам - это матрица вероятностей сети, который моделирует вероятность появления ребер в сети на основе исторического присутствия или отсутствия ребра в выборке сетей.

В 1998 г. Дэвид Кракхардт и Кэтлин Карли представил идею метасети с моделью PCANS. Они предполагают, что «все организации структурированы по этим трем доменам: отдельные лица, задачи и ресурсы». В их статье представлена ​​концепция, согласно которой сети существуют в нескольких доменах и взаимосвязаны. Эта область превратилась в другую дисциплину сетевой науки, которая называется динамический сетевой анализ.

Совсем недавно другие усилия сетевой науки были сосредоточены на математическом описании различных сетевых топологий. Дункан Уоттс согласовал эмпирические данные о сетях с математическим представлением, описывая сеть малого мира. Альберт-Ласло Барабаши и Река Альберт разработал безмасштабная сеть которая представляет собой слабо определенную топологию сети, которая содержит вершины концентратора с множеством соединений, которые растут таким образом, чтобы поддерживать постоянное соотношение количества соединений по сравнению со всеми остальными узлами. Хотя многие сети, такие как Интернет, похоже, поддерживают этот аспект, другие сети имеют длиннохвостые распределения узлов, которые лишь приблизительно соответствуют свободному от масштаба соотношению.

Инициативы Министерства обороны

Военные США впервые заинтересовались сетецентрическая война в качестве операционной концепции, основанной на сетевой науке в 1996 году. Джон А. Парментола, директор по исследованиям и управлению лабораториями армии США, 1 декабря 2003 года предложил Совету армии по науке и технологиям (BAST), чтобы сетевые науки стали новой армией область исследования. BAST, Отдел инженерных и физических наук Национального исследовательского совета (NRC) национальных академий, служит органом, организующим обсуждение вопросов науки и технологий, важных для армии, и наблюдает за независимыми исследованиями, связанными с армией, проводимыми Национальные академии. BAST провел исследование, чтобы выяснить, может ли выявление и финансирование новой области фундаментальных исследований, сетевой науки, помочь преодолеть разрыв между тем, что необходимо для реализации сетевых операций, и текущим примитивным состоянием фундаментальных знаний о сетях.

В результате BAST опубликовал исследование NRC в 2005 году под названием Network Science (упомянутое выше), которое определило новую область фундаментальных исследований в Network Science для армии. На основании выводов и рекомендаций этого исследования и последующего отчета NRC 2007 года под названием «Стратегия армейского центра сетевых наук, технологий и экспериментов» ресурсы базовых исследований армии были перенаправлены на запуск новой программы фундаментальных исследований в области сетевых наук. Чтобы создать новую теоретическую основу для сложных сетей, некоторые из ключевых исследований в области сетевой науки, которые сейчас проводятся в армейских лабораториях, направлены на:

• Математические модели поведения сети для прогнозирования производительности в зависимости от размера сети, сложности и среды.
• Оптимизированная человеческая производительность, необходимая для ведения сетевой войны
• Сетевое взаимодействие внутри экосистем и на молекулярном уровне в клетках.

По инициативе Фредерика И. Моксли в 2004 году при поддержке, которую он запросил у Дэвида С. Альбертса, Министерство обороны помогло создать первый Центр сетевых наук совместно с армией США при Военной академии США (USMA). Под руководством доктора Моксли и преподавателей USMA первые междисциплинарные курсы бакалавриата по сетевым наукам были проведены курсантам в Вест-Пойнте. Чтобы лучше привить принципы сетевой науки своим кадрам будущих лидеров, USMA также учредило пять курсов для студентов-бакалавров по сетевым наукам.

В 2006 году армия США и Соединенное Королевство (Великобритания) создали Сеть и информационные науки. Международный технологический альянс, совместное партнерство Лаборатории армейских исследований, Министерства обороны Великобритании и консорциума промышленных предприятий и университетов США и Великобритании. Целью альянса является проведение фундаментальных исследований в поддержку сетевых операций с учетом потребностей обеих стран.

В 2009 году армия США сформировала Сетевые науки CTA, совместный исследовательский альянс среди Армейская исследовательская лаборатория, CERDEC, а также консорциум из около 30 промышленных научно-исследовательских лабораторий и университетов в США.Цель альянса состоит в том, чтобы развить глубокое понимание общих черт взаимосвязанных социальных / когнитивных, информационных и коммуникационных сетей и, как результат, улучшить нашу способность к анализировать, прогнозировать, проектировать и влиять на сложные системы, объединяющие множество видов сетей.

Впоследствии, в результате этих усилий, Министерство обороны США спонсировало многочисленные исследовательские проекты в поддержку сетевой науки.

Свойства сети

Часто сети имеют определенные атрибуты, которые можно вычислить для анализа свойств и характеристик сети. Поведение этих сетевых свойств часто определяет сетевые модели и может использоваться для анализа того, как определенные модели контрастируют друг с другом. Многие определения других терминов, используемых в сетевой науке, можно найти в Глоссарий теории графов.

Размер

Размер сети может относиться к количеству узлов ${\displaystyle N}$ или, реже, количество ребер ${\displaystyle E}$ который (для связных графов без мультиребер) может варьироваться от ${\displaystyle N-1}$ (дерево) к ${\displaystyle E_{\max }}$ (полный график). В случае простого графа (сеть, в которой не более одного (неориентированного) ребра существует между каждой парой вершин и в которой вершины не соединяются сами с собой), мы имеем ${\displaystyle E_{\max }={\tbinom {N}{2}}=N(N-1)/2}$; для ориентированных графов (без самосвязных узлов), ${\displaystyle E_{\max }=N(N-1)}$; для ориентированных графов с разрешенными самоподключениями, ${\displaystyle E_{\max }=N^{2}}$. В случае графа, в котором может существовать несколько ребер между парой вершин, ${\displaystyle E_{\max }=\infty }$.

Плотность

Плотность ${\displaystyle D}$ сети определяется как отношение количества ребер ${\displaystyle E}$ к количеству возможных ребер в сети с ${\displaystyle N}$ узлов, заданных (в случае простых графов) биномиальный коэффициент ${\displaystyle {\tbinom {N}{2}}}$, давая ${\displaystyle D={\frac {E-(N-1)}{E_{\mathrm {max} }-(N-1)}}={\frac {2(E-N+1)}{N(N-3)+2}}}$Другое возможное уравнение: ${\displaystyle D={\frac {T-2N+2}{N(N-3)+2}},}$ тогда как связи ${\displaystyle T}$ однонаправлены (Wasserman & Faust 1994).^[3] Это дает лучший обзор плотности сети, поскольку можно измерить однонаправленные отношения.

Плотность планарной сети

Плотность ${\displaystyle D}$ сети, в которой нет пересечения между ребрами, определяется как отношение количества ребер ${\displaystyle E}$ к количеству возможных ребер в сети с ${\displaystyle N}$ узлы, заданные графом без пересекающихся ребер ${\displaystyle (E_{\max }=3N-6)}$, давая ${\displaystyle D={\frac {E-N+1}{2N-5}}.}$

Средняя степень

Степень ${\displaystyle k}$ узла - это количество связанных с ним ребер. С плотностью сети тесно связана средняя степень, ${\displaystyle \langle k\rangle ={\tfrac {2E}{N}}}$ (или, в случае ориентированных графов, ${\displaystyle \langle k\rangle ={\tfrac {E}{N}}}$(первый множитель 2, возникающий из каждого ребра в неориентированном графе и вносящий вклад в степень двух различных вершин). в Модель случайного графа ER (${\displaystyle G(N,p)}$) мы можем вычислить математическое ожидание ${\displaystyle \langle k\rangle }$ (равное ожидаемому значению ${\displaystyle k}$ произвольной вершины): случайная вершина имеет ${\displaystyle N-1}$ другие вершины в сети доступны, и с вероятностью ${\displaystyle p}$, подключается к каждому. Таким образом, ${\displaystyle \mathbb {E} [\langle k\rangle ]=\mathbb {E} [k]=p(N-1)}$.

Средняя длина кратчайшего пути (или характерная длина пути)

Средняя длина кратчайшего пути вычисляется путем нахождения кратчайшего пути между всеми парами узлов и взятия среднего по всем путям его длины (длина - это количество промежуточных ребер, содержащихся в пути, т. Е. Расстояние ${\displaystyle d_{u,v}}$ между двумя вершинами ${\displaystyle u,v}$ внутри графика). Это показывает нам в среднем количество шагов, необходимых для перехода от одного участника сети к другому. Поведение ожидаемой средней длины кратчайшего пути (то есть среднего по ансамблю средней длины кратчайшего пути) в зависимости от количества вершин ${\displaystyle N}$ случайной сетевой модели определяет, проявляет ли эта модель эффект маленького мира; если он масштабируется как ${\displaystyle O(\ln N)}$, модель генерирует сети малого мира. Для роста, превышающего логарифмический, модель не создает маленьких миров. Частный случай ${\displaystyle O(\ln \ln N)}$ известен как эффект сверхмалого мира.

Оптимальный путь

Когда ссылки или узлы взвешены, можно рассмотреть оптимальный путь между узлами.^[4]

Диаметр сети

В качестве еще одного средства измерения сетевых графов мы можем определить диаметр сети как самый длинный из всех вычисленных кратчайших путей в сети. Это кратчайшее расстояние между двумя наиболее удаленными узлами сети. Другими словами, как только вычислена длина кратчайшего пути от каждого узла до всех других узлов, диаметр будет самым длинным из всех рассчитанных длин пути. Диаметр соответствует линейному размеру сети. Если узлы A-B-C-D подключены, переход от A-> D будет диаметром 3 (3 участка, 3 связи).^{[нужна цитата ]}

Коэффициент кластеризации

Коэффициент кластеризации - это показатель свойства «все мои друзья знают друг друга». Иногда это называют друзьями моих друзей. Точнее, коэффициент кластеризации узла - это отношение существующих связей, соединяющих соседей узла друг с другом, к максимально возможному количеству таких связей. Коэффициент кластеризации для всей сети - это среднее значение коэффициентов кластеризации всех узлов. Высокий коэффициент кластеризации для сети - еще один показатель маленький мир.

Коэффициент кластеризации ${\displaystyle i}$й узел

${\displaystyle C_{i}={2e_{i} \over k_{i}{(k_{i}-1)}}\,,}$

где ${\displaystyle k_{i}}$ количество соседей ${\displaystyle i}$'й узел и ${\displaystyle e_{i}}$ количество связей между этими соседями. Таким образом, максимально возможное количество соединений между соседями равно

${\displaystyle {\binom {k}{2}}={{k(k-1)} \over 2}\,.}$

С вероятностной точки зрения ожидаемый коэффициент локальной кластеризации - это вероятность наличия связи между двумя произвольными соседями одного и того же узла.

Связность

Способ подключения сети играет большую роль в том, как сети анализируются и интерпретируются. Сети подразделяются на четыре категории:

• Клика/Полный график: полностью связанная сеть, в которой все узлы подключены ко всем остальным узлам. Эти сети симметричны в том смысле, что все узлы имеют входящие и исходящие ссылки от всех остальных.
• Гигантский компонент: Один связанный компонент, содержащий большинство узлов сети.
• Слабосвязанный компонент: Набор узлов, в котором существует путь от любого узла к любому другому, игнорируя направленность ребер.
• Сильно связанный компонент: Набор узлов, в которых существует направленный путь от любого узла к любому другому.

Центральность узла

Основная статья: Центральность

Индексы центральности создают рейтинги, которые стремятся идентифицировать наиболее важные узлы в сетевой модели. Разные индексы центральности кодируют разные контексты слова «важность». В центральность посредственности, например, считает узел очень важным, если он образует мосты между многими другими узлами. В центральность собственных значений, напротив, считает узел очень важным, если с ним связаны многие другие очень важные узлы. В литературе предложены сотни таких мер.

Индексы центральности точны только для определения самых центральных узлов. Эти меры редко, если вообще когда-либо, имеют смысл для остальных узлов сети.^{[5] [6]}Кроме того, их указания точны только в рамках предполагаемого контекста важности и имеют тенденцию «ошибаться» в других контекстах.^[7] Например, представьте себе два отдельных сообщества, единственной связью которых является граница между самым младшим членом каждого сообщества. Поскольку любой переход от одного сообщества к другому должен происходить по этой ссылке, два младших члена будут иметь высокую промежуточную центральность. Но, поскольку они младшие (предположительно), у них мало связей с «важными» узлами в своем сообществе, а это означает, что их центральность по собственным значениям будет довольно низкой.

Концепция центральности в контексте статических сетей была расширена на основе эмпирических и теоретических исследований до динамической центральности.^[8] в контексте зависящих от времени и темпоральных сетей.^[9][10][11]

Центральность узлов можно оценить методом k-оболочки. Метод k-shell был успешно применен к Интернету, идентифицируя центральный из различных узлов.^[12] Считается, что этот метод полезен для выявления влиятельных распространителей в сети.^[13]

Влияние узла

Основная статья: Метрика влияния узла

Ограничения мер центральности привели к разработке более общих мер. Два примера: доступность, который использует разнообразие случайных блужданий для измерения доступности остальной части сети с заданного начального узла,^[14]и ожидаемая сила, полученный из ожидаемого значения сила заражения генерируется узлом.^[5]Обе эти меры могут быть осмысленно вычислены только на основе структуры сети.

Сетевые модели

Сетевые модели служат основой для понимания взаимодействий внутри эмпирических сложных сетей. Различный случайный граф модели генерации создают сетевые структуры, которые можно использовать по сравнению с реальными сложными сетями.

Модель случайного графа Эрдеша – Реньи

Этот Модель Эрдеша – Реньи генерируется с N = 4 узлы. Для каждого ребра в полном графе, образованном всеми N узлов, генерируется случайное число и сравнивается с заданной вероятностью. Если случайное число меньше п, на модели образуется кромка.

В Модель Эрдеша – Реньи, названный в честь Пол Эрдёш и Альфред Реньи, используется для генерации случайные графы в котором ребра устанавливаются между узлами с равными вероятностями. Его можно использовать в вероятностный метод чтобы доказать существование графов, удовлетворяющих различным свойствам, или дать строгое определение того, что означает выполнение свойства почти для всех графов.

Чтобы создать модель Эрдеша – Реньи ${\displaystyle G(n,p)}$ необходимо указать два параметра: общее количество узлов п и вероятность п что случайная пара узлов имеет ребро.

Поскольку модель генерируется без смещения к конкретным узлам, распределение степеней является биномиальным: для случайно выбранной вершины ${\displaystyle v}$,

${\displaystyle P(\deg(v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}.}$

В этой модели коэффициент кластеризации равен 0 в качестве. Поведение ${\displaystyle G(n,p)}$ можно разбить на три области.

Субкритический ${\displaystyle np<1}$: Все компоненты простые и очень маленькие, самый большой компонент имеет размер ${\displaystyle |C_{1}|=O(\log n)}$;

Критический ${\displaystyle np=1}$: ${\displaystyle |C_{1}|=O(n^{\frac {2}{3}})}$;

Сверхкритический ${\displaystyle np>1}$:${\displaystyle |C_{1}|\approx yn}$ где ${\displaystyle y=y(np)}$ положительное решение уравнения ${\displaystyle e^{-pny}=1-y}$.

Самый большой связный компонент имеет высокую сложность. Все остальные компоненты простые и маленькие ${\displaystyle |C_{2}|=O(\log n)}$.

Модель конфигурации

Модель конфигурации принимает последовательность степеней^[15][16] или распределение степеней^[17] (который впоследствии используется для генерации последовательности степеней) в качестве входных данных и производит произвольно связанные графы во всех отношениях, кроме последовательности степеней. Это означает, что для данного выбора последовательности степеней граф выбирается равномерно случайным образом из множества всех графов, которые соответствуют этой последовательности степеней. Степень ${\displaystyle k}$ случайно выбранной вершины является независимые и одинаково распределенные случайная величина с целыми значениями. Когда ${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0}$, граф конфигурации содержит гигантский компонент связности, имеющий бесконечный размер.^[16] Остальные компоненты имеют конечные размеры, которые можно количественно оценить с помощью понятия распределения по размерам. Вероятность ${\displaystyle w(n)}$ что случайно выбранный узел подключен к компоненту размера ${\displaystyle n}$ дан кем-то свертки распределения степеней:^[18]

$${\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mathbb {E} [k]}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1,\end{cases}}}$$

где ${\displaystyle u(k)}$ обозначает распределение степеней и ${\displaystyle u_{1}(k)={\frac {(k+1)u(k+1)}{\mathbb {E} [k]}}}$. Гигантский компонент может быть уничтожен случайным удалением критической фракции. ${\displaystyle p_{c}}$ всех краев. Этот процесс называется перколяция в случайных сетях. Когда второй момент распределения степеней конечен, ${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]<\infty }$, эта критическая доля края определяется выражением^[19] ${\displaystyle p_{c}=1-{\frac {\mathbb {E} [k]}{\mathbb {E} [k^{2}]-\mathbb {E} [k]}}}$, а среднее расстояние вершина-вершина ${\displaystyle l}$ в гигантском компоненте логарифмически масштабируется с общим размером сети, ${\displaystyle l=O(\log N)}$.^[17]

В модели направленной конфигурации степень узла задается двумя числами, в градусах ${\displaystyle k_{\text{in}}}$ и диплом ${\displaystyle k_{\text{out}}}$, и, следовательно, распределение степеней двумерно. Ожидаемое количество внутренних и внешних ребер совпадает, так что ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]=\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$. Модель направленной конфигурации содержит гигантский компонент если только^[20]

$${\displaystyle 2\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0.}$$

Обратите внимание, что ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]}$ и ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$ равны и, следовательно, взаимозаменяемы в последнем неравенстве. Вероятность того, что случайно выбранная вершина принадлежит компоненту размера ${\displaystyle n}$ дан кем-то:^[21]

$${\displaystyle h_{\text{in}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{in}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{in}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{in}}={\frac {k_{\text{in}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{in}}]}}\sum \limits _{k_{\text{out}}\geq 0}u(k_{\text{in}}+1,k_{\text{out}}),}$$

для компонентов, и

${\displaystyle h_{\text{out}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{out}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{out}}={\frac {k_{\text{out}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}}\sum \limits _{k_{\text{in}}\geq 0}u(k_{\text{in}},k_{\text{out}}+1),}$

для комплектующих.

Модель маленького мира Уоттса – Строгаца

В Модель Уоттса и Строгаца использует концепцию перепрограммирования для достижения своей структуры. Генератор модели будет перебирать каждое ребро в исходной структуре решетки. Ребро может менять свои соединенные вершины в соответствии с заданной вероятностью перепрограммирования. ${\displaystyle \langle k\rangle =4}$ в этом примере.

В Модель Уоттса и Строгаца представляет собой модель генерации случайных графов, которая создает графики с небольшая собственность.

Исходная структура решетки используется для создания модели Уоттса – Строгаца. Каждый узел в сети изначально связан со своим ${\displaystyle \langle k\rangle }$ ближайшие соседи. Другой параметр задается как вероятность перенаправления. Каждое ребро имеет вероятность ${\displaystyle p}$ что он будет преобразован в граф как случайное ребро. Ожидаемое количество перепрограммированных звеньев в модели составляет ${\displaystyle pE=pN\langle k\rangle /2}$.

Поскольку модель Уоттса – Строгаца начинается с неслучайной решетчатой ​​структуры, она имеет очень высокий коэффициент кластеризации наряду с высокой средней длиной пути. Каждое повторное подключение может создать ярлык между кластерами с высокой степенью связи. По мере увеличения вероятности повторного подключения коэффициент кластеризации уменьшается медленнее, чем средняя длина пути. Фактически, это позволяет значительно уменьшить среднюю длину пути в сети с незначительным уменьшением коэффициента кластеризации. Более высокие значения p приводят к большему количеству перемонтированных ребер, что, по сути, делает модель Уоттса – Строгаца случайной сетью.

Модель предпочтительной привязанности Барабаши – Альберта (BA)

В Модель Барабаши – Альберта - это случайная сетевая модель, используемая для демонстрации предпочтительной привязанности или эффекта «богатый - становишься богатым». В этой модели ребро, скорее всего, присоединится к узлам с более высокими степенями. Сеть начинается с начальной сети из м₀ узлы. м₀ ≥ 2, и степень каждого узла в исходной сети должна быть не менее 1, в противном случае он всегда будет оставаться отключенным от остальной сети.

В модели BA новые узлы добавляются в сеть по одному. Каждый новый узел подключен к ${\displaystyle m}$ существующие узлы с вероятностью, которая пропорциональна количеству связей, которые уже есть у существующих узлов. Формально вероятность п_я что новый узел подключен к узлу я является^[22]

${\displaystyle p_{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}},}$

где k_я степень узла я. Сильно связанные узлы («концентраторы») имеют тенденцию быстро накапливать еще больше ссылок, в то время как узлы с небольшим количеством ссылок вряд ли будут выбраны в качестве места назначения для нового канала. Новые узлы имеют «предпочтение» присоединяться к уже сильно связанным узлам.

Распределение степеней модели BA, которое следует степенному закону. В логарифмической шкале степенная функция представляет собой прямую линию.^[23]

Распределение степеней, полученное на основе модели BA, является безмасштабным, в частности, это степенной закон вида:

${\displaystyle P(k)\sim k^{-3}\,}$

Концентраторы демонстрируют высокую центральность между узлами, что позволяет существовать коротким путям между узлами. В результате модель BA имеет тенденцию к очень короткой средней длине пути. Коэффициент кластеризации этой модели также стремится к 0. В то время как диаметр D многих моделей, включая модель случайного графа Эрдеша Реньи и несколько сетей малых миров, пропорционален log N, модель BA показывает D ~ loglogN (ультрамалый мир).^[24] Обратите внимание, что средняя длина пути зависит от диаметра N.

Модель привязанности, управляемой посредничеством (MDA)

в модель привязанности, управляемой посредничеством (MDA) в котором новый узел идет с ${\displaystyle m}$ ребра случайным образом выбирают существующий связанный узел, а затем соединяются не с этим, а с ${\displaystyle m}$ соседей выбраны тоже случайно. Вероятность ${\displaystyle \Pi (i)}$ что узел ${\displaystyle i}$ существующего выбранного узла

${\displaystyle \Pi (i)={\frac {k_{i}}{N}}{\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}.}$

Фактор ${\displaystyle {\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}}$ является обратной величиной гармонического среднего (IHM) степеней ${\displaystyle k_{i}}$ соседи узла ${\displaystyle i}$. Обширные численные исследования показывают, что для приблизительно ${\displaystyle m>14}$ среднее значение IHM в большом ${\displaystyle N}$ предел становится константой, что означает ${\displaystyle \Pi (i)\propto k_{i}}$. Это означает, что чем выше количество ссылок (степень) у узла, тем выше его шанс получить больше ссылок, поскольку они могут быть достигнуты большим количеством способов через посредников, которые по сути воплощают интуитивную идею механизма обогащения богатых (или правило предпочтительного присоединения модель Барабаши – Альберта). Таким образом, можно увидеть, что сеть MDA следует правилу PA, но замаскировано.^[25]

Однако для ${\displaystyle m=1}$ он описывает, как победитель получает весь механизм, поскольку мы обнаруживаем, что почти ${\displaystyle 99\%}$ всех узлов имеют степень один, а один супербогат по степени. Так как ${\displaystyle m}$ значение увеличивает разрыв между супербогатыми и бедными уменьшается и, как ${\displaystyle m>14}$ мы находим механизм перехода от богатого к сверхбогатому к богатому - к богатому.

Фитнес модель

Другая модель, в которой ключевым ингредиентом является природа вершины, была предложена Калдарелли и др.^[26] Здесь создается связь между двумя вершинами ${\displaystyle i,j}$ с вероятностью, заданной функцией связывания ${\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})}$ из приспособленность вершин, участвующих. Степень вершины i определяется выражением ^[27]

${\displaystyle k(\eta _{i})=N\int _{0}^{\infty }f(\eta _{i},\eta _{j})\rho (\eta _{j})\,d\eta _{j}}$

Если ${\displaystyle k(\eta _{i})}$ является обратимой и возрастающей функцией ${\displaystyle \eta _{i}}$, то распределение вероятностей ${\displaystyle P(k)}$ дан кем-то

${\displaystyle P(k)=\rho (\eta (k))\cdot \eta '(k)}$

В результате, если приспособления ${\displaystyle \eta }$ распределены по степенному закону, то также и степень узла.

Менее интуитивно понятно с быстро убывающим распределением вероятностей, так как${\displaystyle \rho (\eta )=e^{-\eta }}$ вместе с функцией связывания типа

${\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})=\Theta (\eta _{i}+\eta _{j}-Z)}$

с ${\displaystyle Z}$ постоянный и ${\displaystyle \Theta }$ с помощью функции Хевисайда мы также получаем безмасштабные сети.

Такая модель успешно применялась для описания торговли между странами с использованием ВВП как пригодности для различных узлов. ${\displaystyle i,j}$ и связующая функция вида^[28][29]

${\displaystyle {\frac {\delta \eta _{i}\eta _{j}}{1+\delta \eta _{i}\eta _{j}}}.}$

Сетевой анализ

Анализ социальных сетей

Социальная сеть анализ исследует структуру отношений между социальными объектами.^[30] Эти организации часто являются физическими лицами, но также могут быть группы, организации, национальные государства, веб-сайты, научные публикации.

С 1970-х годов эмпирическое исследование сетей играет центральную роль в социальных науках, и многие из них математический и статистический инструменты, используемые для изучения сетей, были впервые разработаны в социология.^[31] Среди многих других приложений анализ социальных сетей использовался для понимания распространение инноваций, новости и слухи. Точно так же он использовался для изучения распространения обоих болезни и поведение, связанное со здоровьем. Он также был применен к изучение рынков, где он был использован для изучения роли доверия в обменные отношения и социальных механизмов установления цен. Точно так же он использовался для изучения вербовки в политические движения и общественные организации. Он также использовался для концептуализации научных разногласий, а также академического престижа. В последнее время сетевой анализ (и его близкий родственник анализ трафика ) широко используется в военной разведке для выявления повстанческих сетей как иерархического, так и без лидера природа.^[32][33] В криминология, он используется для выявления влиятельных участников преступных группировок, движений правонарушителей, соучастников преступлений, прогнозирования преступной деятельности и выработки политики.^[34]

Динамический сетевой анализ

Динамический сетевой анализ исследует изменяющуюся структуру отношений между различными классами сущностей в сложных социотехнических системах, а также отражает социальную стабильность и изменения, такие как появление новых групп, тем и лидеров.^{[8][9][10][11][35]} Динамический сетевой анализ фокусируется на метасетях, состоящих из нескольких типов узлов (объектов) и несколько типов ссылок. Эти сущности могут быть самыми разными.^[8] Примеры включают людей, организации, темы, ресурсы, задачи, события, места и убеждения.

Методы динамических сетей особенно полезны для оценки тенденций и изменений в сетях с течением времени, выявления новых лидеров и изучения совместной эволюции людей и идей.

Анализ биологической сети

В связи с недавним взрывом общедоступных биологических данных с высокой пропускной способностью, анализ молекулярных сетей вызвал значительный интерес. Тип анализа в этом контенте тесно связан с анализом социальных сетей, но часто фокусируется на локальных моделях в сети. Например, сетевые мотивы небольшие подграфы, которые чрезмерно представлены в сети. Мотивы деятельности представляют собой аналогичные избыточно представленные шаблоны в атрибутах узлов и ребер в сети, которые избыточно представлены с учетом сетевой структуры. Анализ биологические сети привел к развитию сетевая медицина, который рассматривает влияние болезней на интерактом.^[36]

Анализ ссылок

Анализ связей - это подмножество сетевого анализа, изучающего связи между объектами. Примером может быть проверка адресов подозреваемых и потерпевших, телефонных номеров, которые они набрали, и финансовых транзакций, в которых они участвовали в течение определенного периода времени, а также семейных отношений между этими субъектами в рамках полицейского расследования. Анализ связей здесь обеспечивает важные взаимосвязи и ассоциации между очень многими объектами разных типов, которые не видны из отдельных частей информации. Компьютерный или полностью автоматический компьютерный анализ связи все чаще используется банки и страхование агентства в мошенничество обнаружение операторами связи при анализе сети электросвязи, медицинским сектором в эпидемиология и фармакология, в правоохранительных органах расследования, от поисковые системы за актуальность рейтинг (и наоборот спамеры за спамдексинг и владельцами бизнеса для поисковая оптимизация ), и везде, где необходимо анализировать отношения между многими объектами.

Надежность сети

Структурная устойчивость сетей^[37] изучается с использованием теория перколяции. Когда критическая часть узлов удаляется, сеть становится фрагментированной на небольшие кластеры. Это явление называется перколяцией.^[38] и представляет собой тип порядка-беспорядка фаза перехода с критические показатели.

Пандемический анализ

В Модель SIR является одним из наиболее известных алгоритмов прогнозирования распространения глобальных пандемий среди инфекционной популяции.

Восприимчив к заражению

${\displaystyle S=\beta \left({\frac {1}{N}}\right)}$

Приведенная выше формула описывает «силу» инфекции для каждой восприимчивой единицы в инфекционной популяции, где β эквивалентна скорости передачи указанного заболевания.

Чтобы отслеживать изменение восприимчивых людей в инфекционной популяции:

${\displaystyle \Delta S=\beta \times S{1 \over N}\,\Delta t}$

Заражены выздоровели

${\displaystyle \Delta I=\mu I\,\Delta t}$

Со временем количество инфицированных колеблется в зависимости от указанной скорости выздоровления, представленной ${\displaystyle \mu }$ но вычитается до одного за средний инфекционный период ${\displaystyle {1 \over \tau }}$, количество инфекционных лиц, ${\displaystyle I}$, и изменение во времени, ${\displaystyle \Delta t}$.

Инфекционный период

Будет ли население преодолено пандемией, что касается модели SIR, зависит от значения ${\displaystyle R_{0}}$ или «средние люди, инфицированные инфицированным человеком».

${\displaystyle R_{0}=\beta \tau ={\beta \over \mu }}$

Анализ веб-ссылок

Несколько веб-поиск рейтинг алгоритмы используют метрики центральности на основе ссылок, включая (в порядке появления) Марчиори с Гиперпоиск, Google с PageRank, Клейнберга Алгоритм HITS, то CheiRank и TrustRank алгоритмы. Анализ ссылок также проводится в области информатики и коммуникаций, чтобы понять и извлечь информацию из структуры коллекций веб-страниц. Например, анализ может касаться взаимосвязи между веб-сайтами политиков или блогами.

PageRank

PageRank работает, случайным образом выбирая «узлы» или веб-сайты, а затем с определенной вероятностью «случайным образом перескакивая» на другие узлы. Случайным образом переходя к этим другим узлам, он помогает PageRank полностью пройти по сети, поскольку некоторые веб-страницы существуют на периферии и их не так легко оценить.

Каждый узел, ${\displaystyle x_{i}}$, имеет рейтинг страницы, определяемый суммой страниц ${\displaystyle j}$ эта ссылка на ${\displaystyle i}$ раз один по исходящим ссылкам или "вне" ${\displaystyle j}$ раз "важность" или PageRank ${\displaystyle j}$.

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k)}}$

Случайные прыжки

Как объяснялось выше, PageRank включает случайные скачки в попытках присвоить PageRank каждому веб-сайту в Интернете. Эти случайные переходы позволяют находить веб-сайты, которые могут не быть найдены при использовании обычных методов поиска, таких как Поиск в ширину и Поиск в глубину.

Усовершенствование вышеупомянутой формулы для определения PageRank включает добавление этих случайных компонентов перехода. Без случайных переходов некоторые страницы получили бы PageRank равный 0, что было бы плохо.

Первый ${\displaystyle \alpha }$, или вероятность того, что произойдет случайный скачок. Контрастность - это «коэффициент затухания», или ${\displaystyle 1-\alpha }$.

${\displaystyle R{(p)}={\alpha \over N}+(1-\alpha )\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k)}}$

Другой взгляд на это:

${\displaystyle R(A)=\sum {R_{B} \over B_{\text{(outlinks)}}}+\cdots +{R_{n} \over n_{\text{(outlinks)}}}}$

Меры центральности

Информацию об относительной важности узлов и ребер в графе можно получить с помощью центральность меры, широко используемые в таких дисциплинах, как социология. Меры централизации важны, когда сетевой анализ должен ответить на такие вопросы, как: «Какие узлы в сети должны быть нацелены, чтобы гарантировать распространение сообщения или информации на все или большинство узлов в сети?» или, наоборот, «Какие узлы следует задействовать, чтобы ограничить распространение болезни?». Формально установленные меры центральности степень центральности, центральность близости, центральность посредственности, центральность собственного вектора, и Кац центральность. Цель сетевого анализа обычно определяет тип используемых мер центральности.^[30]

• Центральность степени узла в сети - это количество связей (вершин), попадающих в узел.
• Центральность близости определяет, насколько «близок» узел к другим узлам в сети, путем измерения суммы кратчайших расстояний (геодезических путей) между этим узлом и всеми другими узлами в сети.
• Центральность посредничества определяет относительную важность узла, измеряя объем трафика, проходящего через этот узел к другим узлам в сети. Это делается путем измерения доли путей, соединяющих все пары узлов и содержащих интересующий узел. Центральность между группами измеряет объем трафика, проходящего через группу узлов.^[39]
• Центральность собственного вектора представляет собой более сложную версию степени центральности, где центральность узла зависит не только от количества ссылок, связанных с узлом, но и от качества этих связей. Этот коэффициент качества определяется собственными векторами матрицы смежности сети.
• Кац центральность узла измеряется путем суммирования геодезических путей между этим узлом и всеми (достижимыми) узлами в сети. Эти пути являются взвешенными, пути, соединяющие узел с его непосредственными соседями, имеют более высокий вес, чем пути, которые соединяются с узлами, находящимися дальше от ближайших соседей.

Распространение контента в сетях

Содержимое в сложная сеть может распространяться двумя основными способами: сохраняющимся спредом и неконсервативным спредом.^[40] При сохранении распространения общий объем контента, поступающего в сложную сеть, остается постоянным по мере прохождения. Модель консервированного распространения лучше всего можно представить в виде кувшина с фиксированным количеством воды, наливаемого в ряд воронок, соединенных трубками. Здесь кувшин представляет собой первоначальный источник, а вода - это распространяемое содержимое. Воронки и соединительные трубки представляют собой узлы и соединения между узлами соответственно. Когда вода переходит из одной воронки в другую, вода мгновенно исчезает из воронки, которая ранее была подвергнута воздействию воды. При несохраняемом распространении количество контента изменяется по мере того, как оно входит и проходит через сложную сеть. Модель несохраняемого спреда лучше всего можно представить в виде непрерывно работающего крана, проходящего через ряд воронок, соединенных трубками. Здесь количество воды из первоисточника бесконечно. Кроме того, любые воронки, подвергшиеся воздействию воды, продолжают воспринимать воду, даже когда она переходит в последовательные воронки. Неконсервативная модель наиболее подходит для объяснения передачи большинства инфекционные заболевания.

Модель SIR

В 1927 году У. О. Кермак и А. Г. Маккендрик создали модель, в которой они считали фиксированную популяцию только с тремя отделами восприимчивыми: ${\displaystyle S(t)}$, зараженный, ${\displaystyle I(t)}$, и восстановил, ${\displaystyle R(t)}$. В данной модели используются отсеки трех классов:

• ${\displaystyle S(t)}$ используется для представления числа людей, еще не инфицированных заболеванием в момент времени t, или тех, кто восприимчив к заболеванию
• ${\displaystyle I(t)}$ обозначает количество людей, которые были инфицированы этим заболеванием и способны распространить болезнь среди лиц из уязвимой категории
• ${\displaystyle R(t)}$ это отделение, используемое для тех людей, которые были инфицированы, а затем вылечились от болезни. Люди из этой категории не могут снова заразиться или передать инфекцию другим.

Ход этой модели можно рассматривать следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}$

Используя фиксированное население, ${\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}$, Кермак и МакКендрик вывели следующие уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-\beta SI\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta SI-\gamma I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I\end{aligned}}}$

При формулировании этих уравнений было сделано несколько предположений: во-первых, человек в популяции должен рассматриваться как имеющий такую ​​же вероятность, как и любой другой человек, заразиться этим заболеванием со скоростью ${\displaystyle \beta }$, который считается уровнем контакта или заражения болезнью. Следовательно, инфицированный человек вступает в контакт и может передать болезнь через ${\displaystyle \beta N}$ другие в единицу времени и доля контактов инфицированного с восприимчивым ${\displaystyle S/N}$. Тогда количество новых инфекций в единицу времени на одно инфекционное заболевание составляет ${\displaystyle \beta N(S/N)}$, что дает процент новых инфекций (или тех, кто выходит из уязвимой категории) как ${\displaystyle \beta N(S/N)I=\beta SI}$ (Брауэр и Кастильо-Чавес, 2001). Применительно ко второму и третьему уравнениям считайте, что популяция, покидающая уязвимый класс, равна числу, попавшему в инфицированный класс. Однако инфекционные вирусы покидают этот класс в единицу времени, чтобы перейти в восстановленный / удаленный класс со скоростью ${\displaystyle \gamma }$ в единицу времени (где ${\displaystyle \gamma }$ представляет собой среднюю скорость восстановления, или ${\displaystyle 1/\gamma }$ средний заразный период). Эти процессы, происходящие одновременно, называются Закон массового действия - широко распространенная идея о том, что скорость контактов между двумя группами населения пропорциональна размеру каждой из заинтересованных групп (Daley & Gani, 2005). Наконец, предполагается, что скорость инфицирования и выздоровления намного выше, чем временной масштаб рождений и смертей, и поэтому в этой модели эти факторы не учитываются.

Подробнее об этой модели можно прочитать на Модель эпидемии страница.

Подход главного уравнения

А главное уравнение может выражать поведение неориентированной растущей сети, где на каждом временном шаге к сети добавляется новый узел, связанный со старым узлом (выбранным случайным образом и без предпочтения). Исходная сеть состоит из двух узлов и двух связей между ними одновременно. ${\displaystyle t=2}$, эта конфигурация необходима только для упрощения дальнейших расчетов, поэтому ${\displaystyle t=n}$ в сети есть ${\displaystyle n}$ узлы и ${\displaystyle n}$ ссылки.

Основное уравнение для этой сети:

${\displaystyle p(k,s,t+1)={\frac {1}{t}}p(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p(k,s,t),}$

где ${\displaystyle p(k,s,t)}$ вероятность того, что узел ${\displaystyle s}$ со степенью ${\displaystyle k}$ вовремя ${\displaystyle t+1}$, и ${\displaystyle s}$ это временной шаг, когда этот узел был добавлен в сеть. Обратите внимание, что есть только два способа для старого узла ${\displaystyle s}$ иметь ${\displaystyle k}$ ссылки на время ${\displaystyle t+1}$:

• Узел ${\displaystyle s}$ иметь степень ${\displaystyle k-1}$ вовремя ${\displaystyle t}$ и будет связан новым узлом с вероятностью ${\displaystyle 1/t}$
• Уже имеет степень ${\displaystyle k}$ вовремя ${\displaystyle t}$ и не будут связаны новым узлом.

После упрощения этой модели распределение степеней имеет вид ${\displaystyle P(k)=2^{-k}.}$^[41]

На основе этой растущей сети разрабатывается модель эпидемии, следуя простому правилу: каждый раз, когда добавляется новый узел и после выбора старого узла для связи, принимается решение: будет ли этот новый узел заражен или нет. Основное уравнение для этой модели эпидемии:

${\displaystyle p_{r}(k,s,t)=r_{t}{\frac {1}{t}}p_{r}(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p_{r}(k,s,t),}$

где ${\displaystyle r_{t}}$ представляет решение заразить (${\displaystyle r_{t}=1}$) или нет (${\displaystyle r_{t}=0}$). Решая это основное уравнение, получается следующее решение: ${\displaystyle {\tilde {P}}_{r}(k)=\left({\frac {r}{2}}\right)^{k}.}$^[42]

Взаимозависимые сети

Основная статья: Взаимозависимые сети

Взаимозависимая сеть - это система связанных сетей, в которой узлы одной или нескольких сетей зависят от узлов в других сетях. Такие зависимости усиливаются развитием современных технологий. Зависимости могут привести к каскадным сбоям между сетями, а относительно небольшой сбой может привести к катастрофическому сбою системы. Блэкауты - это увлекательная демонстрация той важной роли, которую играют зависимости между сетями. Недавнее исследование разработало основу для изучения каскадных отказов во взаимозависимых сетевых системах с использованием теории перколяции.^[43][44] Дополнительное исследование, рассматривающее динамический процесс в сети, направлено на каскадные отказы нагрузки во взаимозависимых сетях.^[45] Взаимозависимые инфраструктуры, которые пространственно встроены, были смоделированы как взаимозависимые решетчатые сети, и их устойчивость была проанализирована.^[46][47]] Модель пространственного мультиплексирования была введена Данцигером и др. ^[48] и был дополнительно проанализирован Vaknin et al.^[49]

Многослойные сети

Основная статья: Многомерная сеть

Многослойные сети это сети с несколькими видами отношений. Попытки смоделировать реальные системы в виде многомерных сетей использовались в различных областях, таких как анализ социальных сетей, экономика, история, городской и международный транспорт, экология, психология, медицина, биология, коммерция, климатология, физика, вычислительная нейробиология, управление операциями. , и финансы.

Оптимизация сети

Сетевые проблемы, связанные с поиском оптимального способа что-либо делать, изучаются под названием комбинаторная оптимизация. Примеры включают сетевой поток, проблема кратчайшего пути, транспортная проблема, проблема перевалки, проблема местоположения, проблема соответствия, проблема назначения, проблема упаковки, проблема маршрутизации, Анализ критического пути и ПЕРТ (Методика оценки и анализа программ).

Смотрите также

• Климат как сложные сети
• Совместная инновационная сеть
• Коммуникативная экология
• Комплексная сеть
• Ядро-периферийные структуры в сетях
• Двухфазная эволюция
• Модель Эрдеша – Реньи
• Глоссарий теории графов
• Теория высших категорий
• Теория иммунных сетей
• Нерегулярная война
• Сетевой анализатор
• Сетевая динамика
• Формирование сети
• Сетевая теория в оценке рисков
• Топология сети
• Сети в экономике труда
• Нелинейная предпочтительная привязка
• Перколяция
• Политический сетевой анализ
• Полители
• Квантовая сложная сеть
• Случайные сети
• Слух распространился в соцсети
• Безмасштабные сети
• Последовательная динамическая система
• Сервисная сеть
• Сети малого мира
• Структурный отсек
• Теория систем

Рекомендации

1. Комитет по сетевым наукам для будущих армейских приложений (2006). Сетевые науки. Национальный исследовательский совет. Дои:10.17226/11516. ISBN  978-0309653886.
2. Денес Кёниг (1990). Теория конечных и бесконечных графов (PDF) (PDF). Birkhäuser Boston. С. 45–421. Дои:10.1007/978-1-4684-8971-2. ISBN  978-1-4684-8971-2.
3. http://psycnet.apa.org/journals/prs/9/4/172/
4. Л. Браунштейн, С.В. Булдырев, Р. Коэн, С. Хавлин, Х. Стэнли (2003). «Оптимальные пути в неупорядоченных сложных сетях». Phys. Rev. Lett. 91 (16): 168701. arXiv:cond-mat / 0305051. Bibcode:2003ПхРвЛ..91п8701Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.91.168701. PMID  14611445. S2CID  5060754.
5. Адвокат, Гленн (март 2015 г.). «Понимание мощности распространения всех узлов в сети». Научные отчеты. 5 (O8665): 8665. arXiv:1405.6707. Bibcode:2015НатСР ... 5Э8665Л. Дои:10.1038 / srep08665. ЧВК  4345333. PMID  25727453.
6. Сикич, Миля; Ланчич, Ален; Антулов-Фантулин, Нино; Штефанчич, Хрвое (октябрь 2013 г.). «Эпидемическая центральность - существует ли недооценка эпидемического воздействия периферийных узлов сети?». Европейский физический журнал B. 86 (10): 440. arXiv:1110.2558. Bibcode:2013EPJB ... 86..440S. Дои:10.1140 / epjb / e2013-31025-5. S2CID  12052238.
7. Боргатти, Стивен П. (2005). «Центральность и сетевой поток». Социальные сети. 27: 55–71. CiteSeerX  10.1.1.387.419. Дои:10.1016 / j.socnet.2004.11.008.
8. Braha, D .; Бар-Ям Ю. (2006). «От центральности к временной славе: динамическое центральное положение в сложных сетях». Сложность. 12 (2): 59–63. arXiv:физика / 0611295. Bibcode:2006Cmplx..12b..59B. Дои:10.1002 / cplx.20156. S2CID  1776280.
9. Hill, S.A .; Браха, Д. (2010). «Динамическая модель зависящих от времени сложных сетей». Физический обзор E. 82 (4): 046105. arXiv:0901.4407. Bibcode:2010PhRvE..82d6105H. Дои:10.1103 / Physreve.82.046105. PMID  21230343. S2CID  3219870.
10. Гросс Т. и Саяма Х. (ред.). 2009 г. Адаптивные сети: теория, модели и приложения. Springer.
11. Холм П. и Сарамяки Дж. 2013. Темпоральные сети. Springer.
12. С. Карми, С. Хэвлин, С. Киркпатрик, Ю. Шавитт, Э. Шир (2007). «Модель топологии Интернет с использованием декомпозиции k-оболочки». PNAS. 104 (27): 11150–4. Дои:10.1073 / pnas.0701175104. ЧВК  1896135. PMID  17586683.
13. М. Кицак, Л. К. Галлос, С. Хэвлин, Ф. Лильерос, Л. Мучник, Х. Э. Стэнли, Х.А. Максе (2010). «Влиятельные распространители в сетях». Природа Физика. 6: 888. Дои:10.1038 / nphys1746.
14. Travençolo, B.A.N .; да Ф. Коста, Л. (2008). «Доступность в сложных сетях». Письма о физике A. 373 (1): 89–95. Bibcode:2008ФЛА..373 ... 89Т. Дои:10.1016 / j.physleta.2008.10.069.
15. Бендер, Эдвард А; Кэнфилд, Э. Родни (май 1978 г.). «Асимптотическое количество помеченных графов с заданной последовательностью степеней». Журнал комбинаторной теории, серия А. 24 (3): 296–307. Дои:10.1016/0097-3165(78)90059-6. ISSN  0097-3165.
16. Моллой, Майкл; Рид, Брюс (март 1995 г.). «Критическая точка для случайных графов с заданной последовательностью степеней». Случайные структуры и алгоритмы. 6 (2–3): 161–180. CiteSeerX  10.1.1.24.6195. Дои:10.1002 / RSA.3240060204. ISSN  1042-9832.
17. Newman, M. E. J .; Strogatz, S.H .; Уоттс, Д. Дж. (24 июля 2001 г.). «Случайные графы с произвольными распределениями степеней и их приложения». Физический обзор E. 64 (2): 026118. arXiv:cond-mat / 0007235. Bibcode:2001PhRvE..64b6118N. Дои:10.1103 / PhysRevE.64.026118. PMID  11497662. S2CID  360112.
18. Кривень, Иван (02.05.2017). «Общее выражение для распределения компонентов по размерам в сетях с бесконечной конфигурацией». Физический обзор E. 95 (5): 052303. arXiv:1703.05413. Bibcode:2017PhRvE..95e2303K. Дои:10.1103 / PhysRevE.95.052303. PMID  28618550. S2CID  8421307.
19. Кривень, Иван (01.01.2018). «Аналитические результаты по модели случайного графа полимеризации». Журнал математической химии. 56 (1): 140–157. Дои:10.1007 / s10910-017-0785-1. ISSN  0259-9791.
20. Кривень, Иван (27.07.2016). «Возникновение гигантской слабой компоненты в ориентированных случайных графах с произвольными степенными распределениями». Физический обзор E. 94 (1): 012315. arXiv:1607.03793. Bibcode:2016PhRvE..94a2315K. Дои:10.1103 / PhysRevE.94.012315. PMID  27575156. S2CID  206251373.
21. Кривень, Иван (02.11.2017). «Конечные компоненты связности в бесконечных направленных и мультиплексных сетях с произвольными степенями распределения». Физический обзор E. 96 (5): 052304. arXiv:1709.04283. Bibcode:2017PhRvE..96e2304K. Дои:10.1103 / PhysRevE.96.052304. PMID  29347790. S2CID  20741516.
22. Р. Альберт; А.-Л. Барабаши (2002). «Статистическая механика сложных сетей» (PDF). Обзоры современной физики. 74 (1): 47–97. arXiv:cond-mat / 0106096. Bibcode:2002РвМП ... 74 ... 47А. CiteSeerX  10.1.1.242.4753. Дои:10.1103 / RevModPhys.74.47. S2CID  60545. Архивировано из оригинал (PDF) на 24.08.2015.
23. Альберт-Ласло Барабаши & Река Альберт (Октябрь 1999 г.). «Появление масштабирования в случайных сетях» (PDF). Наука. 286 (5439): 509–512. arXiv:cond-mat / 9910332. Bibcode:1999Научный ... 286..509Б. Дои:10.1126 / science.286.5439.509. PMID  10521342. S2CID  524106. Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-04-17.
24. Cohen, R .; Хавлин, С. (2003). «Безмасштабные сети - сверхмалые». Phys. Rev. Lett. 90 (5): 058701. arXiv:cond-mat / 0205476. Bibcode:2003PhRvL..90e8701C. Дои:10.1103 / PhysRevLett.90.058701. PMID  12633404. S2CID  10508339.
25. Hassan, M. K .; Ислам, Лиана; Арефинул Хак, Сайед (март 2017 г.). «Распределение степеней, ранговое распределение и настойчивость лидерства в сетях привязанности, основанных на посредничестве». Physica A. 469: 23–30. arXiv:1411.3444. Bibcode:2017PhyA..469 ... 23H. Дои:10.1016 / j.physa.2016.11.001. S2CID  51976352.
26. Caldarelli G., A. Capocci, P. De Los Rios, M.A. Muñoz, Physical Review Letters 89, 258702 (2002)
27. Серведио В.Д.П., Г. Калдарелли, П. Бутта, Physical Review E 70, 056126 (2004)
28. Гарлашелли Д., М. I. Loffredo Physical Review Letters 93, 188701 (2004)
29. Чимини Дж., Т. Сквартини, Д. Гарлашелли и А. Габриелли, Scientific Reports 5, 15758 (2015)
30. Вассерман, Стэнли и Кэтрин Фауст. 1994 г. Анализ социальных сетей: методы и приложения. Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
31. Ньюман, M.E.J. Сети: Введение. Издательство Оксфордского университета. 2010, ISBN  978-0199206650
32. «На пути к сложному сообществу адаптивного интеллекта. Вики и блог». Д. Кэлвин Андрус. cia.gov. Получено 25 августа 2012.
33. «Сетевой анализ террористических сетей». Архивировано из оригинал на 2012-11-23. Получено 2011-12-12.
34. Доктор философии, Мартин Бушар; Доктор философии, Айли Мальм (2 ноября 2016 г.). «Анализ социальных сетей и его вклад в исследования преступности и уголовного правосудия». Дои:10.1093 / oxfordhb / 9780199935383.013.21.
35. Ксантос, Арис, Панте, Исаак, Роша, Янник, Гранджан, Мартин (2016). Визуализация динамики символьных сетей. In Digital Humanities 2016: Jagiellonian University & Pedagogical University, Kraków, pp. 417–419.
36. Barabási, A. L .; Gulbahce, N .; Лоскальцо, Дж. (2011). «Сетевая медицина: сетевой подход к болезням человека». Природа Обзоры Генетика. 12 (1): 56–68. Дои:10.1038 / nrg2918. ЧВК  3140052. PMID  21164525.
37. Р. Коэн; С. Хавлин (2010). Сложные сети: структура, надежность и функции. Издательство Кембриджского университета.
38. А. Бунде; С. Хавлин (1996). Фракталы и неупорядоченные системы. Springer.
39. Puzis, R .; Ягиль, Д .; Elovici, Y .; Браха, Д. (2009). «Совместная атака на анонимность пользователей Интернета» (PDF). Интернет-исследования. 19: 1. CiteSeerX  10.1.1.219.3949. Дои:10.1108/10662240910927821. Архивировано из оригинал (PDF) на 2013-12-07. Получено 2015-02-08.
40. Ньюман, М., Барабаши, А.-Л., Уоттс, Д.Дж. [ред.] (2006) Структура и динамика сетей. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
41. Дороговцев С Н; Мендес, Дж. Ф. Ф (2003). Эволюция сетей: от биологических сетей к Интернету и WWW. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Oxford University Press, Inc. ISBN  978-0198515906.
42. Cotacallapa, M; Хасе, М О (2016). «Эпидемии в сетях: подход главного уравнения». Журнал физики А. 49 (6): 065001. arXiv:1604.01049. Bibcode:2016JPhA ... 49f5001C. Дои:10.1088/1751-8113/49/6/065001. S2CID  119206200.
43. С. В. Булдырев; Р. Паршани; Г. Пол; Х. Э. Стэнли; С. Хавлин (2010). «Катастрофический каскад отказов во взаимозависимых сетях». Природа. 464 (7291): 1025–28. arXiv:0907.1182. Bibcode:2010Натура.464.1025Б. Дои:10.1038 / природа08932. PMID  20393559. S2CID  1836955.
44. Гао, Цзяньси; Булдырев, Сергей В .; Хавлин, Шломо; Стэнли, Х. Юджин (2011). «Устойчивость сети сетей». Phys. Rev. Lett. 107 (19): 195701. arXiv:1010.5829. Bibcode:2011ПхРвЛ.107с5701Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.107.195701. PMID  22181627. S2CID  2464351.
45. Браммит, Чарльз; Д'Суза, Раиса; Лейхт, Элизабет (2012). «Подавление каскадов нагрузки во взаимозависимых сетях». Труды Национальной академии наук. 109 (12): E680 – E689. Дои:10.1073 / pnas.1110586109. ЧВК  3311366. PMID  22355144.
46. Ли, Вэй; Башан, Амир; Булдырев, Сергей В .; Стэнли, Х. Юджин; Хавлин, Шломо (2012). «Каскадные отказы во взаимозависимых решетчатых сетях: критическая роль длины связей зависимости». Письма с физическими проверками. 108 (22): 228702. Дои:10.1103 / PhysRevLett.108.228702. PMID  23003664. S2CID  5233674.
47. Башан, Амир; Березин, Йехиель; Булдырев, Сергей В .; Хавлин, Шломо (2013). «Крайняя уязвимость взаимозависимых пространственно встроенных сетей». Природа Физика. 9 (10): 667–672. arXiv:1206.2062. Дои:10.1038 / nphys2727. S2CID  12331944.
48. Данцигер, Майкл М .; Шехтман, Луи М .; Березин, Йехиель; Хавлин, Шломо (2016). «Влияние пространственности на мультиплексные сети». EPL. 115 (3): 36002. arXiv:1505.01688. Дои:10.1209/0295-5075/115/36002.
49. Вакнин, Дана; Данцигер, Майкл М; Хавлин, Шломо (2017). «Распространение локализованных атак в пространственных мультиплексных сетях». Новый журнал физики. 19 (7): 073037. Дои:10.1088 / 1367-2630 / aa7b09. S2CID  9121930.

дальнейшее чтение

• Первый курс сетевой науки, Ф. Менцер, С. Фортунато, К.А. Дэвис. (Издательство Кембриджского университета, 2020). ISBN  9781108471138. Сайт GitHub с учебными пособиями, наборами данных и другими ресурсами
• «Связано: сила шести градусов», https://web.archive.org/web/20111006191031/http://ivl.slis.indiana.edu/km/movies/2008-talas-connected.mov
• Cohen, R .; Эрез, К. (2000). «Устойчивость Интернета к случайным сбоям». Phys. Rev. Lett. 85 (21): 4626–4628. arXiv:cond-mat / 0007048. Bibcode:2000ПхРвЛ..85.4626С. CiteSeerX  10.1.1.242.6797. Дои:10.1103 / Physrevlett.85.4626. PMID  11082612. S2CID  15372152.
• Пу, Цунь-Лай; Вен-; Пей, Цзян; Майклсон, Эндрю (2012). «Анализ устойчивости управляемости сети» (PDF). Physica A. 391 (18): 4420–4425. Bibcode:2012PhyA..391.4420P. Дои:10.1016 / j.physa.2012.04.019. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-10-13. Получено 2013-09-18.
• «Профиль лидера: растущая область сетевых наук, военный инженер недавно имел возможность поговорить с Фредериком И. Моксли, доктором философии», https://web.archive.org/web/20190215025457/http://them militaryengineer.com/index.php/item/160-leader-profile-the-burgeoning-field-of-network-science
• С.Н. Дороговцев, Ю.Ф.Ф. Мендес, Эволюция сетей: от биологических сетей к Интернету и WWW, Oxford University Press, 2003 г., ISBN  0-19-851590-1
• Связано: Новая наука о сетях, А.-Л. Барабаши (издательство Perseus Publishing, Кембридж)
• 'Безмасштабные сети, Дж. Калдарелли (издательство Oxford University Press, Оксфорд)
• Сетевые науки, Комитет по сетевым наукам для будущих армейских приложений, Национальный исследовательский совет. 2005. The National Academies Press (2005).ISBN  0-309-10026-7
• Бюллетень сетевой науки, USMA (2007) ISBN  978-1-934808-00-9
• Структура и динамика сетей Марк Ньюман, Альберт-Ласло Барабаши и Дункан Дж. Уоттс (The Princeton Press, 2006) ISBN  0-691-11357-2
• Динамические процессы в сложных сетях, Ален Барра, Марк Бартелеми, Алессандро Веспиньяни (Cambridge University Press, 2008) ISBN  978-0-521-87950-7
• Сетевые науки: теория и приложения, Тед Дж. Льюис (Wiley, 11 марта 2009 г.) ISBN  0-470-33188-7
• Nexus: маленькие миры и новаторская теория сетей, Марк Бьюкенен (W. W. Norton & Company, июнь 2003 г.) ISBN  0-393-32442-7
• Шесть степеней: наука соединенного века, Дункан Дж. Уоттс (W. W. Norton & Company, 17 февраля 2004 г.) ISBN  0-393-32542-3
• Кицак, М .; Галлос, Л. К .; Havlin, S .; Liljeros, F .; Мучник, Л .; Stanley, H.E .; Максе, Х.А. (2010). «Влиятельные распространители в сетях». Природа Физика. 6 (11): 888–893. arXiv:1001.5285. Bibcode:2010НатФ ... 6..888K. CiteSeerX  10.1.1.366.2543. Дои:10.1038 / nphys1746. S2CID  1294608.