Многомерная сеть - Multidimensional network

В теория сети, многомерные сети, особый вид многослойная сеть, представляют собой сети с несколькими видами отношений.^{[1][2][3][4][5][6]} Все более изощренные попытки смоделировать реальные системы как многомерные сети дали ценные сведения в областях анализ социальных сетей,^{[2][3][7][8][9][10]} экономика, городская и международная транспорт,^[11][12][13] экология,^{[14][15][16][17]} психология,^[18][19] медицина, биология,^[20] коммерция, климатология, физика,^[21][22] вычислительная нейробиология,^{[23][24][25][26]} управление операциями, инфраструктуры^[27] и финансы.

Терминология

Быстрое освоение сложные сети в последние годы преследуется отсутствием стандартизированных соглашений об именах, поскольку различные группы используют перекрывающиеся и противоречивые^[28][29] терминология для описания конкретных сетевых конфигураций (например, мультиплексная, многоуровневая, многоуровневая, многомерная, многосвязная, взаимосвязанная). Формально многомерные сети обозначаются ребрами. мультиграфы.^[30] Термин «полностью многомерный» также использовался для обозначения многосторонний размеченный ребрами мультиграф.^[31] Многомерные сети также недавно были переосмыслены как конкретные примеры многослойных сетей.^[4][5][32] В этом случае слоев столько, сколько измерений, а связи между узлами в каждом слое - это просто все связи для данного измерения.

Определение

Невзвешенные многослойные сети

В элементарной теории сетей сеть представлена ​​графом ${\displaystyle G=(V,E)}$ в котором ${\displaystyle V}$ это набор узлы и ${\displaystyle E}$ то ссылки между узлами, обычно представленные как кортеж узлов ${\displaystyle u,v\in V}$. Хотя эта базовая формализация полезна для анализа многих систем, сети реального мира часто добавляют сложности в виде нескольких типов отношений между элементами системы. Ранняя формализация этой идеи произошла благодаря ее применению в области анализа социальных сетей (см., Например,^[33] и статьи о реляционных алгебрах в социальных сетях), в которых множественные формы социальных связей между людьми были представлены множеством типов связей.^[34]

Чтобы учесть наличие более одного типа связи, многомерная сеть представлена ​​тройным ${\displaystyle G=(V,E,D)}$, куда ${\displaystyle D}$ представляет собой набор измерений (или слоев), каждый член которого представляет собой отдельный тип ссылки, и ${\displaystyle E}$ состоит из троек ${\displaystyle (u,v,d)}$ с ${\displaystyle u,v\in V}$ и ${\displaystyle d\in D}$.^[5]

Обратите внимание, что как и во всех ориентированные графы, ссылки ${\displaystyle (u,v,d)}$ и ${\displaystyle (v,u,d)}$ различны.

По соглашению, количество связей между двумя узлами в данном измерении равно 0 или 1 в многомерной сети. Однако общее количество связей между двумя узлами по всем измерениям меньше или равно ${\displaystyle |D|}$.

Взвешенные многослойные сети

В случае взвешенная сеть, этот триплет разлагается до четверки ${\displaystyle e=(u,v,d,w)}$, куда ${\displaystyle w}$ вес на связи между ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ в измерении ${\displaystyle d}$.

Мультиплексная сеть европейских аэропортов. Каждая авиакомпания обозначает отдельный слой. Визуализация сделана с помощью программное обеспечение muxViz

Кроме того, как это часто бывает при анализе социальных сетей, веса ссылок могут принимать положительные или отрицательные значения. Такие подписанные сети могут лучше отражать такие отношения, как дружба и вражду в социальных сетях.^[31] В качестве альтернативы, знаки ссылки могут быть изображены как сами размеры,^[35] например ${\displaystyle G=(V,E,D)}$ куда ${\displaystyle D=\{-1,0,1\}}$ и ${\displaystyle E=\{(u,v,d);u,v\in V,d\in D\}}$ Этот подход имеет особое значение при рассмотрении невзвешенных сетей.

Эта концепция размерности может быть расширена, если атрибуты в нескольких измерениях нуждаются в спецификации. В этом случае ссылки п- пары ${\displaystyle e=(u,v,d_{1}\dots d_{n-2})}$. Такая расширенная формулировка, в которой связи могут существовать в нескольких измерениях, встречается нечасто, но использовалась при изучении многомерных изменяющиеся во времени сети.^[36]

В Всемирный Экономический Форум карта глобальные риски и глобальные тенденции, моделируемые как взаимозависимая сеть (также известная как сеть сетей). Визуализация сделана с помощью [http://muxviz.net/ программное обеспечение muxViz

Общая формулировка в терминах тензоров

В то время как у одномерных сетей есть двумерные матрицы смежности размера ${\displaystyle V\times V}$, в многомерной сети с ${\displaystyle D}$ размеров, матрица смежности становится многослойным тензором смежности, четырехмерной матрицей размера ${\displaystyle (V\times D)\times (V\times D)}$.^[2] Используя индексное обозначение, матрицы смежности могут быть обозначены ${\displaystyle A_{j}^{i}}$, для кодирования соединений между узлами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$, а многослойные тензоры смежности обозначены ${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }}$, для кодирования соединений между узлами ${\displaystyle i}$ в слое ${\displaystyle \alpha }$ и узел ${\displaystyle j}$ в слое ${\displaystyle \beta }$. Как и в случае с одномерными матрицами, эта структура легко адаптирует направленные ссылки, ссылки со знаком и веса.

В случае мультиплексные сети, которые представляют собой особые типы многослойных сетей, в которых узлы не могут быть взаимосвязаны с другими узлами в других слоях, трехмерная матрица размера ${\displaystyle (V\times V)\times D}$ с записями ${\displaystyle A_{ij}^{\alpha }}$ достаточно, чтобы представить структуру системы^[7][37] путем кодирования соединений между узлами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ в слое ${\displaystyle \alpha }$.

Мультиплексная социальная сеть саги «Звездные войны». Каждый слой обозначает отдельный эпизод, и два узла связаны друг с другом, если соответствующие персонажи действовали вместе в одной или нескольких сценах. Визуализация сделана с программное обеспечение muxViz

Определения многомерной сети

Многослойные соседи

В многомерной сети соседи некоторого узла ${\displaystyle v}$ все узлы подключены к ${\displaystyle v}$ по размеру.

Многослойная длина пути

А дорожка между двумя узлами в многомерной сети можно представить вектором р ${\displaystyle =(r_{1},\dots r_{|D|})}$ в которой ${\displaystyle i}$й вход в р количество ссылок, пройденных в ${\displaystyle i}$ое измерение ${\displaystyle G}$.^[38] Как и в случае степени перекрытия, сумму этих элементов можно принять как грубую меру длины пути между двумя узлами.

Сеть слоев

Наличие нескольких слоев (или размеров) позволяет ввести новую концепцию сеть слоев,^[2] своеобразие многослойных сетей. Фактически, уровни могут быть связаны между собой таким образом, что их структура может быть описана сетью, как показано на рисунке.

Сеть слоев в многослойных системах

Сеть слоев обычно взвешивается (и может быть направленной), хотя, как правило, веса зависят от интересующего приложения. Простой подход состоит в том, чтобы для каждой пары слоев суммировать все веса в соединениях между их узлами, чтобы получить веса ребер, которые можно закодировать в матрицу ${\displaystyle q_{\alpha \beta }}$. Тензор смежности ранга 2, представляющий нижележащую сеть слоев в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{L\times L}}$ дан кем-то

${\displaystyle \Psi _{\delta }^{\gamma }=\sum \limits _{\alpha ,\beta =1}^{L}q_{\alpha \beta }E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )}$

куда ${\displaystyle E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )}$ - каноническая матрица, все компоненты которой равны нулю, за исключением записи, соответствующей строке ${\displaystyle \alpha }$ и столбец ${\displaystyle \beta }$, что равно единице. Используя тензорную запись, можно получить (взвешенную) сеть слоев из тензора многослойной смежности как ${\displaystyle \Psi _{\delta }^{\gamma }=M_{j\delta }^{i\gamma }U_{i}^{j}}$.^[2]

Меры центральности

Степень

В невзаимосвязанной многомерной сети, где отсутствуют межуровневые связи, степень узла представляется вектором длины ${\displaystyle |D|:\mathbf {k} =(k_{i}^{1},\dots k_{i}^{|D|})}$. Здесь ${\displaystyle |D|}$ альтернативный способ обозначения количества слоев ${\displaystyle L}$ в многослойных сетях. Однако для некоторых вычислений может быть более полезным просто суммировать количество связей, смежных с узлом, по всем измерениям.^[2][39] Это степень перекрытия:^[3] ${\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{|D|}k_{i}^{\alpha }}$. Как и в случае с одномерными сетями, аналогичным образом можно провести различие между входящими и исходящими ссылками. Если межуровневые ссылки присутствуют, приведенное выше определение должно быть адаптировано для их учета, а многослойная степень дан кем-то

${\displaystyle k^{i}=M_{j\beta }^{i\alpha }U_{\alpha }^{\beta }u^{j}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{L}\sum _{j=1}^{N}M_{j\beta }^{i\alpha }}$

где тензоры ${\displaystyle U_{\alpha }^{\beta }}$ и ${\displaystyle u^{j}}$ все компоненты равны 1. Неоднородность количества соединений узла на разных уровнях может быть учтена с помощью коэффициента участия.^[3]

Универсальность как многослойная центральность

При распространении на взаимосвязанные многослойные сети, то есть системы, в которых узлы связаны между собой по уровням, концепция централизации лучше понимается с точки зрения универсальности.^[9] Узлы, которые не являются центральными на каждом уровне, могут быть наиболее важными для многоуровневых систем в определенных сценариях. Например, это тот случай, когда два уровня кодируют разные сети только с одним общим узлом: очень вероятно, что такой узел будет иметь наивысший балл центральности, поскольку он отвечает за поток информации между уровнями.

Универсальность собственных векторов

Что касается одномерных сетей, универсальность собственных векторов может быть определена как решение проблемы собственных значений, задаваемой формулой ${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }\Theta _{i\alpha }=\lambda _{1}\Theta _{j\beta }}$, куда Соглашение о суммировании Эйнштейна используется для простоты. Здесь, ${\displaystyle \Theta _{j\beta }=\lambda _{1}^{-1}M_{j\beta }^{i\alpha }\Theta _{i\alpha }}$ дает многослойное обобщение центральности собственного вектора Бонацича на узел на слой. Общая универсальность собственного вектора просто получается суммированием оценок по слоям как ${\displaystyle \theta _{i}=\Theta _{i\alpha }u^{\alpha }}$.^[2][9]

Кац универсальность

Что касается его одномерный аналог, универсальность Каца получается как решение ${\displaystyle \Phi _{j\beta }=[(\delta -aM)^{-1}]_{j\beta }^{i\alpha }U_{i\alpha }}$ тензорного уравнения ${\displaystyle \Phi _{j\beta }=aM_{j\beta }^{i\alpha }\Phi _{i\alpha }+bu_{j\beta }}$, куда ${\displaystyle \delta _{j\beta }^{i\alpha }=\delta _{j}^{i}\delta _{\beta }^{\alpha }}$, ${\displaystyle a}$ - константа, меньшая наибольшего собственного значения и ${\displaystyle b}$ - еще одна константа, обычно равная 1. Общая универсальность Каца просто получается путем суммирования оценок по уровням как ${\displaystyle \phi _{i}=\Phi _{i\alpha }u^{\alpha }}$.^[9]

HITS универсальность

Для одномерных сетей Алгоритм HITS был первоначально представлен Джон Кляйнберг оценивать веб-страницы. Основное предположение алгоритма состоит в том, что соответствующие страницы, названные властями, указываются специальными веб-страницами, названными концентраторами. Этот механизм можно математически описать двумя связанными уравнениями, которые сводятся к двум задачам на собственные значения. Когда сеть неориентирована, авторитетность и центральность хаба эквивалентны центральности собственного вектора. Эти свойства сохраняются естественным расширением уравнений, предложенных Клейнбергом, на случай взаимосвязанных многослойных сетей, задаваемых формулой${\displaystyle (MM^{t})_{j\beta }^{i\alpha }\Gamma _{i\alpha }=\lambda _{1}\Gamma _{j\beta }}$ и ${\displaystyle (M^{t}M)_{j\beta }^{i\alpha }\Upsilon _{i\alpha }=\lambda _{1}\Upsilon _{j\beta }}$, куда ${\displaystyle t}$ указывает оператор транспонирования, ${\displaystyle \Gamma _{i\alpha }}$ и ${\displaystyle \Upsilon _{i\alpha }}$ указывают на центральность центра и органа власти соответственно. За счет сокращения тензоров концентратора и авторитета можно получить общую универсальность как ${\displaystyle \gamma _{i}=\Gamma _{i\alpha }u^{\alpha }}$ и ${\displaystyle \upsilon _{i}=\Upsilon _{i\alpha }u^{\alpha }}$, соответственно.^[9]

Универсальность PageRank

PageRank, более известный как Алгоритм поиска Google это еще одна мера центральности в сложных сетях, первоначально введенная для ранжирования веб-страниц. Его распространение на случай взаимосвязанных многослойных сетей можно получить следующим образом.

Прежде всего, стоит отметить, что PageRank можно рассматривать как стационарное решение специального Марковский процесс в верхней части сети. Случайные пешеходы исследовать сеть по специальному матрица перехода и их динамика определяется случайным блужданием главное уравнение. Нетрудно показать, что решение этого уравнения эквивалентно старшему собственному вектору матрицы перехода.

Случайные блуждания были определены также в случае взаимосвязанных многослойных сетей.^[13] и мультиграфы с краями (также известные как мультиплексные сети).^[40] Для взаимосвязанных многослойных сетей тензор переходов, управляющий динамикой случайных блуждающих внутри и между слоями, определяется выражением ${\displaystyle R_{j\beta }^{i\alpha }=rT_{j\beta }^{i\alpha }+{\frac {(1-r)}{NL}}u_{j\beta }^{i\alpha },}$, куда ${\displaystyle r}$ - константа, обычно равная 0,85, ${\displaystyle N}$ количество узлов и ${\displaystyle L}$ количество слоев или размеров. Здесь, ${\displaystyle R_{j\beta }^{i\alpha }}$ можно назвать Тензор Google и ${\displaystyle u_{j\beta }^{i\alpha }}$ - тензор ранга 4, все компоненты которого равны 1.

Как и его одномерный аналог, универсальность PageRank состоит из двух составляющих: один кодирует классическое случайное блуждание со скоростью ${\displaystyle r}$ и одно кодирование телепортации между узлами и слоями со скоростью ${\displaystyle 1-r}$.

Если мы укажем ${\displaystyle \Omega _{i\alpha }}$ то собственный тензор тензора Google ${\displaystyle R_{j\beta }^{i\alpha }}$, обозначающий установившуюся вероятность найти ходока в узле ${\displaystyle i}$ и слой ${\displaystyle \alpha }$, многослойный PageRank получается путем суммирования по слоям собственного тензора: ${\displaystyle \omega _{i}=\Omega _{i\alpha }u^{\alpha }}$^[9]

Коэффициенты триадного замыкания и кластеризации

Дальнейшая информация: Триадическое закрытие

Как и во многих других сетевых статистических данных, значение коэффициент кластеризации становится неоднозначным в многомерных сетях из-за того, что тройки могут быть замкнуты в других измерениях, чем они возникли.^[3][41][42] Было предпринято несколько попыток определить локальные коэффициенты кластеризации, но эти попытки подчеркнули тот факт, что концепция должна быть принципиально иной в более высоких измерениях: некоторые группы основывали свою работу на нестандартных определениях,^[42] в то время как другие экспериментировали с различными определениями случайных блужданий и 3-циклов в многомерных сетях.^[3][41]

Открытие сообщества

Хотя кросс-размерные структуры изучались ранее,^[43][44] они не могут обнаружить более тонкие ассоциации, обнаруживаемые в некоторых сетях. Несколько иной подход к определению «сообщества» в случае многомерных сетей позволяет надежно идентифицировать сообщества без требования, чтобы узлы находились в прямом контакте друг с другом.^{[2][7][8][45]}Например, два человека, которые никогда не общаются напрямую, но по-прежнему просматривают многие из одних и тех же веб-сайтов, будут жизнеспособными кандидатами для такого рода алгоритмов.

Максимизация модульности

Обобщение известного максимизация модульности Метод исследования сообщества был первоначально предложен Mucha et al.^[7] Этот метод множественного разрешения предполагает трехмерное тензорное представление сетевого соединения внутри слоев, как для мультиграфов с краями, и трехмерное тензорное представление сетевого соединения между слоями. Зависит от параметра разрешения ${\displaystyle \gamma }$ и вес ${\displaystyle \omega }$ межслоевых соединений. В более компактных обозначениях, использующих тензорные обозначения, модульность может быть записана как ${\displaystyle Q\propto S_{i\alpha }^{a}B_{j\beta }^{i\alpha }S_{a}^{j\beta }}$, куда ${\displaystyle B_{j\beta }^{i\alpha }=M_{j\beta }^{i\alpha }-P_{j\beta }^{i\alpha }}$, ${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }}$ - многослойный тензор смежности, ${\displaystyle P_{j\beta }^{i\alpha }}$ - тензор, кодирующий нулевую модель, и значение компонентов ${\displaystyle S_{a}^{i\alpha }}$ определяется как 1, когда узел ${\displaystyle i}$ в слое ${\displaystyle \alpha }$ принадлежит к определенному сообществу, помеченному индексом ${\displaystyle a}$и 0, если это не так.^[2]

Тензорное разложение

Неотрицательная матричная факторизация было предложено извлечь структуру активности сообщества временных сетей.^[46] Многослойная сеть представлена ​​трехмерным тензором ${\displaystyle T_{ij}^{\tau }}$, как мультиграф с разноцветными краями, где порядок слоев кодирует стрелку времени. Таким образом, тензорная факторизация с помощью разложения Крускала применяется к ${\displaystyle T_{ij}^{\tau }}$ чтобы назначить каждый узел сообществу во времени.

Статистические выводы

Методы, основанные на статистических выводах, обобщающие существующие подходы введены для одномерных сетей. Стохастическая блочная модель является наиболее часто используемой генеративной моделью, соответствующим образом обобщенной на случай многослойных сетей.^[47][48]

Что касается одномерных сетей, принципиальные методы вроде минимальная длина описания может использоваться для выбора модели в методах обнаружения сообществ на основе информационного потока.^[8]

Структурная сводимость

Учитывая более высокую сложность многослойных сетей по сравнению с одномерными сетями, активная область исследований посвящена упрощению структуры таких систем за счет использования некоторого вида уменьшения размерности.^[20][49]

Популярный метод основан на расчете квантовая расходимость Дженсена-Шеннона между всеми парами слоев, который затем используется для метрические свойства построить матрицу расстояний и иерархически кластер слои. Слои последовательно агрегируются в соответствии с результирующим иерархическим деревом, и процедура агрегации останавливается, когда целевая функция, на основе энтропия сети, получает глобальный максимум. Этот жадный подход необходим, потому что основная проблема потребовала бы проверки всех возможных групп слоев любого размера, что потребовало бы огромного количества возможных комбинаций (которые задаются Номер звонка и суперэкспоненциально масштабируется с количеством единиц). Тем не менее, для многослойных систем с небольшим количеством слоев было показано, что метод работает оптимально в большинстве случаев.^[20]

Другие дескрипторы многоуровневой сети

Степенные корреляции

Вопрос о степени корреляции в одномерных сетях довольно прост: имеют ли сети одинаковой степени тенденцию соединяться друг с другом? В многомерных сетях значение этого вопроса становится менее ясным. Когда мы говорим о степени узла, мы имеем в виду его степень в одном измерении или свернутой по всем параметрам? Когда мы пытаемся проверить связь между узлами, сравниваем ли мы одни и те же узлы в измерениях, разные узлы в измерениях или их комбинацию?^[5] Каковы последствия вариаций каждой из этих статистических данных для других свойств сети? В одном исследовании было обнаружено, что ассортативность снижает надежность дуплексной сети.^[50]

Доминирование пути

Учитывая два многомерных пути, р и sмы говорим, что р доминирует s если и только если: ${\displaystyle \forall d\in \langle 1,|D|\rangle ,r_{l}\leq s_{l}}$ и ${\displaystyle \exists i}$ такой, что ${\displaystyle r_{l}<s_{l}}$.^[38]

Обнаружение кратчайшего пути

Помимо другой сетевой статистики, многие меры центральности полагаются на способность оценивать кратчайшие пути от узла к узлу. Расширение этого анализа на многомерную сеть требует включения дополнительных соединений между узлами в алгоритмы, используемые в настоящее время (например, Дейкстры ). Текущие подходы включают в себя свертывание многоканальных соединений между узлами на этапе предварительной обработки перед выполнением вариаций поиска в сети в ширину.^[28]

Многомерное расстояние

Один из способов оценить расстояние между двумя узлами в многомерной сети - это сравнить все многомерные пути между ними и выбрать подмножество, которое мы определяем как доминирование кратчайшего пути: let ${\displaystyle MP(u,v)}$ быть набором всех путей между ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$. Тогда расстояние между ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ это набор путей ${\displaystyle P\subseteq MP}$ такой, что ${\displaystyle \forall p\in P,\nexists p'\in MP}$ такой, что ${\displaystyle p'}$ доминирует ${\displaystyle p}$. Поэтому длина элементов в наборе кратчайших путей между двумя узлами определяется как многомерное расстояние.^[38]

Актуальность измерения

В многомерной сети ${\displaystyle G=(V,E,D)}$, релевантность данного параметра (или набора параметров) ${\displaystyle D'}$ для одного узла можно оценить соотношением: ${\displaystyle {\frac {{\text{Neighbors}}(v,D')}{{\text{Neighbors}}(v,D)}}}$.^[39]

Связь измерений

В многомерной сети, в которой разные измерения связи имеют разные реальные значения, представляет интерес статистика, характеризующая распределение ссылок на различные классы. Таким образом, полезно рассмотреть две метрики, которые оценивают это: возможность подключения измерения и подключение измерения исключительно на границе. Первое - это просто отношение общего количества ссылок в данном измерении к общему количеству ссылок в каждом измерении: ${\displaystyle {\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}{|E|}}}$. Последний оценивает для данного измерения количество пар узлов, соединенных только ссылкой в ​​этом измерении: ${\displaystyle {\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\wedge \forall j\in D,j\neq d:(u,v,j)\notin E\}|}{|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}}}$.^[39]

Обнаружение пакетов

Взрывчатость это хорошо известное явление во многих реальных сетях, например электронная почта или другие сети человеческого общения. Дополнительные измерения коммуникации обеспечивают более точное представление реальности и могут подчеркивать эти модели или уменьшать их. Следовательно, крайне важно, чтобы наши методы обнаружения скачкообразного поведения в сетях учитывали многомерные сети.^[51]

Процессы диффузии в многослойных сетях

Иллюстрация случайного блуждания на вершине специальной многослойной системы, т.е. мультиплексной сети

Диффузионные процессы широко используются в физика для изучения физических систем, а также в других дисциплинах, таких как социальные науки, нейробиология, городской и международный транспорт или финансы. В последнее время простые и более сложные диффузионные процессы были обобщены на многослойные сети.^[22][52] Одним из результатов, общих для многих исследований, является то, что распространение в мультиплексных сетях, особом типе многослойной системы, демонстрирует два режима: 1) вес межуровневых каналов, соединяющих слои друг с другом, недостаточно высок, и мультиплексная система ведет себя как две (или более) несвязанные сети; 2) вес межуровневых связей достаточно высок, чтобы уровни были связаны друг с другом, вызывая неожиданные физические явления.^[22] Было показано, что между этими двумя режимами существует резкий переход.^[53]

Фактически, все сетевые дескрипторы, зависящие от некоторого диффузионного процесса, от мер центральности до обнаружения сообщества, подвержены влиянию межуровневой связи. Например, в случае обнаружения сообщества низкая связь (где информация от каждого уровня в отдельности более актуальна, чем общая структура) способствует кластерам внутри слоев, тогда как высокая степень связи (когда информация со всех уровней одновременно более актуальна, чем каждый уровень в отдельности ) способствует межслойным кластерам.^[7][8]

Процесс диффузионных реакций в многослойной системе изучался Lazaridis et al.^[54] Установлено, что для процесса ${\displaystyle A+B\rightarrow 0}$ где A и B изначально находятся в разных слоях, затем они рассеиваются случайным образом, а когда встречаются, оба исчезают. Было обнаружено, что в этой модели из-за реакции возникает своего рода отталкивание между A и B, которое задерживает их смешивание и, следовательно, их реакцию.

Случайные прогулки

Что касается одномерных сетей, можно определять случайные блуждания на вершине многослойных систем. Однако, учитывая лежащую в основе многослойную структуру, случайные бродяги не ограничены перемещаться от одного узла к другому в пределах одного и того же уровня (Прыгать), но также могут перемещаться по слоям (выключатель).^[13]

Случайные блуждания можно использовать для исследования многослойной системы с конечной целью разгадать ее. мезомасштабная организация, т.е. разделить его на сообщества,^[7][8] и недавно были использованы для лучшего понимания возможности навигации в многоуровневых сетях и их устойчивости к случайным сбоям,^[13] а также для эффективного изучения топологий этого типа.^[55]

В случае взаимосвязанных многослойных систем вероятность перехода от узла ${\displaystyle i}$ в слое ${\displaystyle \alpha }$ узел ${\displaystyle j}$ в слое ${\displaystyle \beta }$ можно закодировать в тензор переходов ранга 4 ${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$ а блуждание в дискретном времени можно описать основным уравнением

${\displaystyle p_{j\beta }(t+1)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}T_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(t)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}(T^{t})_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(0)}$

куда ${\displaystyle p_{i\alpha }(t)}$ указывает вероятность нахождения пешехода в узле ${\displaystyle i}$ в слое ${\displaystyle \alpha }$ вовремя ${\displaystyle t}$.^[2][13]

Есть много разных типов прогулок, которые можно закодировать в тензор переходов. ${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$в зависимости от того, как ходячие могут прыгать и переключаться. Например, ходунок может либо прыгать, либо переключаться за один временной шаг, не различая межуровневые и внутриуровневые связи (классическое случайное блуждание), или он может выбрать либо остаться в текущем слое и перейти, либо переключить слой, а затем перейти к другому узлу за тот же временной шаг (физическое случайное блуждание). Более сложные правила, соответствующие конкретным задачам, которые нужно решить, можно найти в литературе.^[22] В некоторых случаях можно аналитически найти стационарное решение основного уравнения.^[13][55]

Классическая диффузия

Проблема классической диффузии в сложных сетях состоит в том, чтобы понять, как величина будет проходить через систему и сколько времени потребуется, чтобы достичь стационарного состояния. Классическая диффузия в мультиплексных сетях недавно была изучена путем введения концепции матрица сверхсмежности,^[56] позже признан особым сплющивание многослойного тензора смежности.^[2] В тензорных обозначениях уравнение диффузии поверх общей многослойной системы можно кратко записать как

${\displaystyle {\frac {dX_{j\beta }(t)}{dt}}=-L_{j\beta }^{i\alpha }X_{i\alpha }(t)}$

куда ${\displaystyle X_{i\alpha }(t)}$ количество рассеиваемого количества за время ${\displaystyle t}$ в узле ${\displaystyle i}$ в слое ${\displaystyle \alpha }$. Тензор 4-го ранга, определяющий уравнение, - это тензор Лапласа, обобщающий комбинаторная матрица лапласа одномерных сетей. Стоит отметить, что в нетензорной записи уравнение принимает более сложный вид.

Многие свойства этого процесса диффузии полностью понятны в терминах второго наименьшего собственного значения тензора Лапласа. Интересно, что диффузия в мультиплексной системе может быть быстрее, чем диффузия в каждом слое отдельно или в их совокупности, при условии соблюдения определенных спектральных свойств.^[56]

Информация и распространение эпидемий

Смотрите также: эпидемиология

В последнее время вопрос о том, как информация (или болезни) распространяется через многослойную систему, стал предметом интенсивных исследований.^[57][58][59]

Перколяция многослойных взаимозависимых сетей

Булдырев и др.^[27] разработал основу для изучения просачивание в многослойных сетях со связями зависимости между слоями. Были обнаружены новые физические явления, в том числе резкие переходы и каскадные отказы.^[60] Когда сети встроены в пространство, они становятся чрезвычайно уязвимыми даже для очень небольшой части зависимых ссылок.^[61] и для локальных атак на нулевую долю узлов.^[62][63] Когда вводится восстановление узлов, обнаруживается богатая фазовая диаграмма, включающая многокритические точки, гистерезисные и метастабильные режимы.^[64][65]

Динамическая взаимозависимость в многослойных сетях

Подход с динамической зависимостью, представляющий взаимозависимость динамических систем, таких как синхронизация и распространение, был разработан на основе многоуровневых сетей.^[66] В ходе исследования были обнаружены такие явления, как совместные коллективные явления, включая мультистабильность, гистерезис, области сосуществования и макроскопический хаос.

Программного обеспечения

• muxViz, свободный и эффективный фреймворк для анализа и визуализации многослойных сетей, основанный на R [1] ^[67]
• Библиотека многослойных сетей для Python (Pymnet) Микко Кивеля
• МАММУЛЬТ Метрики и модели для многослойных сетей (сборник кода C / Python)^[3][6]
• GenLouvain Код MATLAB для обнаружения сообществ на основе максимизации мультисрезовой модульности^[7]
• Multinet Библиотека R и C ++ для анализа многослойных сетей.

Рекомендации

1. Coscia, Michele; Россетти, Джулио; Пеннаккиоли, Диего; Чеккарелли, Дамиано; Джаннотти, Фоска (2013). «Вы знаете, потому что знаю»: многомерный сетевой подход к проблеме человеческих ресурсов. Достижения в области анализа и добычи социальных сетей (ASONAM). 2013. п. 434. arXiv:1305.7146. Дои:10.1145/2492517.2492537. ISBN  9781450322409.
2. Де Доменико, М .; Solé-Ribalta, A .; Cozzo, E .; Кивеля, М .; Moreno, Y .; Портер, М .; Gómez, S .; Аренас, А. (2013). «Математическое построение многослойных сетей» (PDF). Физический обзор X. 3 (4): 041022. arXiv:1307.4977. Bibcode:2013PhRvX ... 3d1022D. Дои:10.1103 / PhysRevX.3.041022. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-02-25. Получено 2016-02-13.
3. Battiston, F .; Никосия, В .; Латора, В. (2014). «Конструктивные меры для мультиплексных сетей». Физический обзор E. 89 (3): 032804. arXiv:1308.3182. Bibcode:2014PhRvE..89c2804B. Дои:10.1103 / PhysRevE.89.032804. PMID  24730896.
4. Кивела, М .; Arenas, A .; Barthelemy, M .; Gleeson, J. P .; Moreno, Y .; Портер, М.А. (2014). «Многослойные сети». Журнал сложных сетей. 2 (3): 203–271. arXiv:1309.7233. Дои:10.1093 / comnet / cnu016.
5. Boccaletti, S .; Бьянкони, Г.; Criado, R .; дель Генио, C.I .; Gómez-Gardeñes, J .; Романс, М .; Сендинья-Надаль, I .; Wang, Z .; Занин, М. (2014). «Структура и динамика многослойных сетей». Отчеты по физике. 544 (1): 1–122. arXiv:1407.0742. Bibcode:2014ФР ... 544 .... 1Б. Дои:10.1016 / j.physrep.2014.07.001.
6. Баттистон, Федерико; Никосия, Винченцо; Латора, Вито (01.02.2017). «Новые вызовы мультиплексных сетей: меры и модели». Специальные темы Европейского физического журнала. 226 (3): 401–416. arXiv:1606.09221. Bibcode:2017EPJST.226..401B. Дои:10.1140 / epjst / e2016-60274-8. ISSN  1951-6355.
7. Mucha, P .; и другие. (2010). «Структура сообщества в зависящих от времени, многомасштабных и мультиплексных сетях» (PDF). Наука. 328 (5980): 876–878. arXiv:0911.1824. Bibcode:2010Sci ... 328..876M. CiteSeerX  10.1.1.749.3504. Дои:10.1126 / science.1184819. PMID  20466926.
8. Де Доменико, М .; Lancichinetti, A .; Arenas, A .; Росвалл, М. (2015). «Определение модульных потоков в многоуровневых сетях выявляет сильно перекрывающуюся организацию во взаимосвязанных системах». Физический обзор X. 5 (1): 011027. arXiv:1408.2925. Bibcode:2015PhRvX ... 5a1027D. Дои:10.1103 / PhysRevX.5.011027.
9. Де Доменико, М .; Sole-Ribalta, A .; Omodei, E .; Gomez, S .; Аренас, А. (2015). «Рейтинг взаимосвязанных многоуровневых сетей показывает универсальные узлы». Nature Communications. 6: 6868. Bibcode:2015 НатКо ... 6.6868D. Дои:10.1038 / ncomms7868. PMID  25904405.
10. Баттистон, Федерико; Яковаччи, Якопо; Никосия, Винченцо; Бьянкони, Джинестра; Латора, Вито (27 января 2016 г.). «Появление мультиплексных сообществ в сетях сотрудничества». PLoS ONE. 11 (1): e0147451. arXiv:1506.01280. Bibcode:2016PLoSO..1147451B. Дои:10.1371 / journal.pone.0147451. ISSN  1932-6203. ЧВК  4731389. PMID  26815700.
11. Cardillo, A .; и другие. (2013). «Возникновение сетевых функций из мультиплексности». Научные отчеты. 3: 1344. arXiv:1212.2153. Bibcode:2013НатСР ... 3Э1344С. Дои:10.1038 / srep01344. ЧВК  3583169. PMID  23446838.
12. Gallotti, R .; Бартелеми, М. (2014). «Анатомия и эффективность городской мультимодальной мобильности». Научные отчеты. 4: 6911. arXiv:1411.1274. Bibcode:2014НатСР ... 4Э6911Г. Дои:10.1038 / srep06911. ЧВК  4220282. PMID  25371238.
13. Де Доменико, М .; Sole-Ribalta, A .; Gomez, S .; Аренас, А. (2014). «Навигация по взаимосвязанным сетям при случайных отказах». PNAS. 111 (23): 8351–8356. Bibcode:2014PNAS..111.8351D. Дои:10.1073 / pnas.1318469111. ЧВК  4060702. PMID  24912174.
14. Стелла, М .; Andreazzi, C.S .; Селакович, С .; Goudarzi, A .; Антониони, А. (2016). «Распространение паразитов в пространственных экологических мультиплексных сетях». Журнал сложных сетей. 5 (3): 486–511. arXiv:1602.06785. Дои:10.1093 / comnet / cnw028.
15. Pilosof, S .; Porter, M.A .; Pascual, M .; Кефи, С. (2017). «Многослойность экологических сетей». Природа, экология и эволюция. 1 (4): 0101. arXiv:1511.04453. Дои:10.1038 / s41559-017-0101. PMID  28812678.
16. Timóteo, S .; Correia, M .; Rodríguez-Echeverría, S .; Freitas, H .; Хелено, Р. (2018). «Многослойные сети раскрывают пространственную структуру взаимодействия семян и рассеяния в ландшафтах Великой Трещины». Nature Communications. 9 (1): 140. Дои:10.1038 / s41467-017-02658-у. ЧВК  5762785. PMID  29321529.
17. Costa, J.M .; Ramos, J.A .; Timóteo, S .; да Силва, Л.П .; Ceia, R.C .; Хелено, Р. (2018). «Активность видов способствует стабильности взаимодействия плодов и плодоядных в пятилетней многослойной сети». bioRxiv  10.1101/421941. Дои:10.1101/421941.
18. Fiori, K. L .; Смит, Дж; Антонуччи, Т. С. (2007). «Типы социальных сетей среди пожилых людей: многомерный подход». Журналы геронтологии серии B. 62 (6): P322–30. Дои:10.1093 / geronb / 62.6.p322. PMID  18079416.
19. Стелла, М .; Beckage, N.M .; Бреде, М. (2017). «Мультиплексные лексические сети обнаруживают закономерности в раннем усвоении слов детьми». Научные отчеты. 21 (7): 619–23. arXiv:1609.03207. Bibcode:2017НатСР ... 746730С. Дои:10.1038 / srep46730. PMID  5402256.
20. Де Доменико, М .; Никосия, В .; Arenas, A .; Латора, В. (2015). «Структурная сводимость многослойных сетей». Nature Communications. 6: 6864. Bibcode:2015 НатКо ... 6.6864D. Дои:10.1038 / ncomms7864. PMID  25904309.
21. Гао; Булдырев; Стэнли; Хэвлин (22 декабря 2011 г.). «Сети, образованные из взаимозависимых сетей». Природа Физика. 8 (1): 40–48. Bibcode:2012НатФ ... 8 ... 40Г. CiteSeerX  10.1.1.379.8214. Дои:10.1038 / nphys2180.
22. Де Доменико, М .; Granell, C .; Портер, Мейсон А .; Аренас, А. (7 апреля 2016 г.). «Физика процессов распространения в многослойных сетях». Природа Физика. 12 (10): 901–906. arXiv:1604.02021. Bibcode:2016НатФ..12..901Д. Дои:10.1038 / nphys3865.
23. Timme, N .; Ито, С .; Мирошниченко, М .; Yeh, F.C .; Hiolski, E .; Hottowy, P .; Беггс, Дж. М. (2014). «Мультиплексные сети нейронов коры и гиппокампа, выявленные в разное время». PLoS ONE. 9 (12): e115764. Bibcode:2014PLoSO ... 9k5764T. Дои:10.1371 / journal.pone.0115764. ЧВК  4275261. PMID  25536059.
24. Де Доменико, М .; Sasai, S .; Аренас, А. (2016). «Отображение мультиплексных узлов в сетях функционального мозга человека». Границы неврологии. 10: 326. Дои:10.3389 / fnins.2016.00326. ЧВК  4945645. PMID  27471443.
25. Battiston, F .; Никосия, В .; Чавес, М .; Латора, В. (2017). «Многослойный анализ мотивов сетей мозга». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки. 27 (4): 047404. arXiv:1606.09115. Bibcode:2017Хаос..27d7404B. Дои:10.1063/1.4979282. PMID  28456158.
26. Де Доменико, М. (2017). «Многослойное моделирование и анализ сетей мозга человека». GigaScience. 6 (5): 1–8. Дои:10.1093 / gigascience / gix004. ЧВК  5437946. PMID  28327916.
27. Булдырев, С.В .; Паршани, Р .; Paul, G .; Stanley, H.E .; Хавлин, С. (2010). «Катастрофический каскад отказов во взаимозависимых сетях». Природа. 464: 08932.
28. Bródka, P .; Stawiak, P .; Казиенко, П. (2011). «Обнаружение кратчайшего пути в многослойной социальной сети». 2011 Международная конференция по достижениям в области анализа и майнинга социальных сетей. С. 497–501. arXiv:1210.5180. Дои:10.1109 / ASONAM.2011.67. ISBN  978-1-61284-758-0.
29. Barrett, L .; Henzi, S.P .; Люссо, Д. (2012). «Серьезное отношение к социальности: структура многомерных социальных сетей как источник информации для людей». Философские труды Королевского общества B. 367 (1599): 2108–18. Дои:10.1098 / rstb.2012.0113. ЧВК  3385678. PMID  22734054.
30. Зиньяни, Маттео; Куадри, Кристиан; Гайтто, Сабрина; Джан Паоло Росси (2014). «Использование всех телефонных носителей? Многомерный сетевой анализ социальной жизни пользователей телефонов». arXiv:1401.3126 [cs.SI ].
31. Подрядчик, Ношир; Монж, Питер; Леонарди, Пол М. (2011). «Теория сети: многомерные сети и динамика социоматериальности: внедрение технологий в сети». Международный журнал коммуникации. 5: 39.
32. Magnani, M .; Росси, Л. (2011). «ML-модель для многоуровневых социальных сетей». 2011 Международная конференция по достижениям в области анализа и майнинга социальных сетей. п. 5. Дои:10.1109 / ASONAM.2011.114. ISBN  978-1-61284-758-0.
33. Гоффман (1986). Анализ фреймов: эссе об организации опыта. ISBN  9780930350918.
34. Вассерман, Стэнли (1994-11-25). Анализ социальных сетей: методы и приложения. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521387071.
35. Лесковец, Юре; Хаттенлохер, Даниэль; Клейнберг, Джон (2010). «Прогнозирование положительных и отрицательных ссылок в социальных сетях» (PDF). WWW: Международная конференция ACM WWW по всемирной паутине. 2010 (2010): 641–650. arXiv:1003.2429. CiteSeerX  10.1.1.154.3679. Дои:10.1145/1772690.1772756.
36. Казиенко, П. А .; Musial, K .; Кукла, Э.Б .; Kajdanowicz, T .; Бродка, П. (2011). «Многомерная социальная сеть: модель и анализ». Вычислительный коллективный разум. Технологии и приложения. Конспект лекций по информатике. 6922. п. 378. Дои:10.1007/978-3-642-23935-9_37. ISBN  978-3-642-23934-2.
37. Никосия, В .; Бьянкони, Г.; Никосия, В .; Бартелеми, М. (2013). «Растущие мультиплексные сети». Письма с физическими проверками. 111 (5): 058701. arXiv:1302.7126. Bibcode:2013ПхРвЛ.111э8701Н. Дои:10.1103 / PhysRevLett.111.058701. PMID  23952453.
38. М. Маньяни, А. Монреале, Г. Россетти, Ф. Джаннотти: «О многомерных сетевых мерах», SEBD 2013, Рочелла Йоника, Италия
39. Berlingerio, M .; Coscia, M .; Giannotti, F .; Monreale, A .; Педрески, Д. (2011). «Основы многомерного сетевого анализа» (PDF). 2011 Международная конференция по достижениям в области анализа и майнинга социальных сетей. п. 485. CiteSeerX  10.1.1.717.5985. Дои:10.1109 / ASONAM.2011.103. ISBN  978-1-61284-758-0.
40. Battiston, F .; Никосия, В .; Латора, В. (2016). «Эффективное исследование мультиплексных сетей». Новый журнал физики. 18 (4): 043035. arXiv:1505.01378. Bibcode:2016NJPh ... 18d3035B. Дои:10.1088/1367-2630/18/4/043035.
41. Коццо, Эмануэле; Кивеля, Микко; Манлио де Доменико; Соле, Альбер; Аренас, Алекс; Гомес, Серхио; Портер, Мейсон А .; Морено, Ямир (2015). «Структура триадических отношений в мультиплексных сетях» (PDF). Новый журнал физики. 17 (7): 073029. arXiv:1307.6780. Bibcode:2015NJPh ... 17g3029C. Дои:10.1088/1367-2630/17/7/073029.
42. Бродка, Петр; Казиенко, Пшемыслав; Мусял, Катаржина; Скибицки, Кшиштоф (2012). «Анализ окружений в многоуровневых динамических социальных сетях». Международный журнал вычислительных интеллектуальных систем. 5 (3): 582–596. arXiv:1207.4293. Дои:10.1080/18756891.2012.696922.
43. Цзяньюн Ван; Чжипин Цзэн; Личжу Чжоу (2006). "CLAN: алгоритм поиска закрытых кликов из больших баз данных с плотными графами" (PDF). 22-я Международная конференция по инженерии данных (ICDE'06). п. 73. Дои:10.1109 / ICDE.2006.34. ISBN  978-0-7695-2570-9.
44. Cai, D .; Shao, Z .; Он, X .; Ян, X .; Хан, Дж. (2005). «Комьюнити-майнинг из разнородных сетей». Обнаружение знаний в базах данных: PKDD 2005. Конспект лекций по информатике. 3721. п. 445. Дои:10.1007/11564126_44. ISBN  978-3-540-29244-9.
45. Berlingerio, M .; Пинелли, Ф .; Калабрезе, Ф. (2013). "ABACUS: частые p Attern Mining-BAsed Открытие сообщества в м Безмерный сети ». Интеллектуальный анализ данных и обнаружение знаний. 27 (3): 294–320. arXiv:1303.2025. Дои:10.1007 / s10618-013-0331-0.
46. Gauvin, L .; Паниссон, А .; Каттуто, К. (2014). «Выявление структуры сообщества и паттернов активности временных сетей: подход неотрицательной тензорной факторизации». PLoS ONE. 9 (1): e86028. arXiv:1308.0723. Bibcode:2014PLoSO ... 986028G. Дои:10.1371 / journal.pone.0086028. ЧВК  3908891. PMID  24497935.
47. Пейшото, Т. (2015). «Вывод о мезомасштабной структуре слоистых, рёберных и изменяющихся во времени сетей». Физический обзор E. 92 (4): 042807. arXiv:1504.02381. Bibcode:2015PhRvE..92d2807P. Дои:10.1103 / PhysRevE.92.042807. PMID  26565289.
48. Валлес-Катала, Т .; Massucci, F .; Guimerà, R .; Салес-Пардо, М. (2016). «Многослойные стохастические блочные модели раскрывают многослойную структуру сложных сетей». Физический обзор X. 6 (1): 011036. Bibcode:2016PhRvX ... 6a1036V. Дои:10.1103 / PhysRevX.6.011036.
49. Sánchez-García, R.J .; Cozzo, E .; Морено, Ю. (2014). «Снижение размерности и спектральные свойства многослойных сетей». Физический обзор E. 89 (5): 052815. arXiv:1311.1759. Bibcode:2014PhRvE..89e2815S. Дои:10.1103 / PhysRevE.89.052815. PMID  25353852.
50. Чжоу, Д .; Stanley, H.E .; d’Agostino, G .; Скала, А. (2012). «Ассортативность снижает устойчивость взаимозависимых сетей». Физический обзор E. 86 (6): 066103. arXiv:1203.0029. Bibcode:2012PhRvE..86f6103Z. Дои:10.1103 / PhysRevE.86.066103. PMID  23368000.
51. Quadri, C .; Zignani, M .; Capra, L .; Gaito, S .; Росси, Г. П. (2014). «Многомерная человеческая динамика в мобильной телефонной связи». PLoS ONE. 9 (7): e103183. Bibcode:2014PLoSO ... 9j3183Q. Дои:10.1371 / journal.pone.0103183. ЧВК  4113357. PMID  25068479.
52. Салехи, М .; и другие. (2015). «Процессы распространения в многоуровневых сетях». IEEE Transactions по сетевой науке и инженерии. 2 (2): 65–83. arXiv:1405.4329. Дои:10.1109 / TNSE.2015.2425961.
53. Radicchi, F .; Аренас, А. (2013). «Процессы распространения в многослойных сетях». Природа Физика. 9 (11): 717–720. arXiv:1307.4544. Bibcode:2013НатФ ... 9..717Р. Дои:10.1038 / nphys2761.
54. Лазаридис, Филиппос; Гросс, Бная; Марагакис, Майкл; Аргиракис, Панос; Бонамасса, Иван; Хавлин, Шломо; Коэн, Реувен (2018-04-04). «Самопроизвольное отталкивание в реакции A + B → 0 на связанных сетях». Физический обзор E. 97 (4): 040301. arXiv:1804.05337. Дои:10.1103 / PhysRevE.97.040301. PMID  29758747.
55. Battiston, F .; Никосия, В .; Латора, В. (2016). «Эффективное исследование мультиплексных сетей». Новый журнал физики. 18 (4): 043035. arXiv:1505.01378. Bibcode:2016NJPh ... 18d3035B. Дои:10.1088/1367-2630/18/4/043035.
56. Gomez, S .; и другие. (2013). «Динамика распространения в мультиплексных сетях». Письма с физическими проверками. 110 (2): 028701. arXiv:1207.2788. Bibcode:2013ПхРвЛ.110б8701Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.110.028701. PMID  23383947.
57. Гранелл, Клара; Гомес, Серхио; Арены, Алекс (17.09.2013). «Динамическое взаимодействие между осведомленностью и распространением эпидемии в мультиплексных сетях». Письма с физическими проверками. 111 (12): 128701. arXiv:1306.4136. Bibcode:2013PhRvL.111l8701G. Дои:10.1103 / PhysRevLett.111.128701. PMID  24093306.
58. Баттистон, Федерико; Кайроли, Андреа; Никосия, Винченцо; Бауле, Адриан; Латора, Вито (01.06.2016). «Взаимодействие между консенсусом и согласованностью в модели взаимодействующих мнений». Physica D: нелинейные явления. Нелинейная динамика в связанных сетях. 323–324: 12–19. arXiv:1506.04544. Bibcode:2016PhyD..323 ... 12B. Дои:10.1016 / j.physd.2015.10.013.
59. Баттистон, Федерико; Никосия, Винченцо; Латора, Вито; Мигель, Макси Сан (2016-06-17). «Устойчивая мультикультурность возникает в результате многоуровневого социального влияния». arXiv:1606.05641 [Physics.soc-ph ].
60. Gao, J .; Булдырев, С.В .; Stanley, H.E .; Хавлин, С. (2012). «Сети, образованные из взаимозависимых сетей». Природа Физика. 8 (1): 40–48. Bibcode:2012НатФ ... 8 ... 40Г. CiteSeerX  10.1.1.379.8214. Дои:10.1038 / nphys2180.
61. Bashan, A .; Березин, Ю .; Булдырев, С.В .; Хавлин, С. (2013). «Крайняя уязвимость взаимозависимых пространственно встроенных сетей». Природа Физика. 9 (10): 667. arXiv:1206.2062. Bibcode:2013НатФ ... 9..667Б. Дои:10.1038 / nphys2727.
62. Березин, Ю .; Bashan, A .; Danziger, M.M .; Li, D .; Хавлин, С. (2015). «Локализованные атаки на пространственно встроенные сети с зависимостями». Научные отчеты. 5: 8934. Bibcode:2015НатСР ... 5Э8934Б. Дои:10.1038 / srep08934. ЧВК  4355725. PMID  25757572.
63. Д. Вакнин, М. М. Данцигер, С. Хавлин (2017). «Распространение локализованных атак в пространственных мультиплексных сетях». New J. Phys. (19): 073037. Текст был скопирован из этого источника, который доступен под Лицензия Creative Commons Attribution 3.0 (CC BY 3.0) лицензия.
64. Майдандзич, Антонио; Подобник, Борис; Булдырев, Сергей В .; Kenett, Dror Y .; Хавлин, Шломо; Юджин Стэнли, Х. (01.12.2013). «Самопроизвольное восстановление в динамических сетях». Природа Физика. 10 (1): 34–38. Bibcode:2014НатФ..10 ... 34М. Дои:10.1038 / nphys2819. ISSN  1745-2473.
65. Майдандзич, Антонио; Браунштейн, Лидия А .; Курм, Честер; Воденская, Ирена; Леви-Карсьенте, Сари; Юджин Стэнли, H .; Хавлин, Шломо (2016-03-01). «Множественные переломные моменты и оптимальный ремонт во взаимодействующих сетях». Nature Communications. 7: 10850. arXiv:1502.00244. Bibcode:2016НатКо ... 710850M. Дои:10.1038 / ncomms10850. ISSN  2041-1723. ЧВК  4773515. PMID  26926803.
66. Майкл М. Данцигер, Иван Бонамасса, Стефано Боккалетти, Шломо Хавлин (2019). «Динамическая взаимозависимость и конкуренция в многослойных сетях». Природа Физика. 2 (15): 178.
67. Де Доменико, М .; Портер, М. А .; Аренас, А. (2015). «Многослойный анализ и визуализация сетей». Журнал сложных сетей. 3 (2): 159–176. Дои:10.1093 / comnet / cnu038.

внешняя ссылка